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視頻標簽：條件概率
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學課程標準實驗教科書人教A版選修2-3第二章第二節選修2-3-2.3.1《條件概率》蘇州中學
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學課程標準實驗教科書人教A版選修2-3第二章第二節選修2-3-2.3.1 條件概率-蘇州中學
1教學目標
1.通過對具體情境的分析，了解條件概率的定義；
2.會根據條件概率的定義判斷一個概率問題是否是條件概率；
3.掌握一些簡單的條件概率問題的計算．
2學情分析
《條件概率》是選修2-3中的一節課。高一時，學生對古典概型和幾何概型有了很好的了解和掌握。在這一節課前，是《隨機變量及其概率分布》，學生理解了將實驗結果映射到實數，會畫概率分布列和概率分布表。這些教學內容，讓學生對單個的事件概率有了充分地理解和掌握。在這樣的背景下，引入“條件概率”，進而將對單個事件概率的研究深化到向兩個或兩個以上事件概率的研究。這對學生的學習能力是一次挑戰。在備課時，對教學內容“廣度” 的延伸，讓教師在教學中了解學生的已有的知識點，有利于教學時的有的放矢，有利于教學內容的順利展開。
3重點難點
重點：條件概率的判斷及計算.
難點：條件概率問題的理解.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【講授】通過三個教學情境的設置，一步步引導學生自己得出“條件概率”的公式
條件概率的定義是“對于兩個事件A和B，在已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為事件B發生的條件下事件A的條件概率”。對這一定義的引入，課本上是以“拋硬幣”這一試驗作為引入，然后給出定義。筆者認為，這樣的引入比較自然、通俗，學生容易理解并接受。但是，課本在引入定義后，直接給出了“條件概率”的公式，學生在接受這一公式時是很被動的。而在應用中，若對這一公式沒有本質上的理解，死記硬背，不能靈活運用，就會導致出錯。那么，如何讓學生一步步主動地得到這個公式呢？這對教學的情境設置提出了“梯度”要求。 經過反復的討論和優化，我們設置了以下三個教學情境，分三步讓學生慢慢地揣摩公式、修改公式、理解公式。把“得出公式”這件事交給學生。
情境1： 1.拋擲一枚質 地均勻的硬幣兩次． （1）兩次都是正面向上的概率是多少？ （2）至少有一次正面向上的概率是多少？ （3）在已知至少有一次正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是多少？ 這一情境的設置就是課本上的“引入”，我們用此得到條件概率的定義，并讓學生根據這三問“猜出公式”。果然，學生進入圈套。設“兩次都是正面向上”為事件A，“至少有一次正面向上”為事件B，第三問即求：P(A|B)。由于第一問結果是“ ”。第二問結果是“ ”，第三問的結果是“ ”，學生很自然地猜測條件概率的公式是：P(A|B)= . 為了檢驗公式是否正確，順著教學梯度，我們設置了情境2.
情境2：拋擲一枚質地均勻的骰子的基本事件構成集合S={1,2,3,4,5,6}，令事件A={2,3,5}，B={1,2,4,5,6}，求P(A)， P(B) ，P(AB)， P(A|B)． 這是課本上的例1，設置這一情境的意圖有兩個： 1.讓學生自己發現“猜錯”了公式； 2.引入“P(AB)”這一概念。 果然，學生在運算過程中發現了自己猜錯了。老師進而引導學生繼續猜，學生很自然地猜：P(A|B)= 。 此時，學生都比較“迷茫”，兩道例題，得出的卻是兩個不同的公式。到底哪個是對的？這時，教師又將教學提升一個臺階。教師提出，我們再來看一個問題，看會得到什么結果。學生的學習熱情被調動起來，自己嘗試得到公式是一件很“刺激”，很“興奮”的事情。大家迫不及待地進入了情境3.
情境3： 如圖所示的正方形被平均分成 個部分，向大正方形區域隨 機地投擲一個點 （每次都能投中），設投中最左側 個小正方形 區域的事件記為A，投中最上面 個小正方形或正中間 個小正方形區域的事件記為B，求P(A),P(B),P(AB), P(A|B). 這是課本的“例2”，設置這一情境的意圖有三個： 1.讓學生進一步揣摩和驗證這兩個式子哪一個是正確的； 2.圖形的引入為讓條件概率這一定義不再抽象，更為直觀和易于理解； 3.為接下來“韋恩圖”這一工具作鋪墊。
可以說，情境3的設置至關重要。學生要借助這一情境得出正確的條件概率的公式，同時由于情景3的圖形優勢，將條件概率這一概念的抽象度降低，容易讓學生掌握并理解條件概率定義和公式的本質。 很自然地，學生得到了條件概率正確的公式應該是P(A|B)= 。教師在教學時借助圖形，讓學生自己感覺條件概率的定義。學生發現，在“事件B發生的條件下”，已經將研究背景縮小到圖示的“單斜杠陰影”部分，在此條件下事件A再發生，即圖示的“雙斜杠陰影”部分，即為P(AB)。P(AB)要除以P(B)，以體現“事件B發生的條件下”這句話。定義已經給出了條件概率的公式，原來條件概率很簡單，只要把定義讀出來，公式就出來了。 三個教學情境的設置，作為三個臺階，讓學生一步步接近并理解“條件概率”的定義個公式，教學中梯度的設置讓教學不再晦澀難懂，教師帶領學生一步一個臺階走向正確的定義，讓學生自己發現公式，也是對學生抽象度能力的提升。
活動2【活動】教師借助“韋恩圖”，從直觀上解釋了條件概率公式，并讓學生得出特殊情況下公式的變形。
數學中各個知識點之間有時是關聯的，如何利用知識點之間的相通性，深化教學內容，是教師在教學過程中尤其要注意的。我們注意到，在集合中“韋恩圖”這一知識點可以很好地解釋條件概率這一公式。因此，適時地引入進來，深化教學，幫助學生理解和掌握條件概率的本質，進一步做到“深入淺出”。 此圖很好地解釋了條件概率正確的公式 。
至此，教師將“條件概率”的定義和公式很自然地“拋給”了學生。但一些愛思考的學生仍存有疑問：為什么在情境1中，會得到那個錯誤的公式？這是什么原因？ 教師進一步引導學生思考一下三個問題：
思考： (1) 若 ，則P(A|B)=
(2) 若A、B互斥，則P(A|B)=
(3) P(A|B)與P(B|A)的區別是 P(A|B)= P(B|A)=
很快學生發現，在（1）中，由于 ，P(AB)= P(A)。 這就是說，大家在情境1得到的公式也是對的，學生的信心得到進一步提升。 在(2)中，由于A、B互斥，P(AB)=0，故P(A|B)= 這能否用“韋恩圖”解釋呢？學生得到了如下韋恩圖的示意圖： 在（3）中，學生很快得到P(B|A)= ，并用韋恩圖進行了解釋。 問題（3）的提出很有價值和必要，它讓學生在解決具體問題時，不用再為設什么事件是“A”，什么事件是“B”為難，可以拋開束縛，靈活運用公式，因為他已經抓住了該公式的本質！
終于，教師和學生一起，利用韋恩圖，提升了教學“深度”，降低了概念“抽象度”。以教師為指導，學生為主題，得到了條件概率的定義和公式，并且對該公式進行了知識點的遷移，對該公式的一些特殊情況作了探討和研究。學生對這一公式真正地理解并掌握了！接下來，是知識的應用階段了！
活動3【練習】通過三道例題的講解和相應的配套練習，教師幫助學生鞏固和深化對條件概率公式認識，讓學生熟練掌握條件概率
在例題的設置方面，很多教師容易犯的錯誤是“例題”的堆砌，沒有把握好例題的“梯度設置”，例題的“難度”相當，“密度”太大，往往不能把握好教學“進度”，一節課草草了結，想講很多，卻好像什么都沒講明白。想多講點，卻好像總講不完。因此，例題的設置也應該體現教學七適度理念。經過反復的推敲和修改，我們最終確定了以下三道例題，同時注重講練結合，在每一道例題后面，配以相同類型的習題，以幫助學生及時鞏固。
例1.拋擲兩顆質量均勻的骰子各1次，向上的點數之和為7時，其中有一個的點數是2的概率是多少？
練習：拋擲兩顆質量均勻的骰子各1次，向上的點數不相同時，其中有一個的點數是4的概率是多少？
這一例題的設置旨在讓學生利用條件概率的定義和公式解決和條件概率相關的問題。為此，教師在講解例題時給出了兩種解法： 設“向上的點數之和為7”為事件A，“其中有一個的點數是2”為事件B；解法一是運用公式，讓學生加深對公式的印象；解法二是運用定義，讓學生進一步體會條件概率問題實際上是在背景縮小的條件下研究事件發生概率，也讓學生進一步講這一定義和韋恩圖這一知識點相“遷移”。練習的設置和例題時相同的研究背景，只是研究的具體問題變一下，換湯不換藥，學生會自然地解出。教師在讓學生回答也可導學生給出不同的解法。
例2. 在一個盒子中有大小一樣的20個球，其中 10個紅球、10個白球．某人無放回地依次從中摸出1個球，求： (1)第１次摸出紅球時，第2次摸出白球的概率． (2)第1次摸出紅球且第2次摸出白球的概率．
練習：從一批含有10件合格品、3件不合格品的產品中隨機地逐個抽取，抽出后的產品不放回，設X表示直到取得合格品時的抽取次數，試求： （1）直到第2次才取到合格品的概率P(X=2)； （2）直到第3次才取到合格品的概率P(X=3)．
這一例題的設置旨在讓學生注意在實際問題中區分P(A|B)和P(AB),例2（1）是條件概率，這樣的問法和“在第1次摸出紅球的條件下，第二次摸出白球的概率”是等價的，故應求P(A|B)，例2（2）并不是條件概率，其本質是“排列組合”中的“分步計數原理”（乘法原理）。學生在一開始有點“混”，經過教師的點撥，學生先得到了例2（2）的結果即P(AB)，并很快得到例2（1）兩種解法：公式法和定義法。
至此，學生對一個問題是否是條件概率問題學會了區分和辨別。加深了教學難度，體現了例題設置的梯度。
例3.設某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現有一只20歲的這種動物，則它能活到25歲的概率是 ．
例3和前兩道例題的區別在于，前兩道例題學生很自然地往“條件概率”這一知識點去靠攏，而在看到例3時，不知道它隸屬于什么問題，哪個知識點。故這一例題的設置旨在讓學生把實際問題抽象成條件概率問題，提升學生對知識的“抽象度”。在本例題中，設“某種動物貨到20歲的概率為事件A，活到25歲的概率為事件B”，則該例題可抽象為“是事件A發生的條件下，事件B發生的概率”，問題迎刃而解，且學生在解題過程中發現，此題中P(AB)= P(B)。這恰好是前面所講條件概率公式的一個特殊情景。
至此，例題和前面的知識點達到了前后呼應，和諧統一。 由于例題設置的梯度、難度、密度恰當，教師在講解時自然可以做到不緊不慢，有些問題具體展開，有些問題點到即止，有些問題引導點撥，有些問題學生總結，整個教學課堂是活潑生動的，并不是教師的“一言堂”，也不是學生的“舌戰堂”，教師一收一放，收放自如，很好地控制了課堂節奏，把握了課堂“進度”，知識點的遷移有體現了教學的“廣度”，例題設置由淺入深，深入淺出，把握了例題的深度和梯度，具體的應用題抽象化，體現了教學的抽象度。
活動4【測試】三道課堂小練繼續加強學生對條件概率公式的掌握，最后一道習題的設置為下一節課“事件的獨立性”作鋪墊
課后鞏固我們設置了這樣三道題： 1. 若P(A|B)=P(B|A)=1/2,P(A)=1/3，則P(B)=
2. 在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：
（1）第1次和第2次都抽到理科題的概率； （2）在第l次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率； （3）第2次抽到理科題的概率.
3.拋擲紅、藍兩個骰子，事件A為紅骰子出現4點，事件B為藍骰子出現點數是偶數，則P(A|B) .
前兩題是對例題的進一步應用，學生順利解決。第三問的設置，由于事件A、B是相互獨立的，而下一節課的教學內容即為“相互獨立事件同時發生的概率”。教師在教學中引導學生發現此時： ，教師以“這就是我們下一節要研究的內容”作為結束語，延伸了教學的廣度。課堂教學結束，學生仍覺意猶未盡，對下一節課充滿期待。
活動5【active.type.pj】教師總結“條件概率”這節課學生應掌握和注意的地方，并和自己正在研究的課題相結合。
1.條件概率的定義和計算公式；
2.條件概率題型的解題思路：
（1）運用公式；
（2）運用定義，縮小范圍研究.
3.條件概率中需要的注意的問題：
（1）注意事件A、B、AB的關系；
（2）注意所設事件和所用公式是否匹配.
“教學七適度理論”作為蘇州中學數學教學模式的特色，它的成功在于這一理論讓教師在備課時有一個提綱挈領，無論在知識點的引入、公式定理的推出、例題的講解中都能有這一理論的指導和要求，讓教師“帶著鐐銬跳舞”。精心的備課必然會收到良好的教學效果，而學生在教師的循循誘導下，提升了學習興趣和學習信心，師生的互動又產生了智慧的火花，整個課堂教學不再如死水一潭，數學課不再枯燥無味。在教師的引領下，恰如抽絲剝繭，知識的本質被師生一步步挖掘。應該說，在現實的數學課堂教學中，如何把握“教學七適度”是大多數數學課堂教學的普遍追求，是提高課堂效率的有力保證，是在新課程背景下提高學生思維能力、創新能力的有效途徑。
活動6【作業】作業的布置緊扣課堂重點和難點，做到“精心布置習題，留有思考余地”，注意作業的梯度、廣度和抽象度。
1.從1, 2, 3,…, 15中,甲、乙兩人各任取一數(不重復),已知甲取到的數是5的倍數,求甲數大于乙數的概率.
2. 擲三顆骰子,已知所得三個數都不一樣,求含有1點的概率.
3. 袋中有一個白球和一個黑球,一次次地從袋中摸球,如果取出白球,則除把白球放回外再加進一個白球,直至取出黑球為止,求取了N次都沒有取到黑球的概率.
4. 甲袋中有5只白球, 7 只紅球;乙袋中有4只白球, 2只紅球.從兩個袋子中任取一袋, 然后從所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.
5.有甲、乙兩袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.現從甲袋中任取2個球放入乙袋,然后再從乙袋中任取一球,求此球為白球的概率
6.袋中裝有編號為1, 2,…, N的N個球,先從袋中任取一球,如該球不是1號球就放回袋中,是1號球就不放回,然后再摸一次,求取到2號球的概率.
7.袋中裝有8只紅球 , 2只黑球,每次從中任取一球, 不放回地連續取兩次, 求下列事件的概率.
(1)取出的兩只球都是紅球;
(2)取出的兩只球都是黑球;
(3)取出的兩只球一只是紅球,一只是黑球;
(4)第二次取出的是紅球.
8.某射擊小組共有20名射手,其中一級射手4人, 二級射手8人, 三級射手7人, 四級射手1人. 一、二、三、四級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率.
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