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視頻標簽：概率的意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修3第三章3.1.2概率的意義-重慶市優課
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《概率的意義》教學設計
【教學內容解析】 “統計與概率”主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象,它通過對數據收集、整理、描述和分析以及對事件發生可能性的刻畫，來幫助人們作出合理的推斷和預測。按照教學內容交叉編排，螺旋上升的方式，本節內容是在統計的基礎上展開對概率的研究，本節內容是從頻率的角度來解釋概率。在這之前，學生對事件發生的可能性的大小已經有了初步的認識，本章中學生初次接觸概率，主要學習隨機事件及概率的定義，掌握計算簡單事件概率的方法，從中體會隨機觀念和概率思想，概率是對隨機事件發生可能性大小的一種度量，學習概率使學生對加深了對事件發生可能性大小的理解。而本節內容，又是從頻率的角度來解釋概率，其核心內容是介紹實驗概率的意義，即當試驗次數較大時，頻率漸趨穩定的那個常數叫概率。通過本節課的學習，將為今后學習理論概率的意義和用列舉法求概率打下基礎；而對于隨機事件及其概率的認識，學生需要一個較長時期的認知過程，學生對概率思想的理解和掌握會隨著自身年齡的增長以及知識面和生活經驗的延伸而發展，而對概率意義的正確理解是學生對概率思想的理解和掌握這個長期認知過程的基礎和根本，所以我認為對概率意義的正確理解和它在實際生活中的應用是本堂課的教學重點。 【教學目標及其解析】： 一．具體目標
在具體情境中了解概率的意義，體會概率是描述不確定現象發生可能性大小的數學概念；在具體情境中培養學生的隨機觀念。 二．教學目標解析
1. 學生對事件發生的可能性的大小已經有了初步的認識，學生初次接觸概率，對概率意義的描述會感到困惑，對于隨機事件及其概率的認識，學生需要一個較長時期的認知過程，所以本節的核心目標只需在具體情境中了解概率的意義，即當試驗次數較大時頻率逐漸穩定的那個常數就叫概率，體會概率是描述不確定現象發生可能性大小的數學概念。 2. 隨機現象在現實生活中是普遍存在的，概率論這門學科就是研究和揭示隨機現象統計規律的數學工具，所以概率教學的一個重要目標是培養學生的隨機觀念，在初次接觸概率時就要注意培養學生的隨機觀念，可以通過讓學生親身經歷對隨機事件的探索過程，通過與他人合作探究，使學生逐步建立正確的隨機觀念。 具體目標解讀：
(1). 正確理解概率的意義。
(2). 利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題。
在教學過程中充分讓學生動手試驗，對數據進行整合，培養學生的數據分析能力。從案例入手深入理解概率的意義，幫助學生數學抽象、建模等核心素養的養成。 【教學問題診斷分析】
學生初次接觸概率，根據學生的認知規律，本節內容給出了對事件發生可能性的更加抽象和更加數學化的描述—用頻率來定義的概率，即當試驗次數較大時頻率逐漸穩定的那個常數就叫概率，頻率是個試驗值，具有隨機性，可能取多個數值;概率是個理論值，是由事件的本質所決定的，只能取唯一值，它能精確地反映事件出現可能性的大小。雖然概率能精確反映事件出現可能性的大小，但它通過大量試驗才能得到，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值。它是頻率的科學抽象，當試驗次數頻率圍繞概率擺動的平均幅度越來越小，即頻率靠近概率。因此辨證理解頻率和概率的關系是教學中的一大難點；另外，由于本節課內容貼近生活，因此豐富的日常生活問題情境會激發學生濃厚的興趣，但學生過去的生活經驗會對這節課的學習帶來障礙，例如：天氣預報說某天降水概率為90%,結果那天并沒有降雨，
有同學就說天氣預報出問題了，這種說法就是由于同學們的過去錯誤的生活經驗造成的，沒有正確的理解降水概率90%的實際含義，因此，正確理解每次試驗結果的隨機性與大量隨機試驗結果的規律性是教學中的有一大難點。 【教學支持條件分析】
1. 在“連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”的活動中，判定是否一定是一次正面朝上，一次反面朝上？現場收集整理學生分組進行拋硬幣試驗的數據，用ppt繪出“一次正面朝上、一次反面朝上”的頻率。隨投擲次數n變化的折線圖，幫助學生直觀的分析試驗結果，通過折線圖引導學生發現在試驗次數逐漸增大的情況下，頻率數值漸趨穩定。
2. 也可用計算機模擬拋擲硬幣試驗可以增加試驗次數，方便操作，省時省力，幫助學生通過多次模擬試驗發現規律或驗證規律，使學生認識到：盡管是隨機試驗，盡管每一件事件的發生具有偶然性，但隨著試驗次數的增加，“一次正面朝上、一次反面朝上”的頻率曲線越來越平穩，即穩定于0.5。 【教學過程設計】 一． 教學基本流程：
二． 教學過程： 1.明確目標，引入新課
(1). 正確理解概率的意義。
(2). 利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題。 【設計意圖】：
本節內容是上一節課的延續，學生對事件發生的可能性的大小已經有了初步的認識，學生初次接觸概率，對概率意義的描述會感到困惑，對于隨機事件及其概率的認識，學生需要一個較長時期的認知過程，所以此環節明確告知學生，本節的核心目標只需在具體情境中了解概率的意義，即當試驗次數較大時頻率逐漸穩定的那個常數就叫概率，體會概率是描述不確定現象發生可能性大小的數學概念。 2. 創設情境，動手實驗 （1）創設情境：
問題1：①足球比賽中，往往采用拋硬幣的方法來決定誰先開球，這樣的方法對兩支球隊公平嗎? 猜想：公平
②有人說，既然拋擲一枚硬幣出現正面的概率為0.5，那么連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。
創設情境，動手試驗 明確目標，引入新課 獲取新知，掌握方法 案例分析，加深認識
學習反思，鞏固提高
你認為這種想法正確嗎？ 【設計意圖】：
要探究隨機事件的概率，教科書中拋擲硬幣的試驗是一種最簡單的隨機試驗，投幣的結果只有兩個，投幣試驗是最常用的一個說明隨機現象的例子，既典型又方便，如果老師簡單直敘說要做拋擲硬幣試驗，提不起學生多大興趣，讓學生覺得被老師牽著走，而日常生活中運用投硬幣方式來解決實際問題的例子很多，所以可以從學生已有的生活經驗出發，引入自然，激發學生的興趣，貼近生活，引導學生用數學知識解決實際問題，讓學生大膽猜想結論，順勢引導學生來共同完成拋擲硬幣的試驗。 師生活動：
對于①教師先提問，對足球感興趣的學生自然能夠回答出來，激起學生的興趣，問題的設置是為了引導學生來共同完成拋擲硬幣的試驗，驗證猜想，這個問題，因為所有足球比賽都是用這種方式來決定兩隊誰先開球，而硬幣有兩個面，學生會直覺的認為擲得“正面向上”和“反面向上”的可能性是相同的，所以學生直覺判斷：“公平”，但為什么呢？學生一時答不上來，可能也說不清楚，教師便可順勢提問學生：“能否用試驗的方法來驗證？” 引導學生來共同完成拋擲硬幣的試驗。 （2）對于問題②，動手試驗： 第一步：分組試驗：
把全班同學分成12組，每組各取一枚同樣的硬幣，連續兩次拋擲，觀察它落地后的朝向，并記錄下結果，重復上面的過程10次，填入下表。把全班同學試驗結果匯總，計算三種結果發生的頻率。
整理同學們獲得的試驗數據，并記錄在下表中：
組別
試驗次數
兩次都正面朝上的次數
兩次都反面朝上的次數 一次正面朝上，一次反面朝上的次數
隨著試驗次數的增加，可以發現，“正面朝上、反面朝上各一次”的頻率與“兩次均正面朝上”“兩次均反面朝上”的頻率是不一樣的，而且“兩次均正面朝上”“兩次均反面朝上”的頻率大致相等； “正面朝上、反面朝上各一次”的頻率大于“兩次均正面朝上”（“兩次均反面朝上”）的頻率。事實上， “兩次均反面朝上”的概率為0.25， “兩次均正面朝上”的概率也為0.25， “正面朝上、反面朝上各一次”的概率為0.5 。 【設計意圖】：
1．讓學生親自動手試驗，經歷數據的收集、整理、描述與分析的過程，進一步發展學生的統計意識，發現數據中隱藏的規律，折線圖可以幫助學生直觀的分析試驗結果.
2. 問題的設置在于引導學生發現頻率值不一樣；在“連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”的活動中，結果并非一定是“一次正面朝上，一次反面朝上”，引導學生發現“一次正面朝上，一次反面朝上”頻率數值比“兩次都正面朝上”和“兩次都反面朝上”要大，并且漸趨穩定于0.5. 【師生活動】： 對問題1，學生回答很輕松，通過試驗結果可以一眼看出，感受隨機事件的發生具有隨機性；對問題2的設置，學生進行12組試驗，引導學生通過試驗結果發現在“連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”的活動中，“一次正面朝上，一次反面朝上”不是一定出現，頻率總是在0. 5左右波動，試驗次數不夠多時，學生還不能觀察得出隨機事件隨著試驗次數的增加呈現的規律性，事實上還可以用計算機模擬試驗，增加試驗次數，帶領學生繼續探究隨機事件隨著試驗次數的增加呈現的規律性。
隨機事件在一次試驗中發生與否是隨機的，但隨機性中含有規律性。認識了這種隨機性中的規律性，就能為我們比較準確的預測隨機事件發生的可能性。
例如，假設籃球運動員庫里投三分球投中的概率是0.8，那么他連續投球5次，則一定投中4次，這樣理解是不正確的．把每投一次球看作是一次試驗，其結果是隨機的，他雖然投三分球的投中率很高，但投球5次會出現的結果可能是：進球5次，4次，3次，2次，1次，也有可能是0次．
問題2:有人說,中獎率為
的彩票,買1000張一定中獎,這種理解對嗎? 說明：雖然中獎張數是隨機的，但這種隨機性中具有規律性。隨著試驗次數的增加，即隨著
買的彩票張數的增加，大約有
的彩票中獎。實際上，買1000張彩票中獎的概率為
。沒有一張中獎也是有可能的，其概率近似為0.3677。
問題3:通過以上的三個試驗，你能得到什么結論？ 結論：（1）在重復拋擲一枚硬幣時，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動。隨著拋擲次數的增加，一般地，頻率就呈現一定的穩定性：在0.5左右擺動的幅度會越來越小.。由于“正面向上”的頻率呈現出上述穩定性，我們就用0.5這個常數表示“正面向上”發生的可能性的大小。 （2）在“連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”的活動中，結果并非一定是“一次正面朝上，一次反面朝上”，引導學生發現“一次正面朝上，一次反面朝上”頻率數值比“兩次都正面朝上”和“兩次都反面朝上”要大，并且漸趨穩定于0.5。事實上， “兩次均反面朝上”的概率為0.25， “兩次均正面朝上”的概率也為0.25， “正面朝上、反面朝上各一次”的概率為0.5 。
（3）在買彩票是否中獎的活動中，引導學生發現雖然中獎張數是隨機的，但這種隨機性中
具有規律性。隨著試驗次數的增加，即隨著買的彩票張數的增加，大約有
的彩票中獎。 【設計意圖】：
1.驗證情境中猜想的正確性。
2.總結出通過三個案例得出的結論。
3.用數學試驗得出的結論對實際問題進行解釋和應用。 4.通過試驗總結出結論，為研究概率的意義做鋪墊。 【師生活動】：
結合具體問題，學生先談，然后教師進行歸納：以上三個案例得出結論：1.“正面向上”的頻率穩定于0.5，“反面向上”的頻率也穩定于0.5，由兩個頻率穩定到的常數相等說明兩者發生的可能性相等，隨著試驗次數的增加，“正面向上”這一隨機事件發生的頻率逐漸穩定，等于一個常數，可以用這個常數來刻畫隨機事件發生的可能性大小。2. 在“連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”的活動中，結果并非一定是“一次正面朝上，一次反面朝上”，引導學生發現“一次正面朝上，一次反面朝上”頻率數值比“兩次都正面朝上”和“兩次都反面朝上”要大，并且漸趨穩定于0.5。事實上， “兩次均反面朝上”的概率為0.25， “兩次均正面朝上”的概率也為0.25， “正面朝上、反面朝上各一次”的概率為0.5 。3.在具體生活中，如何去解釋可能性的大小問題。隨著試驗次數的增加，即隨著買的彩票張數的增加，大約有
的彩票中獎。實際上，買1000張彩票中獎的概率為
。
沒有一張中獎也是有可能的，其概率近似為0.3677 【及時鞏固】：
請完成《高考調研》P66 思考題1 3．獲取新知、掌握方法：
一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率 會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p叫做事件A的概率，記作P(A)=p. 其中m是事件A發生的頻數，n是試驗次數. 問題3：事件A發生的概率P(A)有取值范圍嗎？頻率和概率有區別嗎？ 隨機事件發生的頻率與概率的區別與聯系是什么?
（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率。 （2）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。
（3）概率是一個確定的數，是客觀存在的，與每次試驗無關。 【設計意圖】：
通過上面三個案例，學生已經看到，大量重復試驗下，隨機事件發生的頻率逐漸穩定到的常數刻畫了隨機事件發生的可能性的大小，所以可以順理成章的形成概念；問題1和問題2的設置目的在于幫助學生認識，理解概率的概念，在n次試驗中，事件A發生的頻率m，滿足0≤m≤n，所以，0≤
≤1，進而可知頻率 所穩定的常數P滿足0≤P≤1，因此0≤P
（A）≤1；問題3的設置讓學生很好的區分開頻率與概率，它們的區別就是：頻率是隨著試驗次數的改變而（有可能）變化的；概率是一個常數，是一個客觀值；
頻率是概率的近似值，頻率不一定等于概率，概率是頻率趨于穩定的那個值，幫助學生正確的理解概念，突破難點1. 【師生活動】：
對于問題1中的問題，教師引導學生完成；學生在問題1的完成了的基礎上會根據頻率的求法得到當A為必然事件時，P（A）=1，當A是不可能事件時，P（A）=0。教師用拋擲硬幣的實際例子來引導學生理解頻率和概率及其區別.
對于問題2.，引導學生去解釋生活中的概率問題，理解概率在一些具體案例中的具體含義。 4、案例分析，加深認識——概率在實際問題中的應用 （1）游戲的公平性
我們之前討論過足球比賽中，往往采用拋硬幣的方法來決定誰先開球，這樣的方法對兩支球隊是公平的。 【案例】：這樣的游戲公平嗎?
小軍和小民玩擲色子是游戲，他們約定：兩顆色子擲出去，如果朝上的兩個數的和是5，那么小軍獲勝，如果朝上的兩個數的和是7，那么小民獲勝。這樣的游戲公平嗎？ 事件：擲雙色子
A：朝上兩個數的和是5 B：朝上兩個數的和是7 關鍵是比較A發生的可能性和B發生的可能性的大小。
1點 2點 3點 4點 5點 6點 1點 2 3 4 5 6 7 2點 3 4 5 6 7 8 3點 4 5 6 7 8 9 4點 5 6 7 8 9 10 5點 6 7 8 9 10 11 6點
7
8
9
10
11
12
【例2】：小明、小英、小強三個同學進行某種游戲時需要確定做游戲的先后順序，他們商定:將兩個一元硬幣同時向上拋出，落地后，如果兩個都是正面向上，小明先做；如果兩個都是反面向上，小英先做；如果兩個一正一反，小強先做。 確定第一以后（不妨設小強已經確定為第一），再將一個硬幣向上拋出，落地后，如果正面向上，小明第二，小英第三；如果反面向上，小英第二、小明第三。
請你思考一下，他們用這樣的辦法來確定做游戲的先后順序是否合理？個人取得第一、第二和第三的機會是否均等？為什么？ （2）、決策中的概率思想——極大似然法。
思考：如果連續10次擲一枚色子，結果都是出現1點，你認為這枚色子的質地均勻嗎？為什么？
例3、設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球1個黑球，乙箱有1個白球99個黑球，今隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球，問這球從哪一個箱子中取出？
——極大似然法！ （3）、天氣預報的概率解釋
思考：某地氣象局預報說，明天本地降水概率為70%。你認為下面兩個解釋中哪一個能代表氣象局的觀點？
①明天本地有70%的區域下雨，30%的區域不下雨； ②明天本地下雨的機會是70%。 （4）、遺傳機理中的統計規律
①試驗與發現
②遺傳機理中的統計規律
請閱讀讀教材相關內容體會遺傳機理中的統計規律。 5、歸納小結，形成觀點 （1）概率的正確理解：隨機事件在一次實驗中發生與否是隨機的，但隨機性中含有規律性：即隨著實驗次數的增加，該隨機事件發生的頻率會越來越接近于該事件發生的概率。 （2）概率在實際問題中的應用： ①概率與公平性的關系：利用概率解釋游戲規則的公平性，判斷實際生活中的一些現象是否合理。
②概率與決策的關系：在“風險與決策”中經常會用到統計中的極大似然法：在一次實驗中，概率大的事件發生的可能性大。 ③概率與預報的關系：在對各種自然現象、災害的研究過程中經常會用到概率的思想來進行預測。
④遺傳機理中的統計規律. 【設計意圖】：
本環節一問題形式設置，目的在于回顧概率的定義,在具體情境中了解概率的意義是本節內容的核心目標，通過本堂課的學習要讓學生逐步理解概率的內涵，概率是從數量上來刻畫一個隨機事件發生的可能性大小。 【學生活動】：
對于這個問題,學生一定是從具體實例出發來理解概率，不能只是單純的把概率的定義復述出來，回答這個問題時注意引導學生從實際例子出發來深刻認識概率的意義。學生先談，教師進行歸納總結。
6、學習反思，鞏固提高
請完成《高考調研》P68 課后鞏固 交流心得。 【設計意圖】：
第（1）題：設計目的在于培養學生正確的隨機觀念，正確的理解概率，概率是從數量上刻 畫了一個隨機事件發生的可能性大小，而隨機事件的發生具有不確定性的.選A。
第（2）題：強調概率是針對大量試驗而言的，大量試驗反應的規律并非在每次試驗中一定存
在.選D。
第（3）題：極大似然法的應用，更有可能發生的是乙公司來負這個責任。選B。 第（4）題：不合理。
第（5）題：為了幫助學生理解概率的意義，極大似然法的應用。生活中的決策問題，選白球。
5個問題設置的目的是為了使學生正確的理解大量隨機試驗結果的規律性和每次試驗結果的隨機性，突破難點2. 【師生活動】：
對于這幾個問題，判斷對與錯并不難，學生可以準確的判斷出來，難就難在如何準確的用概率知識解釋這幾個題，說明理由，所以教師可以先讓學生分小組討論，注重討論“說明理由”，教師可以參與學生的小組討論，幫助學生用概率知識正確的理解這幾個題，討論完畢，讓學生先談，教師總結歸納。. 【師生活動】：
學生在求頻率時可以準確求出，但頻率趨于穩定的那個值，也就是概率，不一定能夠準確的找出來，可以引導學生先思考，教師再啟發點撥，幫助學生找出規律，求出概率。 三. 課后作業： （1）閱讀教材閱讀材料。 （2） 作業：《課時作業二十三》 四. 教學反思與后記
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