視頻簡介：
視頻標簽：建立概率模型
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版高中數學必修三第三章概率3.2.2建立概率模型-陜西省
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《建立概率模型》教學設計
一、教材分析
《普通高中數學課程標準，（試驗）解讀》明確指出：“概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義。古典概型的教學應上學生通過實例理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個實驗結果出現的等可能性，讓學生初步學會把一些實際問題化為古典概型。教學時不要把重點放在如何計數上，計數本身只是學習的方法與策略問題，在具體的模型中有很多特殊的計數方法，這些不是教學的重點，教學的重點應該是讓學生理解古典概型的特征，根據特征來建立我們需要的概率模型。”根據本課的特點，緊扣新課標的理念，對《建立概率模型》的教材分析如下：
本節課是北師大版高中數學必修三第三章概率的第二節古典概型的第二課時《建立概率模型》，是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前的內容。由于學生剛學過隨機事件的概率、古典概型及其概率計算的公式，教師可以利用這些作為知識的生長點，類比，設想中獲得及掌握建立恰當的概率模型來解決相關實際問題的方法。
建立古典概型是一種特殊的數學模型，也是一種最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重復重復試驗，而且都到了是概率的精確值，同時古典概型也是后面學習的條件概率的基礎，起到承前啟后的作用，所以在概率論中占有相當重要的地位。
這節課是沒有學習排列組合的基礎上學習建立古典概型，所以在教學重點不是“如何計算”，而是讓學生通過生活中的實例和數學模型理解古典概型的兩個特征，讓學生初步學會把一些實際問題轉化為古典概型，因此，在教學過程中，注意引導學生開展小組合作的學習，通過舉出大量的古典概型的實例調動學生學習的積極性從而使目標達成。
本節課本通過例2的四種模型的所有可能結果數越來越少，調動起學生思考探究的興趣；教師在教學中要注意通過引導學生體會不同模型的特點以及對各種方法進行比較，提高學生分析和解決問題的能力。
二、學情分析
我承擔的是高一（3）（5）兩個班的數學教學，其中高一（3）班是普通班，學生數學基礎比較薄弱，對數學的了解比較淺顯，課堂接受容量較低。而相比之下，高一（5）班是重點班，學生接受知識的能力比較好。本課的學習是建立在學生已經了解了概率的意義，掌握了概率的基本性質，知道了古典概型的特征和概率計算公式的基礎上。學生已經具備了一定的歸納、猜想能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養。多數學生能夠積極參與研究，但在合作交流意識方面，發展不夠均衡，有待加強。
三、教學目標
1、知識與技能：
理解古典概型及其概率計算公式，能夠根據古典概型的特征從生活實例中抽象出古典概型，建立模型求解。 2、過程與方法：
（1）通過對現實生活中具體的概率問題的探究，感知應用數學知識解決實際問題的方法，體會數學知識與現實世界的聯系，培養邏輯推理能力；
（2）通過建立概率模型求概率，讓學生學會列舉法、數形結合法計算概率，培養學生建模意識。 3、情感態度與價值觀：
（1）通過數學與探究活動，體會理論來源于實踐并應用于實踐的辯證唯物主義觀點；
（2）通過實例讓學生體會概率意義的同時，感受與他人合作，初步形成正確的價值觀，提高科學地分析問題、解決問題的能力。
四、教學重難點
1、重點：建立古典概率模型 2、難點：準確建模并求解
五、教法學法分析
本節課屬于建立模型教學。為了培養學生的自主學習能力，激發學習興趣，在教學中采取以問題式引導發現法教學，利用多媒體等手段，引導學生進行觀察討論、歸納總結。
六、課時安排
1課時
七、教學過程
計算事件發生概率的大小時，要建立概率模型，這是高中數學的重點內容之一，也是高考的必考內容，把什么看成一個基本事件是人為規定的．今天我們學習如何建立概率模型。 （一）溫故知新 1、古典概型的概念：
1)試驗的所有可能結果(即基本事件)只有有限個,每次試驗只出現其中的一個結果;
2)每一個結果出現的可能性相同。 2、古典概型的概率計算公式：
3、列表法計算概率：
【設計意圖】復習古典概型是因為對于每一個實際問題我們都需要首先判斷它是否是古典概型；復習古典概型的概率計算公式是為了探索古典概型問題時，古典概型中事件概率求法的理論推導時有所應用。
（二）課前熱身
1.單選題是標準化考試中常用的題型.如果考生不會做,他從4個備選答案中隨機地選擇一個作答,他答對的概率是_1/4_.
2. 從集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一個, 這個集合恰是集合 {1,2,3} 的子集的概率是_1/4_.
3.拋擲兩枚均勻的骰子,出現數字之積為偶數與出現數字之積為奇數的概率分別是_3/4_、__1/4_.
【設計意圖】三個實驗都是古典概型，因此從試驗出發尋找出它們的共同點，進而計算古典概型的概率。同時讓同學自己探索培養了學生猜想、化歸、觀察比較、歸納問題的能力。
（三）問題導入
在古典概型中，同一個試驗中基本事件的個數是不是永遠一定的呢？為什么？
以投擲一枚質地均勻的骰子為例：
(1)若考慮向上的點數是多少,則可能出現1,2,3,4,5,6點，共有_6_個基本事件。；
(2)若考慮向上的點數是奇數還是偶數,則可能出現奇數或偶數，共_2_個基本事件；
(3)若把骰子的6個面分為3組(如相對兩面為一組),分別涂上三種不同的顏色，則可以出現__3__個基本事件。答：不一定。一般來說，在建立概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個實驗的結果）是人為規定的。只要基本事件的個數是有限的每次實驗只有一個基本事件出現，且發生是等可能的，是一個古典概型。
【設計意圖】從學生熟悉的試驗出發，讓同學們自己思考探索。
（四）新課推進
1.考慮摸球的號碼時，每個號碼都是等可能的，有10種結果，因此，任何一個號碼被摸到的概率為______
2.如果考慮摸到球的號碼是奇數還是偶數時，有兩種結果：“奇數號碼”、“偶數號碼”兩種結果是等可能出現的，因此其概率都是____
3.若考慮不同顏色的球摸到的概率，右圖將1～5號球涂成紅色，6～10號球涂成藍色，可以看出紅色和藍色的概率都是_____ 4.能否設計一種方案是其使概率為1/5？
我們可以將1～10號球每兩個涂成一種顏色，一共5種，則，每種顏色被摸到的概率就為1/5。
【設計意圖】建立古典概型是本節課的重點，在這里設這幾個練習可以起到檢驗同學是否真正理解古典概型的概率計算，同時也可以讓同學們學會新知識的應用。
（五）新課講授
一般來說,在建立概率模型時把什么看作是基本事件,即試驗結果是人為規定的,也就是說,對于同一個隨機試驗,可以根據需要,建立滿足我們要求的概率模型。
【設計意圖】通過實例，引導學生進行知識的遷移，培養學生的邏輯思維能力，展示學生的思維過程，在課堂上把問題交給學生，提
倡學生自主學習的新理念。培養學生猜想，對比，論證的數學思維。
【例】口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一球，試計算第二個人摸到白球的概率。
分析：我們只需找出4個人按順序依次摸球的所有可能結果數和第二個人摸到白球的可能結果數．為此考慮用樹狀圖列出所有可能結果。
解法一：用A表示事件“第二個人摸到白球”．把2個白球編上序號1，2；2個黑球也編上序號1，2。于是，4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結果，可用樹狀圖直觀地表示出來(如下圖)。
樹狀圖是進行列舉的一種常用方法。從上面的樹狀圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24。由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，因此，這24種結果的出現是等可能的，試驗屬于古典概型。在這24種結果中，第二個人摸到白球的結果有12種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝12/24＝1/2，這與第一節的模擬結果是一致的。
還可以建立另外的模型來計算“第二個人摸到白球”的概率。如果建立的模型能使得試驗的所有可能結果數變少，那么我們計算起來就更簡便。 解法二：因為是計算“第二個人摸到白球”的概率，所以我們可以只考慮前兩人摸球的情況。前兩人依次從袋中摸出一球的所有可能結果可用樹狀圖列舉出來(如下圖)．
從上面的樹狀圖可以看出，這個模型的所有可能結果數為12，因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此，這12種結果的出現是等可能的，這個模型也是古典概型。在上面12種結果中，第二個人摸到白球的結果有6種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝6/12＝1/2。
這里，我們是根據事件“第二個人摸到白球”的特點，利用試驗結果的對稱性，只考慮前兩人摸球的情況，從而簡化了模型。
我們還可以從另外一個角度來考慮這個問題．因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此，可以對2個白球不加區別，對2個黑球也不加區別，這樣建立的模型的所有可能結果數就會更少，由此得到另一種解法。
解法三：只考慮球的顏色，4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結果可用樹狀圖列舉出來(如下圖)．
試驗的所有可能結果數為6，并且這6種結果的出現是等可能的，這個模型是古典概型。在這6種結果中，第二個人摸到白球的結果有3種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝3/6＝1/2。
下面我們繼續優化模型，再給出一種更為簡單的解法。
解法四：只考慮第二個人摸出的球的情況，他可能摸到這4個球中的任何一個，這4種結果出現的可能性是相同的。第二個人摸到白球的結果有2種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝2/4＝1/2。
【思考】第三個人第四個人摸到白球的概率是多少？為什么？
利用這個模型，很容易算得第三個人和第四個人摸到白球的結果都為1/2，因此4個人順次抓鬮決定兩件獎品的歸屬，每個人的中獎率都是1/2。
【設計意圖】由于前面學生沒有學習排列組合知識，因此用樹狀圖列舉基本事件的個數，不僅能讓學生直觀的感受到對象的總數，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏，解決了求古典概型中基
本事件總數這一難點，同時滲透了數形結合及分類討論的數學思想。
【點評】畫樹狀圖進行列舉是計算結果個數的基本方法之一．
1.解法一利用樹狀圖列出了4個人依次從袋中摸出一球的所有可能結果，共有24種，其中第二個人摸到白球的結果有12種，因此算得“第二個人摸到白球”的概率為1/2；
解法二利用試驗結果的對稱性，只考慮前兩人摸球的情況，所有可能結果減少為12種，簡化了模型；
解法三只考慮球的顏色，對2個白球不加區別，對2個黑球也不加區別，所有可能結果只有6種；
解法四只考慮第二個人摸出的球的情況，所有可能結果變為4種，這個模型最簡單。
2.盡管解法二、三、四建立的模型在解決該問題時比解法一簡便，但解法一也有它的優勢，利用解法一可以計算出4個人順次摸球的任何一個事件的概率，而解法二、三、四卻不能做到。教師要提醒學生，本章古典概率的計算，解法一是最基本的方法。 【抽象概括】1.從以上4種解法中，我們分別規定了不同的結果作為基本事件，只要我們在模型中規定了有限個基本事件，并且它們發生是等可能的，都是古典概型的問題；
2.這個問題說明不論第幾次摸球，摸到白球的概率都是1/2，即抽簽與順序無
關。也說明統計中的簡單隨機抽樣可以保證每一個樣本被抽到的概率是相同的。 【變式訓練】袋里裝有 1 個白球和 3 個黑球,這4個球除顏色外完全相同, 4個人按順序依次從中摸出一球.求第二個人摸到白球的概率。 （六）練習鞏固
1.建立適當的古典概型解決下列問題:
(1)口袋里裝有100個球,其中有1個白球和99個黑球,這些球除顏色外完全相同。100個人依次從中摸出一球,求第81個人摸到白球的概率。 (2)100個人依次抓鬮決定1件獎品的歸屬,求最后一個人中獎的概率。 2.隨意安排甲、乙、丙三人在三天節日里值班，每人值班一天，請計算： （1）這3人的值班順序共有多少種不同的安排方法？ （2）甲在乙之前的排法有多少種？ （3）甲在乙之前的概率是多少？
3.假設有5個條件很類似的女孩，把她們分別記為A、C、J、K、S，她們應聘秘書工作，但只有三個秘書職位，因此5人中僅有3人被錄用，如果5個人被錄用的機會相等，分別計算下列事件的概率： （1）女孩K得到一個職位； （2）女孩K和S各自得到一個職位； （3）女孩K或S得到一個職位。
【設計意圖】 進一步讓學生掌握準確建立古典概型的方法，并能夠學以致用，加深對本節課的理解。
（七）課堂小結
1.從不同的角度考慮，可以建立不同的概率模型來解決一個實際問題； 2.古典概型的所有可能結果數越少，問題的解決就變得越簡單； 3.有很多不同的問題，我們還可以把它們歸為同一個模型來解決。
【設計意圖】 使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識，并把學過的相關知識有機地串聯起來，便于記憶和應用，也進一步升華了這節課所要表達的本質思想，讓學生的認知更上一層。
（八）板書設計
八、教學設計反思
學生是學習的主體，他們的學習一定要親身經歷才會印象深刻，在學習的過程中，我盡可能地創設情境，讓學生去感受、去體會知識的形成過程，從而使學生很好地進行知識建構。本節課的教學通過提出問題，引導學生發現問題，經歷思考交流概括歸納后得出如何準確建立古典概型，再由問題的提出進一步加深對古典概型的兩個特點的理解；最后通過學生觀察比較歸納總結，由特殊到一般得出建立古典概型的最優化方案，這一過程能夠培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。教學過程設計以”問題串”的方式呈現為主,教學過程中強調基于問題解決的設計，在教師的引導下，讓學生通過討論、歸納、探究等方式自主獲取知識，從而達到滿意的教學效果。本節教學設計過程中，注重培養學生的應用能力，以及實際問題建模能力。在實際教學過程中，教師要根據學生的實際，重點指導學生如何建立古典概型，構建利于學生學習的有效教學情境，較好地拓展師生的活動空間，豐富教學手段，符合新課程的理念。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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