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在線播放:高中數(shù)學(xué)必修五第一章1.2解三角形應(yīng)用舉例“閱讀思考海倫與秦九韶”貴州省 - 畢節(jié)

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視頻簡(jiǎn)介：

視頻標(biāo)簽：解三角形應(yīng)用,考海倫,秦九韶

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)必修五第一章1.2解三角形應(yīng)用舉例“閱讀思考海倫與秦九韶”貴州省 - 畢節(jié)

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§1.2  應(yīng)用舉例－海倫與秦九韶公式教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析
  本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是，高中數(shù)學(xué)必修五第一章1.2解三角形應(yīng)用舉例“閱讀思考海倫與秦九韶”.這是學(xué)生已經(jīng)掌握三角形的相關(guān)面積公式的基礎(chǔ)上來(lái)拓展學(xué)習(xí)的海倫與秦九韶公式，本班部分學(xué)生的運(yùn)算能力較為薄弱，甚至有的同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有太大的興趣.本節(jié)課的設(shè)計(jì)是為了提高班上同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解和一題多解的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，從一定程度上提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，也能啟到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
二、教學(xué)目標(biāo)
(1) 理解海倫公式與三斜求積術(shù)公式的本質(zhì)相同，證明三斜求積術(shù)公式.
(2) 會(huì)用海倫與秦九韶公式，解決已知三角形三邊求三角形面積這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題.
(3) 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理和概括能力.
三、教學(xué)重難點(diǎn)
(1) 重點(diǎn)：了解我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感和民族文化自信心;秦九韶公式的證明及應(yīng)用. (2) 難點(diǎn)：秦九韶公式的證明與應(yīng)用.




                            四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
  這節(jié)課主要培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力.
五、教學(xué)過(guò)程
1、問(wèn)題引領(lǐng)，合作探究.
“我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—1261），在他的著作《算數(shù)九章》卷五“田域類(lèi) ”里有這樣一個(gè)題目：
“問(wèn)有沙田一段三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知幾何.”意思是已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為13里，14里，15里，則這個(gè)沙田的面積為多少？”
你能利用已學(xué)知識(shí)來(lái)解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？這個(gè)問(wèn)題的主要目的：①學(xué)生探討，教師指導(dǎo).
                      ②培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算能力，
抽象概括能力.
                      ③引出海倫公式.cpbpappS                        其中2
c
bap

教師介紹：古希臘的數(shù)學(xué)發(fā)展到亞歷山大里亞時(shí)期，數(shù)學(xué)的
應(yīng)用性得到了很大的發(fā)展，其突出的一點(diǎn)就是三角術(shù)的發(fā)展三角術(shù)是人們?yōu)榱私⒍康奶煳膶W(xué)，以便用來(lái)預(yù)報(bào)天體的運(yùn)行路線和位置以幫助報(bào)時(shí)，計(jì)算日歷、航海和研究地理而產(chǎn)生的.在解三角形問(wèn)題中.一個(gè)比較困難的問(wèn)題是如何由三




                            角形的三邊a, b, c,直接求出三角形的面積.據(jù)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的，他得到了公式:          cpbpappS其中2
c
bap
但現(xiàn)在人們常常以古希臘的數(shù)學(xué)家海倫命名這個(gè)公式，稱此公式為海倫公式.
總結(jié)：海倫公式的提出為三角形和多邊形的面積計(jì)算提供了新的方法和思路，在已知三角形的三邊而不知道高和角的情況下使用海倫公式可以更快更簡(jiǎn)便的求出三角形面積.
2、學(xué)習(xí)中國(guó)文化，增強(qiáng)民族自信心
我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—1261）在他的著作《算數(shù)九章》也提到了與海倫公式等價(jià)的從三角形的三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，《算數(shù)九章》中的求法是： “以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開(kāi)平方的積.”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式，就是：
                


2
22222241bacacS 教師介紹：  秦九韶，字道古.魯郡（今河南范縣）人.  中國(guó)古代
數(shù)學(xué)家.南宋嘉定元年（1208年）生；約景定（1261年）被貶至梅州，咸淳四年（1268）二月，在梅州辭世，時(shí)年61歲.《算數(shù)九章》全書(shū)九章十八卷，九章九類(lèi)：“大衍類(lèi)”、“天時(shí)類(lèi)”、“田域類(lèi)”、“測(cè)望類(lèi)”、“賦役類(lèi)”、“錢(qián)谷類(lèi)”、“營(yíng)建類(lèi)”、“軍旅類(lèi)”、“市物類(lèi)”，每類(lèi)




                            9題（9問(wèn)）共計(jì)81題（81問(wèn)），該書(shū)內(nèi)容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測(cè)候，下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，尤其是系統(tǒng)總結(jié)和發(fā)展了高次方程的數(shù)值解法與一次同余問(wèn)題的解法，提出了相當(dāng)完備.”正負(fù)開(kāi)方術(shù)”和”大衍求一術(shù)”對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響，他被國(guó)外科學(xué)史家贊譽(yù)為“他那個(gè)民族，那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所以時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.秦九韶所發(fā)明的“大衍求一術(shù)”，即現(xiàn)代數(shù)論中一次同余式組解法，是中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)的成就之一，比西方1801年著名數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理論早554年，被西方稱為“中國(guó)剩余定理”秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中除“大衍求一術(shù)”外，還創(chuàng)擬了正負(fù)開(kāi)方術(shù)，即任意高次方程的數(shù)值解法，秦九韶所發(fā)明的此項(xiàng)成果比1819年英國(guó)人霍納（W·G·Horner，1786—1837年）的同樣解法早572年.
總結(jié)：從數(shù)學(xué)史角度看，世界上每一個(gè)民族都有自己的數(shù)學(xué)史，用自己本民族的語(yǔ)言敘述同一數(shù)學(xué)問(wèn)題能從一定程度上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)讓學(xué)生了解本民族的數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)對(duì)本民族數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感，其次，讓學(xué)生通過(guò)等式變形，學(xué)會(huì)知識(shí)間的融會(huì)貫通，感受數(shù)學(xué)變中之不變的美感，東西方數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展都作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，不同的表達(dá)方式，講述了相同的內(nèi)容，學(xué)生可從中感受數(shù)學(xué)統(tǒng)一性之美.






3、師生探究，公式證明.
古希臘數(shù)學(xué)家海倫運(yùn)用平面知識(shí)，證明海倫面積公式.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶只給出公式，用來(lái)解決已知三角形三邊求三角形面積這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算.你能通過(guò)已學(xué)知識(shí)給出秦九韶面積公式的證明嗎？
教師介紹：證明方法有兩種(1)用以下三個(gè)公式cabSABCsin2
1

，1sincos2
2
cc，ab
cbac2cos2222
.來(lái)證明海倫公式.
(2)用三角形面積公式ahSABC2
1和方
程思想來(lái)證明海倫公式.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)海倫公式定理的證明，加強(qiáng)知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透
從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到中西知識(shí)背后蘊(yùn)藏的深刻文化意涵.
4、公式應(yīng)用，體現(xiàn)價(jià)值.
例1：南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，與著名的海倫公式等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即



2
22222241bacacS 若ABC的周長(zhǎng)為12:5:12sin:sin:sin,522CBA且                    用“三斜求積術(shù)”求 ABC面積=________;





例2：中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平
面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b,c.三角形的面積可由公式

cpbpappS
求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式
也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足             則此三角形面積的最大值=_________.
六、師生小結(jié)
(1) 海倫（Heron）:古希臘數(shù)學(xué)家主要著作有《量度論》，《體積求法》，《幾何》等，最著名的是已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的海倫公式：
cpbpappS其中2
c
bap
(2) 秦九韶:南宋著名數(shù)學(xué)家，代表作《算數(shù)九章》''三斜求積術(shù)“已知三邊長(zhǎng)求三角形面積：


222222241bacacS 七、思維深化，拓展延伸.
若將海倫公式推廣到四邊形，即設(shè)四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別為a ，b， c, d,則這個(gè)四邊形的面積為：
.2
,d
cbapdpcpbpappS

其中思考：以上公式對(duì)任意的四邊形是否都成立？
設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問(wèn)題可供有余力的學(xué)生課后鉆研，提高自學(xué)能力.




                            八、課后作業(yè)
[針對(duì)訓(xùn)練]南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，與著名的海倫公式等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式
即



2
22222241bacacS在ABC中，若,15,14,13ACBCABD在AC上，且BD平分ABC則ABC的面積=________; BD=____________. [針對(duì)訓(xùn)練]南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，與著名的海倫公式等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式
即


2
22222241bacacS已知ABC的三邊分別a,b,c.面積為S.若ACasin24sin2且

A
abcBCasin27sinsin2則
ABC的面積為=_______.

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解與回顧，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,學(xué)會(huì)知識(shí)之間的融會(huì)與貫通.

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