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視頻標簽：笛卡爾,解析幾何
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修二第三章閱讀與思考笛卡爾與解析幾何-安徽
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必修二第三章閱讀與思考笛卡爾與解析幾何-安徽省廬江中學
人教A版必修2第三章閱讀與思考
笛卡爾與解析幾何
一、 教材分析
“笛卡爾與解析幾何”是《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版必修二第三章第3.3節的內容，是閱讀與思考的內容。在本節內容之前依次是空間幾何體、點線面的位置關系、直線與方程，它的后面是圓與方程，本節之前是幾何，本節之后也是幾何，同時在必修一中學生已經學過了函數問題，必修四中學過向量知識，初中已經學過在坐標系中研究代數問題；因此，本節課的意圖是要學生明確解析幾何的來龍去脈，同時要讓學生意識到幾何與代數之間是有深刻聯系的；同時還要讓學生意識到解析幾何中的思想方法，始終貫穿在整個高中階段，在我們的解題或者是生活中都是必不可少的，另外，本節課的內容也為學生學習后面的圓、圓錐曲線和極坐標以及大學所學的空間解析幾何提供最基本的學習策略和解決問題的方向。
本節閱讀材料“笛卡爾與解析幾何”先分析了笛卡爾創建解析幾何的背景和原因，然后簡單敘述了笛卡爾創建解析幾何的過程，最后說明了解析幾何的意義和它的結構特征。同時指出費馬也是解析幾何創建人之一，因此本節課的設計安排是要讓學生明確解析幾何的來龍去脈，理解解析幾何中數形結合的基本思想，體會解析幾何創建的意義，知道學習解析幾何的基本方法。另外這種設計還要讓學生從系統、全面的角度去了解解析幾何，感受笛卡爾在創建解析幾何中所體現出來的精神品質。
本節閱讀材料是對解析幾何進行了宏觀、全面的描述，并沒有突出解析幾何基本的方法—坐標法。另外學生學習了本節閱讀材料，知道笛卡爾創建解析幾何，但是學生不知道笛卡爾具體是怎么創建解析幾何的。因此，我把笛卡爾創建解析幾何用一道經典高考題進行了重點突出。
二、 學情分析
本節課的授課對象是高二（8）班，根據合肥地區的教學順序安排，學生已經已經先后學習了必修一，必修四，必修五，必修三，必修二前面章節，對解析幾何有了一個宏觀的認識，但是對解析幾何的認識還不夠深刻，學生僅僅停留在單純做題的角度，尤其缺乏對解析幾何文化和建立解析幾何過程的了解，更談不上對數形結合的思想在解析幾何中深刻的認識。因此，本節課很有必要讓學生進行學習。
本節閱讀材料雖然比較系統和全面，但是學生閱讀材料之后并不能對背景和意義產生深刻的認識，同時對笛卡爾創建解析幾何的過程會產生不清晰的困惑，也不能理解為什么恩格斯對解析幾何有如此高的評價。
雖然高二學生具有一定的綜合分析解決問題的能力，但整體的思辨能力還不強。因此，為了解決
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以上全部問題，讓學生課前上網查閱笛卡爾與解析幾何的相關資料，補充坐標法解決向量問題，課中采用合作討論、探究的教學方法等，幫助達到教學目的。
三、 教學目標
（1）了解笛卡爾創建解析幾何的背景和過程，以及解析幾何的意義和特征；
（2）通過學生課前準備，小組合作討論，向量計算問題的具體解決以及幾何畫板教學的輔助，讓學生深刻理解解析幾何的基本思想方法，知道如何去學好解析幾何；
（3）通過了解解析幾何相關背景和過程，讓學生體會數學家們堅持不懈、探索創新的精神品質，在小組討論與合作的過程中，培養合作交流的意識以及團隊協作精神。
教學重點：解析幾何的創建過程以及所蘊含的基本思想方法和特征。 教學難點：認識解析幾何的創建過程和利用坐標法解決幾何問題。
四、教學方法：小組合作討論、問題展示交流，教師啟發誘導、歸納總結。 五、教學準備：幾何畫板、多媒體信息技術、學生課前查閱、導學案、固學案。 六、教學過程
教學環節
教 學 過 程
師 生 活 動
設 計 意 圖
創
設
情 境【活動一】創設情境
1990年上海的一道經典高考語文題：你能用一句話（單句）將右邊的圖形通過固定電話，準確的告訴對方嗎。（請2-3個學生回答問題）
學生：A...; 學生:B...
教師：（請問你為什么想到要去建立坐標系？——因為坐標系具有精確性）
當年上海的育才中學，全校只有2個學生做對，答案五花八門：這是一個鋸齒形圖案、E圖案、山字豎起來。標準答案：這是一個連接（1，1）、（4，1）、
教師提
問，學生思考，并在學生展示回答中，引出坐標系的概念和笛
卡爾 活動一的目
的在于激發學生的學習興趣；引出學做思二的內容；揭示本節課的主題。
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（2，2）、（4，3）、（3，5）、F（4，7）、（1，7）順次構成的閉合圖形。
關鍵是點的位置，也就是坐標，請問坐標系是誰建立的？（笛卡爾）
老師：恩，很好，這就是我們今天要學的主題——笛卡爾與解析幾何。
探 究 新 知【活動二】笛卡爾的生平故事有哪些？ 教師：（請一個小組來分享他們課前查閱整理的
笛卡爾的生平資料） 預設學生介紹笛卡爾的情況 （1）笛卡爾
（
Descartes， 1596—1650），法國著
名的哲學家、數 學家、物理學家，解析
幾何學奠基人之一。笛卡爾生于法國西部都蘭群拉哈小城的一個貴族家庭。他8歲時進耶穌學校拉弗萊什公學學習，由于他自幼聰明好學，很得到家長和老師的喜歡。1612年，他到巴黎普瓦捷大學攻讀法律，四年后榮獲博士學位，不久成為一名律師。1618年他前往荷蘭從軍。服役、
期間，他仍對數學感興趣，閱讀了大量有關數學、物理學的書籍。1621年，笛卡爾脫離了軍隊，但由于當時正逢內亂，他于是就到了丹麥、德國、意大利等地。1628年笛卡爾移居荷蘭，他的前半生基本上都是在荷蘭度過的，他所有著作幾乎全是在荷蘭完成的。后被
瑞典克里斯蒂娜女王請到斯德哥爾摩，直到去世。他的主要著作有：《指導哲理之原則》、《論世界》、《方法論》、《形而上學的沉思》、《哲學原理》、《論音樂》、《論巴爾扎克的書簡》等。
笛卡爾童年坎坷不幸，母親在生笛卡爾的時候難產去世，他也險些夭折，且從小瘦弱多病，只好躺著
學生展示交流、分享、體會。
教師傾聽提問，引出反思。
活動二的目的在于了解笛卡爾生平故事；感受笛卡爾優秀品質——勤奮好學、堅持不懈、勇于探索、獻身真理、貢獻他人、敢于
批判與創新；讓學生學會多種渠道進行學習；
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看書，因此也養成了躺著思考問題的習慣。笛卡爾一生專心致志，溫和善良，堅持科學，不迷信宗教而招致教學會的迫害，1647年，梵蒂岡把笛卡爾的著作列入“禁書”清單，宣布限期全部焚毀。
由于笛卡爾在數學和哲學上的成就如此巨大，以至于深受全世界正義人民的無限崇敬，他去世17年后，法國政府下令把他的骨灰迎回法國，安葬在潘提翁偉人墓地；1799年又把他的骨灰放在法國歷史博物館，1819年又把骨灰保存在圣日爾曼圣心堂，并在他的墓碑上刻上：笛卡爾，歐洲文藝復興以來，為人類爭取并保證理性權利的第一人。
（2）笛卡爾的愛情故事…
反思：我們應該向笛卡爾學習哪些優秀品質？
勤奮好學、堅持不懈、勇于探索、獻身真理、貢獻他人、敢于批判與創新等
【活動三】笛卡爾創建解析幾何的過程是怎樣的？（請1個小組學生分享他們整理的資料）
問題導入：（2015四川高考7）設四邊形ABCD為平行四邊形，
， ，若點M、N滿足關系 ， ，則 =（ ） A.25 B.15 C.9 D.6 分析：此題標準做法使將 和 用 ， 進行表示，進而結合向量運算法則進行計算，表示過程較為繁瑣，容易出錯，很多學生都不熟練，而且本題也不具備建立坐標系的條件（垂直）。但是根據答案的唯一性，可以將平行四邊形特殊化為矩形（和題設毫無沖突），計算過程非常便捷。
教師：預設學生介紹創建過程可能：
（1）16世紀，資本主義經濟發展迅猛，各種新興
行業對科學技術提出了全新的要求，如機械的普遍使
教師
提問，補充，引導分析，追問，學生展示交流，思考分析，歸納總結。
學生獨立思
活動三的目
的在于讓學生進一步了解解析幾何的產生的背景
和過程，并體會帕波斯問題的解決引發的轉折點，在歸納總結帕波斯的基本步
驟中體會解析幾何產生的意義和解析幾何的基本思想，讓學生真真切切的去感受解析幾何的基本思想和創建解析幾何的意義，從
而突出重點，突
破難點。
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用引起了對機械運動規律的研究，武器的進步刺激了彈道學的研究，運動與變化的研究成為自然科學的中心課題，當時的初等數學刻意追求抽象，代數內容缺乏直觀，歐氏幾何缺乏動感和想像力，傳統的數學工具對某些運動問題已經無能為力；天文學的迅猛發展，如開普勒發現行星運動三大定律、伽利略研究拋射物的運動軌跡、望遠鏡顯微鏡中鏡片的研究等，需要對曲線性質及新曲線進行研究。
預設（2）創建可能… 教師補充：
笛卡爾對當時的幾何方法和代數方法進行了比較，分析了它們各自的優缺點，他認為歐氏幾何刻意追求抽象和技巧，而代數在提供廣泛的方法論方面高于歐氏幾何，于是夢寐以求用代數改造幾何，他曾計劃寫一本書《思想的指導法則》，書中提出一個大膽的方案：一切問題都可以化為數學問題，一切數學問題都可以化為代數問題，一切代數問題都可以化為含有一個未知數的方程問題。但不久之后他發現這個設想過于大膽（該書沒有寫完就放下了，他去世后人們將它出版），他的這個方案雖然失敗了，但確有很多
問題可以用列方程的方法來解。笛卡爾把方程用于幾何，創立了解析幾何。
你能體會其中的重大的轉折意義嗎？
意義：創建坐標法、實現用代數方法研究幾何問題（數形結合）、體現變量的觀點、為研究一類問題提供通法。
笛卡爾就這樣創建了解析幾何，你認為什么是解析幾何？
解析幾何：又叫坐標幾何，指借助坐標系用代數的方法研究幾何問題的性質的一門科。
反思：解析幾何有什么特點？
教師：解析幾何的特點：幾何問題代數化或代數
考，小組會的同學給不會的同學講解，一起合作，探究，交流，討論，展示分享。
學生
觀察、發現，總結。
教師啟發誘導學生認識坐標法解題的步驟，并帶領學生進行簡單的推廣。
讓學生在此領悟解析幾何的特點和思想
體會解析幾何解決問題的基
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問題幾何化或代數化與幾何化統一，基本方法是坐標法，核心思想方法是數形結合，基本的原理是化歸。
問題解析：將平行四邊形ABCD轉化為矩形（特殊法，答案唯一），以 ， 為x,y軸建立平面直角坐標系，易得
A(0，0) B（6，0）C（6，4）D（0，4）M(6,3) N(4,4)可得
=（6,3） =（2，-1），輕松計算出答案9.
剛才就是解析幾何中解決問題的一般方法，你能總結出來嗎？
（1）觀察幾何直觀圖形； （2）建立適當的坐標系； （3）列出代數式；
（4）用代數的式子解釋幾何性質；幾何性質應證代數式子；
課堂小結：節課你學到了什么？ 教師：（1）了解笛卡爾的生平簡介； （2）笛卡爾坐標系的建立過程和原因； （3）解析幾何的基本思想（數形結合）、特點（用代數解釋幾何問題）和學習方法（觀察、建系、列式子、用代數解釋幾何性質）
（4）了解析幾何的笛卡爾坐標系建立的意義和影響；
恩格斯指出:“數學中的轉折點是笛卡爾的坐標法。有了坐標法，運動進入了數學；有了坐標法，辯證法進入了數學；有了坐標法，微分和積分也就立刻成為必要的了。
【活動四】為什么恩格斯對解析幾何有如此高的評
價？（開放性問題，學生回答，言之有理即可）
教師:主要的幾個方面
學生獨立思考后小組交流展示。
教師快速畫出其他值的圖形并簡單分析
歸納總結解析幾何，得出解析幾何的基本思想。
老師引導學生發現規律，總結特點。
本步驟和方法。
高考題的設計目的在于讓學生在腦海里建構解析
幾何的知識網絡，體會解析幾何的基本方法，知道如何更好的去學習解析幾何。
培養學生的反思總結能力；
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1.坐標法的使用，為數學中平面到空間、一維到多維提供了一般的研究方法。
2.解析幾何的建立使得數學從常量研究進入了變量數學。
3.解析幾何的建立為后面的微積分產生奠定了基礎。
4. 解析幾何的建立為數學問題機械化解決提供了先決條件，最突出的是我國數學家吳文俊的的機器證明。
笛卡爾，歐洲文藝復興以來，為人類爭取并保證理性權利的第一人。
學生獨立思考，交流討論，展示結果，分享方法 學生總結
學生傾聽、觀察、思考，老師引導發現
學生思考，交流，展示
對整節課系統完整的了解，吸取笛卡爾的優秀品質。
理解體會恩格斯對解析幾何
高度評價的意義；讓學生去了解解析幾何的后續發展，拓寬學
生的知識面和思維空間。
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學生反思總結，老師補充完善
教師ppt展示并講解，
學生傾聽領悟
作
作作 課堂練習 1、下面哪些是笛卡爾的著作：（ ）
A《指導哲理之原則》、B《論世界》、 C《方法論》、D《形而上學的沉思》、 E《哲學原理》F《論音樂》、 G《論巴爾扎克的書簡》。
2、解析幾何誕生的時間和代表著作是( ) A、1637年，《幾何學》 B、1660年，《論世界》 C、1701年，《規則》 D、1644年，《哲學原理》
3、（備用）用解析法證明：若一個四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，則這個四邊形是學生獨立思
考，展示糾正，教師補充
學生思考，老師課后督促指導。
目的在于 1.反饋教學
目標達成情況； 2.使學生會簡單的遷移應用，體會基本方法坐標法。 3.培養學生利用不同渠道去了解和學習數學知識，拓
展學生的知識面，豐富學生的精神世界。
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業布置
外延
伸閱 平行四邊形。
課后練習
1、請同學們用幾何坐標法解決相應的向量問題。
2、閱讀《笛卡爾的錯誤》、《笛卡爾之夢》等著作了解解析幾何的后續發展，寫出關于解析幾何的相關論文。
3、至少訪問一個笛卡爾與坐標系的相關網站 4、有興趣的同學可以繼續查閱相關網站和書。 為不同小組加上不同的分數。結果統計：第二、四小
組加上15分，其他
四個小組
各加十分。課代表統計并整理后續測評使用。
板書設計
§笛卡爾與解析幾何 一、笛卡爾生平介紹——優秀品質；
二、解析幾何創建過程； 例題講解區： 三、一道經典高考題； 四、解析幾何的特點； 五、如何學習解析幾何； 六、總結反思；
課
后
反
本堂課特點如下：
一、本節課的編排從笛卡爾生平介紹，及解析幾何創建的原因、過程和意義出發，
并重點剖析解析幾何產生的過程，符合數學閱讀材料的教學過程。 二、本節課作為閱讀材料課，把情感的體驗放在第一位，并在課堂中充分滲透了
數學文化，讓學生深刻感受到了數學的魅力，受到了意志、創新等品質的感染。 三、設計中用向量的高考題的特殊法和坐標法突出了解析幾何的基本思想和基本
法方法，讓學生深刻的認識到坐標法的優越，數形結合的重要，轉化思想的不可少。 四、以問題作引導，讓學生小組合作，探究，思考，在小組合作交流討論中，實
現學生在“做中學，思中學”，而且整個課堂氣氛非常活躍，不僅培養了自主學習，
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思合作交流的意識，還強化了學生的主體地位，充分體現了“以人為本”的課改理念。 本節課也有一定的不足，對笛卡爾和解析幾何問題的深度和廣度還不夠，在以后的教學過程中，我會多學習，學會用更加嫻熟的智慧來處理這個問題。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
