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視頻標簽：多位數,乘一位數,例8
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：小學數學人教版三年級上冊第六單元《多位數乘一位數》例8-北京小學
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小學數學人教版三年級上冊第六單元《多位數乘一位數》例8-北京小學
史寧中教授在談《數學核心素養與小學數學教學》時提出，在義務教育階段數學核心素養就表現在會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。這三方面分別對應著數學抽象、邏輯推理和數學模型，也分別體現了數學的一般性、嚴謹性和廣泛應用性的特征。目前，數學教育者普遍認為抽象能力、推理能力和應用能力是數學核心素養的主要內容。“解決問題”的內容本身就帶有鮮明的“應用性”特點，因此這部分內容的教學一定離不開數學模型的建立與應用。而學生要掌握解決問題的方法和策略，必然離不開抽象和推理。
關于解決問題的目標要求，在《數學課程標準（2011版）》中的具體要求（第一學段）是：能在教師的指導下，從日常生活中發現和提出簡單的數學問題，并嘗試解決。了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法。
關于解決問題的方法與策略，在《數學課程標準（2011年版）解讀》中指出在日常教學中，幫助學生養成畫圖的習慣是非常重要的。能畫圖時盡量畫，其實質是將抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算等數學過程變得直觀，更易于學生展開形象思維。此外，也強調引導學生經歷從問題提出到問題解決的全過程，將數學與生活緊密聯系在一起。使學生在體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間聯系的過程中不斷豐富模型思想。
綜上所述，基于對學生數學核心素養的培養，以及關于“解決問題”內容的課標要求，教學中都應努力引導學生經歷數學抽象、數學推理與數學建模的過程，實現思維的發展，能力的提升。
教學背景分析
教學內容：
本內容是三年級上冊第六單元《多位數乘一位數》中的例8，屬于典型的歸一問題。教材在例9安排了典型的歸總問題。這是教材中第一次出現用乘除法解決的兩步問題。要引導學生掌握解決兩步問題需要抓“中間問題”的方法，并初步形成解決兩步問題的模型結構。在列分步算式解決問題的基礎上，嘗試列綜合算式解決問題。此外，教材突出強調了要引導學生感受畫圖是解決問題的有效策略，能夠借助直觀圖理解問題、解釋算法。
本教學內容是2011版教材中新調整的內容，在舊教材中相關內容安排在四年級上冊《四則運算》單元中，其中歸一問題設置了單獨例題，而歸總問題則是在練習題中出現的。在新教材中，相關內容由四年級調整至三年級，并分別設置了歸一問題和歸總問題兩個例題。具體安排如下表：
舊教材
新教材
歸一問題
問題設置：例題
解題思路：歸一和倍比 解題過程：直接列式解答 解題形式：綜合算式
問題設置：例題 解題思路：歸一
解題過程：借助直觀圖分析 解題形式：分步與綜合算式 歸總問題
問題設置：練習題
問題設置：例題
解題形式：分布與綜合算式
聚焦“歸一問題”這部分內容，在解題思路上，舊教材既講“歸一思路”也講“倍比思路”，新教材只呈現了“歸一思路”；在解題過程中，舊教材在呈現問題之后直接列式解答，而新教材秉承所有解決問題的統一設計，呈現了“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”的解題三環節，其中在閱讀與理解的部分突出強調了借助直觀的示意圖進行分析。而歸總問題呈現的是線段圖，因此本例題還承載著幫助學生經歷從實物圖到示意圖，再到線段圖的抽象任務，為在下一例題的學習中繪制線段圖解決問題奠定基礎；在解題形式上，舊教材只呈現了綜合算式，而新教材同時提供了分布算式和綜合算式。
綜上所述，教材的這些變化，力求強調引導學生在經歷解決問題的過程中，突出感受直觀模型的價值、突出解題策略的指導，進而掌握獨立解決問題的方法，提升能力。 學生情況：
1.在解決問題策略方面：三年級學生的認知抽象水平有限，在理解數量關系和探尋解題方法的過程中都非常依賴直觀支撐，但主動繪制準確、有效的圖示幫助自己思考的意識和能力均有待提高。
2.在運用數量關系方面：學生在本課學習之前有過運用加減法或乘加、乘減解決兩步問題的經驗。屬于連續使用部分與整體關系，或組合使用部分與整體關系與份總關系解決問題。歸一和歸總兩類問題則需要學生連續使用兩次份總關系，且變化情況比較多樣。與部分與整體關系相比，份總關系更難于理解，本課中要連續兩次使用份總關系則更加困難，尤其是解題過程中第二次使用份總關系時又分為求幾份數和份數兩類情況。這就使得學生在認知上出現了難點，需要借助直觀幫助理解。
此外，學生在此之前所遇到的解決問題主要用分步算式，本課要求學生嘗試列綜合算式
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解決問題也將是學生在認知上的一次飛躍。
3.在理解實際問題方面：學生雖然對解決問題并不陌生，但很少有機會解決真實的生活問題。在問題情境中，面對真實而復雜的信息組合時，篩選信息和加工信息常常是阻礙學生解決問題的關鍵。
技術準備：教學課件及學習單
教學目標(內容框架)
1.理解數量關系，掌握先求一份數再求幾份數或份數的解題方法，能夠選擇恰當信息解決相關問題。
2.在探究解決問題的過程中，感受并逐步掌握畫圖、運算等解決問題的策略。 3.運用數學知識解決生活問題，感受數學與生活的聯系，感受數學學習的價值。 教學重點：理解數量關系；借助圖示理解和分析數量關系。 教學難點：在真實的生活情境中，篩選有價值的信息解決問題。教學過程
一、借助直觀，抽象數量關系 1.獨立探究，借圖“說話”
師：今天我們來一起研究“解決問題”。通常要解決一個問題，至少需要知道什么？ 生：兩個條件和一個問題。
師：的確。首先請看一組信息：（板書）媽媽買3個碗用了18元。讀到這里你能提出什么問題？
（幾乎所有的學生都舉起了手。）
師：好，看來這個問題并不困難。題目還有一個信息，請你繼續看（板書）如果買8個同樣的碗，需要多少錢？你能試著解決這個問題嗎？
（有的學生點頭表示可以，也有的學生表情遲疑在思考。）
師：如果你解決這個問題有困難，可以嘗試畫圖來分析；如果你能夠直接列式，請畫圖解釋算式的含義或道理；可以列分步算式也可以列綜合算式。
（設計意圖：教師有層次地呈現例題，給學生獨立讀懂和思考的機會。教師要求學生不僅列式解決還要畫圖，借圖“說話”的方式，可以讓教師可以在安靜的課堂中及時了解每個學生的想法與需求，并為后續交流提供豐富的直觀素材。） 2.對比交流，以圖“達意”
師：剛才老師看到了每個同學的方法，有的畫圖，也有的列式，很多同學都成功地解決了這個問題，也有的同學遇到了困難，沒關系。我們一起來交流一下大家的方法，看看你能獲得哪些新的啟發。分類展示分析學生不同的作品： （1）實物圖
師：大家能看懂這兩幅作品的意思嗎？說說你的想法。
生：媽媽買了3個碗用了18元，那么1個碗就是6元，再買8個一樣的碗就是6×8=48（元）。
師：這兩位同學的作品讓我們清晰地看出來了3個碗與18元之間的關系，以及1個碗和8個碗之間的關系。你們畫得很好，同學們讀圖的能力也很棒，才能夠準確地理解畫圖同學的意思。
（設計意圖：呈現直觀的實物圖，幫助學生理解和理清數量關系。） （2）示意圖
師：這兩幅作品，你能明白他的意思嗎？
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生：第一幅圖用△代表碗，第二幅圖則用□代表碗。
師：是啊！說碗的事兒，有的同學就畫碗，挺好。也有的同學用簡單的圖形或符號來代替，你有什么想法？
生：這樣畫圖更方便，也很清楚。
（設計意圖：呈現比直觀圖抽象水平更高的示意圖，在讀圖的過程中助推學生抽象水平提升，在理解不同圖示類型之間的關系的過程中，初步抽象數量關系。） （3）線段圖
師：這兩位同學的作品又是什么意思呢？說說你的理解。
生：這幅作品用線段表示碗，一段就表示1個碗，3段就是3個碗，8個碗就是8段。先求一段是多少，再求8段是多少。
（設計意圖：呈現比示意圖抽象水平更高的線段圖，在讀圖中進一步助推學生抽象水平的提升，進一步抽象數量關系。） （4）溝通圖式
師：我們讀懂了同學們這么多不同的圖意，對這個問題也有了清晰的分析和理解。在同學們的作品中除了有圖，還有算式，你理解這些算式每一步求的是什么嗎？請你結合圖說一說。
生：兩種算式的第一步都是18÷3=6（元）求的是一個碗的價格，再用6×8=48（元）求8個碗的價格。
師：的確如此，第一組是同學們熟悉的分步算式，第二個是綜合算式。兩組算式的“樣子”雖然不完全相同，但思路是一樣的。隨著同學們進入中年級，要慢慢地讀懂并使用綜合算式。還不熟悉綜合算式的同學，沒關系，我們可以慢慢來！
（設計意圖：學生用自己畫的圖解釋算式的含義，通過圖式對比，進一步完成對數量關系
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的理解和抽象。教師借學生不同算式進行對比，揭示分步與綜合算式的區別和聯系。并借勢提出中年級關于綜合算式的學習要求。） 3.錯例分析，用圖“解惑”
師：在同學們的作品中還有一個列式是這樣的，你有什么想法？
生1：這個算式是不對的。因為18元是3個碗的價錢而不是1個；如果直接用18乘8，求的是8個“3個碗”。
生2：（指著下圖進行說明）如果把3個碗看成1組，這個算式求的是8組碗而不是8個碗的價格。
師：的確，在剛才同學們的幾幅作品中我們都看到了“小問號”，你明白這些“小問號”問的是什么嗎？
生：圖中的“小問號”問的都是一個碗多少錢。
師：看來同學們雖然畫的圖不盡相同，列的算式也不一樣，但心里卻有著相同的小問號，也就是先求“一個碗”的價格，再求“幾個碗”的價格。有了“心里的小問號”，求8個碗可以，還可以求幾個碗的價格？
生：10個碗，15個碗，100個碗，幾個碗都行！
師：你們“心里的小問號”真有價值，求出它，整個問題也就能夠迎刃而解了。 （設計意圖：呈現學生錯例，讓學生講給學生聽，用自己畫的圖進行講解，答疑解惑。引導學生通過算式對比、圖式對比分析錯因，一方面調動學生自主思考，另一方面發揮學生自己所畫圖示的作用，進而感受圖的價值，深入理解數量關系。在本環節中，教師有意識地結合學生作品抓住“心中的小問號”求的是什么？突破解決問題的重點。） 二、運用推理，歸納解題方法
1.比較中概括——抓住“心中的小問號” 師：看到下面這幾個問題，你心里的小問號是什么（你最關心的是什么）？
（1）生：我最關心一張書簽是幾元？
（2）生：我最關心發送一張照片需要幾秒鐘？
（3）
生：我最關心1箱蜜蜂可以釀多少千克蜂蜜？
師：看來解決每個問題你都有一個心里的小問號，要解決這類問題，你有什么好方法？ 生：先求一份數。（教師板書）
小結：“一份數是幾”就是同學們心里的小問號，只要抓住了它就能夠很好地解決問題。 （設計意圖：教師提供了只需要學生讀題分析不需要列式解決的題組練習，引導學生在對比中概括出心中的小問號總是“一份數是幾”，先求一份數很關鍵。初步感受解決這一類問題的方法，為進一步抽象概括數量關系，掌握解題方法奠定基礎。） 2.歸納中推理——找到解決問題的關鍵 （1）提出問題
師：在養蜂工廠中，工人叔叔負責四組蜂箱，他將自己收集的信息以及想解決的問題填在了表格中，你能看懂嗎？（分組出示數據信息，由學生自己讀題理解題意）
（2）獨立完成
師：請你試著幫叔叔解決這些問題。先在表格下面寫算式，再將結果填入表格中。
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（3）反饋交流
學生匯報：
1組：15÷3×8；2組：50÷（15÷3）；3組：30÷（15÷3） 師：這幾個問題各不相同，你的解決方法有什么相同之處嗎？
生：都先用15÷3求出一箱蜜蜂能夠釀多少千克的蜜，再繼續求這樣的幾箱，或求50千克、30千克中有幾個這樣的一箱。
板書：先求一份數，再求幾份數（或份數）。
師：同學們準確地抓住了問題的關鍵，想清先求什么再求什么，就能夠準確地請來乘法或除法來幫忙解決問題了。
生：第4組還可以用30÷15×3，把3個蜂箱看做一組可以釀15千克蜂蜜，30千克蜂蜜就是這樣的2組，所以再用2×3=6（箱）
師：這真是一個不錯的方法，對這種新方法你有什么想說的？
生：第四組蜂蜜的數量恰好是15的倍數，就可以這樣解決，但如果不是整倍數就不好用了。而先求“一份數”的方法，不管是不是整倍數都能用。
小結：看來大家在方法的對比中還感受到了不同方法的適用范圍不同。總之，抓住問題的關鍵，也就是先求“一份數”，再求這樣的幾份數或份數，就能夠清晰而準確地解決問題了。
（設計意圖：在題組練習中推理，進而歸納解題方法。感受到解決兩步問題的關鍵是抓住先求什么，再求什么。在概括的基礎上再歸納，有助于學生經歷從一個到一類的認識過程，進而比較順利地完成對解題思路的理解與抽象。通過溝通數量關系與運算方法之間的聯系，幫助學生掌握解題思路與方法。） 三、應用直觀，感受模型價值
師：在日常生活中，有很多真實的問題都可以運用所學的數學知識來解決。 1. 借助模型，解決問題
亮亮正在下載一部很喜歡的動畫電影，下載了6分鐘時下載條如下圖，亮亮還需要再等幾分鐘才能下載完成？這部電影一共要下載多少分鐘？
生：只要知道下載一段需要幾分鐘，就可以求3段或5段的時間了。 （教師結合學生的分析在黑板上繪制線段圖，并標出相關的數據信息。）
生：先用6分鐘除以2，求出一段是3分鐘，再用3分鐘乘3就是9分鐘；3分鐘乘5就是15分鐘。
師：剛剛大家最初聽到這個問題，以及后來看到線段圖后有什么不同的感受？ 生：剛聽完問題時有點兒懵，但一看到圖一下就特別清楚了，就知道怎么解決問題了。
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小結：線段圖可以清晰地反映數量與數量之間的關系，有助于我們分析問題并順利地解決問題。希望線段圖能夠成為你解決問題時的好幫手。
（設計意圖：在鞏固練習中引入真實而貼近學生生活的問題情境，引導學生在運用數量關系解決問題的過程中，感受線段圖的直觀特點，感悟線段圖的價值。） 2. 拓展應用，感受價值 （1）呈現問題
師：下面的這個問題和于老師有關。隨著互聯網的發展，信息技術改變了我們的生活方式。大家聽說過“摩拜單車”嗎？
（很多同學高高地舉起手，表示聽說過或見到過。）
師：人們通過智能手機就可以方便地使用它，這是綠色出行的新方式。于老師在使用摩拜單車時就曾遇到了一個問題，你能幫我解決嗎？
（2）解決問題
發給學生如上圖的信息單，由學生兩人一組合作閱讀并解決。 （3）分析問題
師：說說你的方法，或你在解決這個問題時遇到了什么困難？
生：這幅圖里有好多信息都沒用，最重要的就是2千米、20分鐘和5千米這三個數據。 （許多組學生都有相同的感受，學生解題作品樣例如上圖）
師：的確如此，生活中的真實問題通常都是比較復雜的，同學們只要能夠從眾多的信息中篩選出有價值的信息就能夠順利地解決問題。
生：可以用線段圖來表示，20分鐘走了2千米，也就是2段，說明1段就是10分鐘，那么5千米就是5段，就需要5個10分鐘，也就是50分鐘。列式是：20÷2×5
師：線段圖一出現，很多同學都一下子豁然開朗了！你們畫的圖太有價值了。你們瞧，剛才解決亮亮下載的問題時我們就用到了線段圖，現在解決于老師騎車的問題時大家又用到了線段圖。請你對比兩幅圖，有什么發現或感受？
生：很像，基本差不多。 師：哪兒不同呢？
生：只是線段圖中的兩段不表示6分鐘，而表示20分鐘了。 （教師隨學生敘述改板書中的線段圖）
師：看來這條線段圖不僅僅能解決亮亮的問題，還能夠幫助于老師解決騎車的問題。這幅線段圖的作用可真不小！它還能解決其他問題嗎？說說你的想法。
生：還能解決好多問題呢，例如：蘋果幾筐、玉米幾千克的問題。 生：只要是這一類的就都能解決。
小結：的確像同學們想的這樣，只要抓住關鍵就不僅能解決一個又一個的問題，而是一類問題。線段圖幫了我們大忙，希望在今后的解決問題中，它能夠成為大家的好助手，發揮更大的作用。也希望同學們用數學的眼光去觀察生活，發現問題，并努力解決問題。 （設計意圖：提供真實而貼近學生生活的問題，讓學生感受到數學與真實生活的緊密聯系。本練習的價值主要體現在兩方面。其一，是引導學生感悟從大量信息中篩選有效信息解決問題的重要性，培養學生信息篩選與加工的意識和能力。其二，是引導學生感受運用畫圖策略能夠有效地將復雜問題簡單化，讓“新問題”轉化成“舊問題”，完成直觀模型以及數量關系模型的建立。此外，本環節最后以“用這條線段圖還能解決哪些問題”，引導學生
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在逆用直觀模型的過程中完成進一步抽象。從“一個”到“一類”，深入感悟模型的應用價值。）
本教學設計與以往或其他教學設計相比的特點
在以往的解決問題教學中，教師普遍關注學生對數量關系的理解和掌握，通過問題情境的變化不斷鞏固和強化數量關系，以達到掌握解題方法的目的。而在本課的教學設計中，教師力求以“解決問題”內容為載體，著力于豐富學生對抽象、歸納和模型的感悟。主要通過處理好以下兩種關系實現對數學素養的培養。
1.處理好直觀感受與抽象歸納的關系
本課在例題探究環節中，教師鼓勵學生自己畫圖分析問題、解釋算式，讓學生感受直觀圖的價值和作用。練習環節中又從多個問題情境中概括出相似的線段圖，引導學生進一步感受“畫圖”簡潔、清晰、方便的特點。直觀感受既有助于豐富解決問題的策略，同時也是中年級學生逐步抽象數量關系，概括解題思路的前提和基礎。
與此同時，學生要掌握解決問題的方法就離不開數量關系，但教學中又不能將數量關系作為一個固化的結論給學生套用。因此本課通過讓學生在充分的直觀感受中，逐步概括出解決兩步問題的數量關系與結構，將數量關系與運算方法進行對接，助推學生對解題方法的抽象與歸納。
總之，直觀感受是抽象歸納的基礎，抽象歸納是對直觀感受的發展。直觀是學生獲得“真理解”的助手，而歸納是學生“真理解”的成果。
2. 處理好經歷建模與解決問題的關系
本課先后兩次引導學生經歷建模的過程，第一次是從一組不同的實際問題（書簽、發送照片、養蜂）中歸納出解決問題的思路與方法，這是學生建立數學模型的認知過程。第二次在解決“下載文件問題”和“摩拜單車”問題時，既是應用數學模型解決新問題的過程，同時又以兩個問題的類比，再次強化了對數學模型的理解。并以線段圖作為支撐完成數學模型的二次建立。此后，教師借助“這幅線段圖還能解決哪些生活問題”的問題引發學生拓展，這是模型應用的過程，有正有反，旨在提升學生的應用意識。
總之，經歷建模是解決問題的保障，解決問題是數學模型的應用。本課解決問題貫穿始終，但不同環節有著不同的目標落點，有層次地落實對學生抽象、歸納和建模思想的培養。
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