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視頻標簽：概率,幾何概型
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修3第三章概率第三節“幾何概型”四川省 - 眉山
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“幾何概型”教學設計
一、教材分析
“幾何概型”是人教A版高中數學必修3第三章概率第三節的內容，安排在“隨機事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知識為概率的統計定義和等可能事件定義，下位知識為運用計算機產生均勻隨機數估計”幾何概型”的概率等內容。”幾何概型”是新課程新增加的內容，介紹”幾何概型”主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要，對”幾何概型”的要求僅限于初步體會”幾何概型”的意義。”幾何概型”在概率論中占有重要的地位，它將”古典概型”中等可能事件數量從有限推廣到無限，更廣泛地滿足隨機模擬的需要，進一步完善了人類對概率模型的認識。教材中”幾何概型”這一節共分兩個課時，這里是針對第一節課的教學設計，主要涉及”幾何概型”的定義、計算公式及其簡單應用。“幾何概型”的課堂教學活動應側重學生對”幾何概型”本質的理解和計算公式的掌握.教學的關鍵是處理好以下幾個方面：一是克服”古典概型”思維定勢的影響，闡釋并引入”幾何概型”的意義；二是歸納”幾何概型”特征，理解”幾何概型”與”古典概型”的本質區別；三是一維、二維到三維”幾何概型”中測度的具體內容。因此，將本節課教學的重難點確定為：”幾何概型”概念的建構和選擇恰當的概率模型進行概率計算。
二、教學目標
1.了解”幾何概型”的基本特點及與”古典概型”的異同。
2.會依據具體問題選擇恰當測度進行簡單的”幾何概型”計算。
3.依據具體問題選擇基本事件恰當的幾何表征發展學生直觀想象的數學素養
4.通過”幾何概型”概念的建構過程和選擇恰當的概率模型進行概率計算發展學生數學建模的數學素養
三、教學重難點
教學重點：”幾何概型”概念的建構和選擇恰當的概率模型進行概率計算
教學難點：”幾何概型”概念的建構和依據具體問題選擇基本事件恰當的幾何表征。
四、教學方法
本節課采用學生探究與教師講授相結合的教學方法，注重啟發式教學，多以問題鏈的形式出現，并結合多媒體輔助教學。在課堂教學過程中，通過分組討論、合作交流的形式，使學生體驗數學活動中的發現與創造，讓學生親身經歷”幾何概型”概念的建構過程，從觀察到分析再到歸納，感受事物從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程，逐漸培養透過現象看本質的思維方法和能力。為將教學重難點各個擊破，教學中可適當利用框圖表示基本事件與幾何區域的對應關系，幫助學生理解測度的具體含義。
五、教具準備
幾何圖霸課件、希沃教學助手
六、教學過程
（一）復習舊知
【問題】上一講我們學習了一種重要的概率模型”古典概型”，請同學們回憶”古典概型”的基本特點和計算公式.
【師生活動】教師通過課件提出問題，留短暫時間學生思考，抽取學生回答，教師根據學生表述情況做適當補充和強調。
基本特點：1.試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個； 2.每個基本事件出現的可能性相等. 計算公式：
，其中
是指事件包含的基本事件的個數，是指基本事件的總
數.
【設計意圖】通過抽問了解學生古典概率模型掌握情況，利用古典概率模型與即將學習的幾
何概率模型之間的內在聯系，特別是蘊含在古典概率模型中的數學思想方法，為將學生引向新知學習最近發展區作鋪墊。
（二）探究新知
【問題】甲乙兩人玩如圖所示轉盤游戲.規定當指針指向偶數區域時，甲獲勝，否則乙獲勝.求甲獲勝的概率是多少？
【師生活動】教師通過幾何圖霸按鈕模擬轉盤轉動啟停動畫，激發探究興趣，調動學生參與熱情。
追問：本問題是”古典概型”嗎？請說明理由.
學生：轉動轉盤指針指向區域共有12中情況，圖中是將圓面12等分，指向每個區域可能性相同，符合”古典概型”特征，其概率為
.
利用課件引導學生用右圖直觀展現思考過程。
【設計意圖】借用教材的轉盤情境和幾何圖霸強大的動態功能能迅速將學生帶入貼近生活的情境，調動學生參與熱情，既鞏固了”古典概型”的判定和概率運算，又為自然引入”幾何概型”埋下伏筆。
【探究1】如圖，圓半徑為，，規定當指針指向扇形區域時，甲獲勝，求甲獲勝的概率.
【師生活動】留出時間學生獨自思考，再小組討論，最后派代表表述分析思考過程。利用課件引導學生用下圖直觀展現思考過程。
【設計意圖】通過對問題條件的修改，讓問題不再具備”古典概型”的特征，引發學生認知沖突，為”幾何概型”概念的建構創設合理的問題情境。引導學生將指針與圓周上一點對應，每個基本事件就是指針指向圓周上一個確定的點，指針指向圓周上每個點等可能，試驗結果數無限。所有基本事件所構成的幾何表征是圓周，甲獲勝所構成的幾何表征是劣弧的長，學生很容易類比得到
.也可引導學生發現指針與圓的一條半徑對
應，所有基本事件所構成的幾何表征是圓面，甲獲勝所構成的幾何表征是扇形
的面積，
.
【探究2】如圖，圓盤半徑，
，現向圓盤拋擲飛鏢，假設飛鏢都能射中圓盤
⑴求射中陰影區域的概率；⑵求射中圓盤中心的概率.
【師生活動】留出時間學生獨自思考，再小組討論，最后派代表表述分析思考過程。利用課件引導學生用上圖直觀展現思考過程。
【設計意圖】通過變更問題背景,讓學生能自然將飛鏢針尖與圓盤的點對應，飛鏢落在圓盤內每個點等可能，所有射中位置無限，進而將試驗的所有基本事件用圓面積表征，所求事件用扇形面積表征，易類比得出
.利用框圖表示基本事件與幾何區域的對應
關系，既能讓學生更加清晰斷定”幾何概型”的兩特征，又能幫助學生理解測度的具體含義。第（2）問讓學生知道射中圓盤的概率雖然為0，但該事件是隨機事件，不是不可能事件。概率為0僅是事件為不可能事件的必要不充分條件，同理概率為1也是事件為必然事件的必要不充分條件，幫助學生完善認知結構。
【探究3】在棱長為2的正方體內隨機取一點，求該點恰好落在正方體內切球內的概率. 【師生活動】留出時間學生獨自思考，再小組討論，最后派代表表
述分析思考過程。利
用課件引導學生用上圖直觀展現思考過程。
【設計意圖】通過變更問題背景,讓學生能自然將試驗的所有基本事件用正方體體積表征，所求事件用球體體積表征，易類比得出
.利用框圖表示基本事件與幾何區域
的對應關系，既能讓學生更加清晰斷定”幾何概型”的兩特征，又能幫助學生理解測度的具體含義。
（三）概念形成
【問題】請同學們歸納上述三問題的共同特征，并將其與”古典概型”對比，指出其異同. 【師生活動】先由學生小組討論，然后抽學生回答，教師根據實際情況做總結，得出幾何概率模型概念及概率求解公式。
基本特點：1.試驗中所有可能出現的基本事件只無限個；
2.每個基本事件出現的可能性相等.
上述三試驗和”古典概型”一樣每個事件出現等可能，不同點是基本事件總數無限。 通過上述三問題的解決，我們發現每個基本事件均可用幾何里的點來表征，所求事件所對應的幾何表征可能是區域的長度，也可能是面積或體積，發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，數學上將這類重要的類型統稱幾何概率模型.遇到具體問題，我們應該首先依據基本事件的無限性和等可能性判斷是否為”幾何概型”，然后尋求基本事件的恰當幾何表征，最后用公式
求解.
【設計意圖】三個探究問題均用點表示基本事件，分別通過長度、面積、體積表征隨機事件，將概率運算轉化為“測度”之比。引導學生反思問題求解過程，歸納出其共同特征，逐步在頭腦中建構”幾何概型”概念和概率求解公式，并通過和”古典概型”對比，加深對概念的理解，
為后續在具體問題中的應用做準備。
（四）應用舉例
例1：某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.
【師生活動】學生思考后易于發現該人醒來的時刻無限，每個時刻醒來等可能，斷定該試驗是”幾何概型”。教師引導學生用上圖將該人醒來的時間與線段上的點對應，想聽電臺報時需要等待的時間不多于10分鐘與線段上的點對應，進而將所求概率轉化為兩條線段長度之比，即
。
【設計意圖】利用教材中貼近生活的例子，讓學生經歷判斷試驗為”幾何概型”和用線段之比求概率的過程，加深對概念的理解，初步學會利用”幾何概型”公式求解指定事件概率。通過學生用框圖展示幾何表征過程，發展直觀想象素養。
例2：假設小明家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:30到7:30之間把報紙送到小明家，小明父親離開家去工作的時間在早上7:00到8:00之間，問小明父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？
【師生活動】針對多數學生一籌莫展的現實，點撥學生指出該試驗的一個基本事件，如送報人6:30到，父親7:00離開家，進而發現每個基本事件由送報人到達時間和父親離家時間共同確定，用線段上的點是無法表示基本事件的，聯想到可以用平面直角坐標系內的點來表征基本事件，判斷本試驗為”幾何概型”。設送報人到達的時間為，父親離開的時間為，則
滿足的限制條件為，利用線性規劃知識畫出幾何區域，建立上圖幾何
表征框圖， 進而得出
【設計意圖】將教材第二課時的例2提到第一課時，讓學生經歷從一維到二維”幾何概型”模型類比遷移的過程，明確建構適當”幾何概型”模型解決簡單實際問題的建模機制，加深對概念的理解。通過學生用框圖展示幾何表征過程，發展直觀想象素養。
（五）課堂練習
課堂練習1：圖中有兩個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲.規定當指針指向區域時，甲獲勝，否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少？
課堂練習2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位�？�6小時，假定它們在一晝夜的時間段內隨機到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率.
【師生活動】留出較充足時間學生獨立思考完成，同小組同學對比討論，再抽取學生上臺分析講解思考和解答過程，教師根據學生完成情況做適當點撥與強調。
【設計意圖】通過兩組練習檢測學生對”幾何概型”及其應用的掌握情況和存在的主要問題，對學生的良好表現給予及時肯定。借助學生展示分析解決問題的思維過程，充分了解學生對新知建構情況，，對暴露出的問題給予及時糾正，幫助學生完善知識結構。
（六）課堂小結
1.”古典概型”與”幾何概型”對比分析
“古典概型” 所有基本事件個數有限 每個基本事件出現等可能 “幾何概型” 所有基本事件個數無限 每個基本事件出現等可能
2. 3.
4.數形結合思想、化歸轉化思想、無限與有限思想、或然與必然思想
【師生活動】先組織學生小組討論本節課所學內容，抽取小組代表從知識、思想方法層面進行小結，教師根據學生小結情況進行必要補充。引導學生明確在具體問題中正確判斷試驗所屬概率類型是前提，選擇合適的幾何表征是關鍵，將所求事件概率轉化為“測度”之比是必然。 【設計意圖】讓學生養成對所學知識、思想方法及時梳理的習慣。通過小組同學的分享交流，找到自身對概念理解的偏差，自主完善知識結構。
（七）課后作業
必做題：教材第142頁習題3.3A組 選做題：試依據”幾何概型”定義證明
思考題：甲乙丙三人定于6點到7點之間在某地約會，已知他們三人都不會違背約定，但是他們到達會面地點的具體時間不確定，求甲第一個到丙第三個到的概率.
【設計意圖】根據學生情況分層布置作業，讓學有余力的學生課后有深度思考提升的空間，追求人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展的目標。
七、課堂后記
本節課共有三個探究活動，讓學生通過討論和小組合作來觀察、發現”幾何概型”的規律和特征，使學生體會”幾何概型”與”古典概型”求解計算的異同，并為歸納出”幾何概型”的概念做鋪墊。教學設計尊重教材但不拘泥于教材，對教材例題進行了適當整合，問題層層遞進，將學生的思維保持在在最近發展區，符合學生的認知發展規律。在關系到內容本質方面的問題并沒有一帶而過，而是逐步引領學生分析，得到解答。課堂上能夠給予學生更多的主動權，做到了學生主體教師主導的課堂模式。本節課設計的不足之處在于，教師在探究環節的問題過于緊密，學生沒有充足的時間思考，課題引入上不太好把握時間。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
