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視頻標簽：圓錐曲線,中點弦問題,點差法
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-1第二章有關圓錐曲線的中點弦問題-點差法-云南省優課
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有關圓錐曲線的中點弦 問題 ----點差法
習題2.3
一、教學目標：
1.知識與技能目標：掌握解決有關圓錐曲線的中點弦問題方法-----點差法 2.過程與方法目標:綜合運用方法思想.數形結合.等價轉換等方法解決問題,培養學生自主學習,綜合分析能力。
3.情感他的與價值觀：培養學生嚴謹的數學思維，提高學生知識遷移意識 二、重點與難點：點差法運用 三、教學方法:師生互動探究式教學法
四、教學過程:
引入：已知圓的 內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。
例1 已知直線L和橢圓12
42
2yx相交于A,B兩點，)1,1(M為A,B的中點，求直線L的方程。
解：方法一：代入法
設兩點坐標為),(11yxA，),(22yxB
（1） 當直線L斜率不存在時，顯然不符合題意。
（2） 直線L斜率存在，設為k，則直線方程為：1)1(yxk
124
1)1(2
2
yxxky 將直線帶入橢圓方程得：
0242)1(4)21(222kkxkkxk
221)
1(42
21kkkxx
2
1
k
所以所求直線為：2
3
21xy
4
2
2yx
分析：這種方法是運用方程的思想，直線與橢圓的交點也就是直線方程與橢圓方程的方程組的解。但是在解題中并沒有把交點直接求出來，而是運用了韋達定理得到用k所表示的兩根之和。這里把A,B的坐標設出來而沒有求，也是設而不求的思想。
方法二：點差法
設兩點坐標為),(11yxA，),(22yxB
124
1242
2222
121yxyx 兩式作差得：
02
)
)((4))((21212121yyyyxxxx
變形可得：
22
2121212142))(())((a
bxxxxyyyy
2
1ABOMkk
2
1k
所以所求直線為：2
3
21xy
分析：這種方法利用了作差變形，直接得到了直線的斜率，對于解題十分方便。這里也沒有求出點的坐標，也體現了設而不求的思想。
方法三：作差法
設兩點坐標分別為：)2,2(),(yxByxA與
12)2(4
21242
22
2yxyx）（ 兩式作差得：
2
321032xyxy即
分析：作差后直接得到一個關于x與y的方程，因為x與y就是直線
上的點，所以這個方程就是所求的直線方程。
例2、過橢圓
12
42
2
yx內一點M（1，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這
條弦所在的直線方程。
探究：是否存在直線L與雙曲線 13
2
2
yx 相交于A,B兩點，M(1，1)
為A,B的中點.
作業：是否存在直線L與雙曲線12
4
2
2
yx相交于A,B兩點，)1,2(M為A,B
的中點，求直線L的方程。
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