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視頻標簽：向量及向量,符號的由來
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高一數學人教A版必修四第二章《閱讀與思考 向量及向量符號的由來》甘肅省 - 蘭州 
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《閱讀與思考 向量及向量符號的由來》
1.新設計
豐富多彩的背景,引人入勝的內容.教材首先從力、位移等量講清向量的實際背景以及研究向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關知識.學生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義,能用向量語言與方法表述和解決數學、物理中的一些問題,發展運算能力和解決實際問題的能力. 向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”,這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的.反過來,向量的理論和方法,又成為解決物理學和工程技術的重要工具,向量之所以有用,關鍵是它具有一套良好的運算性質,通過向量可把空間圖形的性質轉化為向量的運算,這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關問題. 以學生已有的物理知識和幾何內容為背景,直觀介紹向量的內容,注重向量運算與數的運算的對比,特別注意知識的發生過程.對概念、法則、公式、定理等的處理主要通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結論. 2.教學目標
根據本課教材的特點，新課標的教學要求，學生身心發展的需要，本節課確定教學目標如下：
知識與技能
（1）了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示； （2）掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概
念；
并能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關系
（3）通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.
過程與方法
引導發現法與討論相結合。這是向量的第一節課，概念與知識點較多，在對學生進行適當的引導之后，應讓學生清清楚楚得明白其概念，這是學生進一步獲取向量知識的前提；通過學生主動地參與到課堂教學中，提高學生學習的積極性。體現了在老師的引導下，學生的主體地位和作用。
情感目標與價值觀
通過對向量與數量的比較，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力，并且意識到數學與現實生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 3.學情分析
本節是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念,結合圖形實物區分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理,并且兼具“數”和“形”的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些實例,目的是要建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學習向量的認知基礎. 4.重點難點
重點:理解并掌握向量、向量的模、零向量、單位向量、平行向量的概念、會表示向量。
難點:向量的相關概念,平行向量 5. 教法分析：
向量的概念是從生活實例和物理素材中抽象出來的，如物理學中的位移、力、速度等概念，其幾何背景是有向線段，雖然是抽象的形式符號，教學時依然
可以用位移、力等物理量為背景，理解上并不困難.因此教學時要注意把握概念的物理意義，理解有關概念的實際背景，有助于學生認同新概念的合理性.而相等向量、共線向量等概念可以讓學生在對向量的兩要素（大小、方向）的認識中結合具體案例主動構建，讓學生自己得出的概念比簡單的告訴印象要深刻得多.總之，為了加深學生對向量內涵的理解，應精心選例設問，引導學生的思考置疑.通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復過程，正向思考與逆向思考相結合，使學生逐步理解概念，克服思維的負遷移. 6．學法指導：
本課以問題為中心，以解決問題為主線展開，學生主要采用“探究式學習法”進行學習。本課學生的學習主要采用下面的模式進行：
通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復過程。
學生在物理學科中已經積累了足夠多的向量模型，并且在三角函數線部分內容的學習中（必修4任意角的三角函數、三角函數的圖像與性質）已經接觸到有向線段的概念，從而為本節課的學習提供了知識準備；學生間通過一學期的共同學習，其合作探究的習慣和意識已然養成，這就為本節課的學習提供了認知準備.
7.教學過程與操作設計
教學環節 問題設計
師生互動
創 設 情 境
力也是物理中常見的量，同樣滿足既有大小，又有方向，從以下四個圖示進行說明（課件展示）
從本章引言，我們知道位移是既有大小，又有方向的量，可用有向線段表示。 （*引申出有向線段的概念） 具有方向的線段就叫做有向線段。
有向線段的三要素：起點、方向、長度。 思考：還能舉出物理學中的這樣的一些實例嗎？ 從中歸納數學中向量的定義。
情境設置符合
學生的認知規律；從具體到抽象，從特殊到一般，從學生熟悉的經驗和感興趣的問題開始，從而順利地將學生引導到向量的學習中來。
生：觀察、思考、總結、概括得出結論，并相互進行交流。
新 課
1、向量定義：我們把既有大小又有方向的量叫向量 設問：時間、路程、功是向量嗎？速度與加速度呢？ 從而歸納出數量與向量的相關概念：數量只有大小，是一個代數量；向量有方向，大小，雙重性.
2、向量的幾何表示
（類比實數的數軸表示并結合實例過渡到向量的幾何表示） 向量的幾何表示：用有向線段表示；
3、向量的相關概念
（1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示，書寫用a，b等；或用有向線段的起點與終
點字母：AB等；
（2）向量AB的大小就是有向線段AB的長度（或稱模），記作|AB|；向量方向就是其有向線段的箭頭指向。 （3）零向量、單位向量概念：（從向量的大小方面過渡）
①長度為0的向量叫做零向量，記作0。0的方向是任意的。
②長度等于1個單位的向量，叫做單位向量. 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
4、平行向量定義（從向量的方向關系進行引入）： ①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量； 若向量a，b平行，記作a∥b
②我們規定0與任一向量平行，即都有0∥a. 說明：綜合①、②才是平行向量的完整定義； 探究：“若a∥b，且b∥c，則a∥c
這個說法
并類比得到數量的
定義。
讓學生進一步體會
到向量的方向性
探 究 學 習
正確嗎？
（注意與直線平行傳遞性的區別） 5、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 說明：（1）若向量a與b相等，記作a=b；
（2）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．．．．．．．．．．.（結合向量與有向線段的構成要素進行說明，并用課件展示其生成過程）
6、共線向量與平行向量關系：（課件展示）
平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都
可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）．．．．．．．．．．．
. 探究：（1）平行向量可以在同一直線上嗎？ （注意與兩平行線位置關系的區別）
（2）共線向量可以相互平行嗎？ （注意與同在一直線上的線段位置關系的區別）
類比有助于將學生
認知進行遷移，順利形成向量的知識。
向量的幾何表示
記做a或AB
讓學生獨立思考，
得到結論，加深對
有向線段和向量的
理解。
組織學生進行思
考、交流能根據向量的平行性質得出正確的結論。 例 題
例1判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）與零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）與任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？
（6）兩個非零向量相等的應滿足什么條件？
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？ 例2 如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量OA、OB、OC相等的向量.
1.鞏固向量概念及其幾何表示。
2.讓學生能夠通過這些問題，弄清向量學習中比較容易混淆的幾個基本概念
B
a A a
b
研 究 解：（學生口答）
變式一：與向量OA長度相等的向
量有多少個？（11個） 變式二：是否存在與向量OA長度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量OA共線的向量有哪些？（FEDOCB,,）
3.讓學生鞏固相等
向量與平行向量的
概念。
嘗 試 練 習 1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由
（1）向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；
（2）單位向量都相等； （3）若||||aba且∥b，則ab （4）若||||ab，則ab；
（5）若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB＝DC. 2．書本86頁練習2、3、4
*思考：將所有的單位向量移到同一起點，問這些向量的終點構成的圖形是什么？（以此點為圓心，半徑為1的圓）
讓學生自己能通過這次課的學習，獨立思考，完成練習，達到檢測學習的效果。
拓展 發現
思考：
（1）如圖，以1×3方格紙中的格點為起點和終點的所有向量中，有多少種不同的向量？（共20種）
分析（從向量的長度與方向考慮。） （2）“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？
答：錯誤。向量與有向線段的聯系與區別： 聯系：向量可以用有向線段表示。
區別：①向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只
要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量； ②有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段
A
B
C
D
a
a
收獲與 體會 通過本節課的學習，了解向量的實際背景，掌握了向量的各個基本概念；并且明白平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比及平行向量與共線向量的關系。
進行適時小結，讓學生對這次課的學習有個系統的認識，加深學習印象。 作業 回饋
書本77頁習題2.1 A組第2、3、5題
布置適當的作業鞏固學習效果。
8.板書設計 課題
一、向量定義及幾何表示: 二、向量的相關概念： 三：平行向量定義（從向量的方向關系進行引入）： 四：相等向量定義： 五：共線向量與平行向量關系：（課件展示）
例1：
例2：
例3：
點評：
學生練習區域
9.課后反思
此課稿是按照“教師為主導,學生為主體，課本為主線”的原則而設計的。教師的主導作用在于激發學生的求知欲，為學生創設探索的情境，指引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題。向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示等的教學是本節課的重點，由于其幾何背景是有向線段，雖然是抽象的形式符號，所以學生對它的認識不可能一步到位。因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過日常生活中的實例和不同的例題對概念進行分析，并通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入, 通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復過程，正向思考與逆向思考相結合，使學生逐步理解概念，克服思維的負遷移.
附：
活動1【導入】情景設置
老鼠由A向西北逃竄,貓在B處向東追去,設問:貓能否追到老鼠?(畫圖) 結論:貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.
分析:老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量. 引言:請同學指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小沒有方向?
活動2【講授】向量的概念
我們把既有大小又有方向的量叫向量
活動3【講授】新知學習——問題導思：請同學閱讀課本后回答： 1、數量與向量有何區別? 2、如何表示向量?
3、有向線段和線段有何區別和聯系?分別可以表示向量的什么? 4、長度為零的向量叫什么向量?長度為1的向量叫什么向量? 5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量?單位向量是相等向量嗎? 6、有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系?
7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,這是它們是不是平行向量?這時各向量的終點之間有什么關系? 活動4【活動】探究學習 1、數量與向量的區別:
數量只有大小,是一個代數量,可以進行代數運算、比較大小; 向量有方向,大小,雙重性,不能比較大小. 2.向量的表示方法: ①用有向線段表示; ②用字母a、b (黑體,印刷用)等表示;
③用有向線段的起點與終點字母:
④向量 的大小――長度稱為向量的模,記作| |.
3.有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,三個要素:起點、方向、長度. 向量與有向線段的區別:
(1)向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量;
(2)有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念:
①長度為0的向量叫零向量,記作0. 0的方向是任意的.
注意0與0的含義與書寫區別.
②長度為1個單位長度的向量,叫單位向量. 說明:零向量、單位向量的定義都只是限制了大小. 5、平行向量定義:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我們規定0與任一向量平行. 說明:(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義;(2)向量a、b、c平行,記作a∥b∥c.
6、相等向量定義:
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明:(1)向量a與b相等,記作a=b;(2)零向量與零向量相等;
(3)任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.
7、共線向量與平行向量關系:
平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).
注:(1)平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系;(2)共線向量可以相互平行,要區別于在同一直線上的線段的位置關系. 活動5【活動】理解和鞏固 判斷:
(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)與零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)與任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)
(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量?(平行向量) (6)兩個非零向量相等的當且僅當什么?(長度相等且方向相同) (7)共線向量一定在同一直線上嗎?(不一定) 活動6【練習】課堂達標測驗
1.判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由. ①向量 與 是共線向量,則A、B、C、D四點必在一直線上;
②單位向量都相等;
③任一向量與它的相反向量不相等; ④一個向量方向不確定當且僅當模為0; ⑤共線的向量,若起點不同,則終點一定不同.
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