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視頻標簽：反比例函數
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《反比例函數復習與回顧》安徽省 - 宿州
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北師大版初中數學九年級上冊《反比例函數復習與回顧》安徽省 - 宿州
第六章 反比例函數
回顧與思考
一、教學目標 (一)知識與能力
1.經歷抽象反比例函數概念的過程，理解反比例函數的概念. 2.掌握反比例函數的主要性質.
3.會從反比例函數的圖象中獲取信息，能運用反比例函數的概念、圖象和性質解決實際問題.
(二)過程與方法
1.熟練掌握本章的整體知識結構，培養學生的概括和歸納能力，形成知識體系.
2.在經歷抽象反比例函數概念的過程中，領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念，進一步培養學生的抽象思維能力
3.經歷反比例函數的圖象及其性質的探索過程，在合作與交流中發展學生的合作意識和交流能力.
4.能根據所給信息確定反比例函數的表達式、會作反比例函數的圖象，并能運用數形結合思想解決與反比例函數相關的數學問題和實際應用問題.
(三)情感與價值觀
通過本章內容的回顧與思考，發展學生的數學應用能力，經歷函數圖象信息的識別與應用過程，發展學生的形象思維能力，激發學生學習的熱情，培養學生學習數學的興趣。
2
二、教學重點
本章知識的網絡結構體系. 反比例函數的概念.
會作反比例函數的圖象，并掌握其性質. 反比例函數的相關應用. 三、教學難點
利用反比例函數的圖像，探索反比例函數的主要性質. 反比例函數的相關應用. 四、教學方法 自主探究、合作交流. 五、教學過程
第一環節：復習提問，引人入勝 活動內容：
本章的內容已全部學完，請大家先回憶一下，本章學習了哪些主要內容?
活動目的：提出問題，激發學生的思考和回顧，明確本節課的學習任務。
學生回答預設：反比例函數的定義；反比例函數的圖象及性質；反比例函數的應用。
教師引入：下面我們就來系統全面地對本章內容進行復習。 第二環節：知識串聯，形成體系 活動內容：
3
（一）本章知識結構
引導學生構造本章知識結構圖。 (可課前讓學生自己制作本章知識的內容框架或思維導圖，上課進行展示和交流)
本章內容框架
活動效果：學生可以根據以上內容框架，對自己整理的知識框架進行補充和整理，完善自己的知識體系，并能用自己的語言歸納總結本章內容.
注意事項：1. 應以學生自主總結和歸納為主，教師要在適時適當的給予指導；
2.對于學生個性化的結構框架的整理設計，只要合理，老師都應給予肯定。
(二)舉出現實生活中有關反比例函數的實例，并歸納出反比例函數概念.
學生回答預設：
例：當三角形的面積是16 cm2時，它的底邊a(cm)是這個底邊上的高h(cm)的函數.
4
解：a=
h
32. 在上式中，任意給定h一個值，相應地就確定了一個a的值.因此a是h的函數。所以一般地，如果兩變量x，y之間的關系可以表示成y=x
k
(k是常數，k≠0)的形式,那么稱y是 x的反比例函數.
（三）反比例函數圖象的性質有（課件演示）： 1.形狀：反比例函數的圖象是兩支雙曲線.
2.位置：當k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當k<0時，圖象分別位于第二、四象限.
3.增減性：當k>0時.在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大.
4.因為在y=x
k (k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.
5.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x、軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1=S2
6.對稱性： 反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點.
活動目的：引導學生對本章的所學的基礎知識進行系統的歸納和整理，使學生明確各個知識點之間的聯系， 將基礎知識網絡化，形成本章知識的框架結構體系。
第三環節：例題精練，鞏固新知 活動內容：
例1.下列函數中，其圖象位于第一、三象限的有哪些?在其圖象所在
5
象限內，y的值隨x值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y=
x31 (2)y=x
2.0 (3)y= x10 (4)y=-x1007
例2.在函數y=x
3
的圖象上任取一點P，過P分別作x軸、y軸的平行
線，與坐標軸圍成的矩形面積是多少?
分析：根據反比例函數圖象的性質，當k＞0時，圖象位于第一、三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，正好相反，但
在y=x31
中，形式雖然和反比例函數的形式不相同，但可以化成y=x
31
的形
式。
答案：1.圖象位于第一、三象限的有(1)(2).在其圖象所在象限內，y的值隨x值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k｜=3.
例3.如圖，已知反比例函數y=的圖象與一次函數y=ax+b的圖象相交于點A（1，4）和點B（n，﹣2）． （1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）當一次函數的值小于反比例函數的值時，直接寫出x的取值范圍．
考點：反比例函數與一次函數的交點問題．
分析：（1）把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出m的值，從而確定反比例函數的解析式，把B的坐標代入反比例函數解析式求出B
6
的坐標，把A、B的坐標代入一次函數的解析式，即可求出a，b的值，從而確定一次函數的解析式；
（2）根據函數的圖象即可得出一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍．
解答： 解：（1）∵反比例函數y=的圖象過點A（1，4）， ∴4=，即m=4，
∴反比例函數的解析式為：y=．
∵反比例函數y=的圖象過點B（n，﹣2）， ∴﹣2=， 解得：n=﹣2 ∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函數y=ax+b（k≠0）的圖象過點A（1，4）和點B（﹣2，﹣2）， ∴， 解得
．
∴一次函數的解析式為：y=2x+2；
（2）由圖象可知：當x＜﹣2或0＜x＜1時，一次函數的值小于反比例函數的值．
點評： 本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式及利用圖象比較函數值的大小．解題的關鍵是：確定交點的坐標．
第四環節：牛刀小試，開放訓練
1.對于y=-x
2
，當x<0時，y____0，這部分圖象在第_____象限.
7
2.函數y=x
10
的圖象在第____象限內，在每一個象限內，y隨x的增大而______.
3.函數y=ax-a 與
在同一直角坐標系中的圖象可能是( ).
4.
已知甲,乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地.如果汽車
每小時耗油量為aL,那么從甲地到乙地的總耗油量y(L)與汽車的行駛速度v(km/h)的函數圖象大致是( ).
5.一定質量的CO2，當體積v=5米3時.它的密度ρ=1.98千克／米3，求(1)ρ與v的函數關系式；(2)當v=9米3時，CO2的密度.
答案：1. < 二、四 2.一、三 減小 3.D 4.C
5.設CO2的質量為m千克，將v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ=
v
m
中，得m=9.9千克. 0ax
a
y
8
故所求ρ與v間的函數關系式為ρ=v
9.9. (2)當v=9米3時，ρ=
v
9
.9=1.1(千克／米3)。 活動目的：使學生運用反比例函數的概念、圖象和主要性質熟練的解決實際問題，提高學生獲取信息、分析問題、解決問題的能力。
注意事項：在本環節教學中，教師可以引導學生首先進行獨立思考，避免替代思維，然后可以通過小組討論、合作交流等形式，啟發學生對問題進行探究，分析，完善解題思路，進而感悟和總結解決此類問題的一般方法和規律。
第四環節：鏈接中考 輕松備戰
1.（2015•曲靖第7題3分）如圖，雙曲線y=與直線y=﹣x交于A、B兩點，且A（﹣2，m），則點B的坐標是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（，﹣1） D．（﹣1，） 考點：反比例函數與一次函數的交點問題．.
分析：根據自變量的值，可得相應的函數值，根據待定系數法，可得反比例函數的解析式，根據解方程組，可得答案．
解答：解：當x=﹣2時，y=﹣×（﹣2）=1，即A（﹣2，1）． 將A點坐標代入y=，得k=﹣2×1=﹣2， 反比例函數的解析式為y=
，
9
聯立雙曲線、直線，得，
解得，，
B（2，﹣1）． 故選：A．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用待定系數法求雙曲線函數的解析式，又利用解方程組求圖象的交點．
2.（2015•安徽, 第21題12分）如圖，已知反比例函數y=與一次
函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求k1、k2、b的值； （2）求△AOB的面積；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函數y=
圖象上的兩點，且x1
＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并簡要說明理由．
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題．.
10
分析：（1）先把A點坐標代入y=
可求得k1=8，則可得到反比例函
數解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函數求得m，得到B點坐標，然后利用待定系數法確定一次函數解析式即可求得結果；
（2）由（1）知一次函數y=k2x+b的圖象與y軸的交點坐標為（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；
（3）根據反比例函數的性質即可得到結果． 第五環節：交流探討 收獲小結 活動內容：
1. 本節課你收獲到了什么？ 2. 你還有哪些困惑？ 3. 解題時要注意什么？
活動目的：使學生通過再次的回顧和總結，完善自己知識框架，進一步培養了學生歸納和交流能力。
第五環節：課后作業
1.梳理本章內容，用適當的方式呈現全章知識結構，并與同學分享。 2.根據本節課的學習心得寫一篇學習小結。
3.如圖，在平面直角坐標系中，過點M（﹣3，2）分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數y=的圖象交于A，B兩點，則四邊形MAOB的面
積為 ．
11
考點：反比例函數系數k的幾何意義．.
分析：設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d），根據反比例函數y=的圖象過A，B兩點，所以ab=4，cd=4，進而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根據四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩
形MCDO
，即可解答．
解：如圖，
設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d）， ∵反比例函數y=的圖象過A，B兩點， ∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， ∵點M（﹣3，2）， ∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10， 故答案為：10．
點評：本題主要考查反比例函數的對稱性和k的幾何意義，根據條件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解題的關鍵，注意k的幾何意義的應用．
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四、板書設計
本章知識結構圖
回顧與思考
課堂小結
例題與練習
鏈接中考
五、教學反思
本節作為本章的復習課，涉及到了中學數學里所有的數學思想方法，包括待定系數法、數形結合法、方程思想等等，這些方法相互滲透，相互融合，構成了函數應用的廣泛性，解法的多樣性，和思維的創造性。函數的性質、圖象及函數與方程、不等式知識的聯系和綜合應用是命題的熱點，尤以探索性題型考查較多，其主要特點是要求學生能夠建立數學模型，對相關知識進行綜合應用。
反比例函數知識點與練習題
反比例函數問題大致有求函數的表達式，研究函數的圖像與性質，解相關綜合題等．本章內容雖說不多，但對知識的理解要求較高，其中還蘊含著豐富的數學思想和方法，請同學們務必認真體會，下面對整章內容作一梳理，希望對同學們有所幫助。
一、知識梳理
1．理解反比例函數的概念應注意兩點：（1）自變量x的次數是-1，（2）比例系數k≠0.
2．反比例函數自變量x的取值范圍是x≠0，因此在畫函數圖像時，不要把兩個分支連結起來，“兩個分支都無限接近但永遠不能到達x軸和y軸”這是由自變量的取值范圍所決定的。
3．反比例函數的性質可借助下述方法來幫助理解。具有下列條件之一，可推出其他兩點
（1）k＞0，（2）圖像的兩個分支分別在第一、三象限，（3）在每個象限內，y隨x的增大而減小（對于k＜0可作同樣的分解幫助理解）。
注：（1）反比例函數的增、減一定要強調“在每個象限內”這一前提，因為k＞0時函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限，若點A(x1,y1)在第一象限的圖像上，點B(x2,y2)在第三象限的圖像上，雖然x2＜x1，但顯然y2＜y1，即隨著x的增大，y并沒有隨之變小。
（2）該性質記憶時應“數形結合”，切忌死記硬背。
4．雙曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。
5．一個重要結論。
設A(x1, y1)是反比例函數y=k/x(k≠0)圖像上的任意一點，過點A分別作x軸、y軸的垂線AM,AN，則所得矩形AMON的面積等于 | x1|·| y1|=| x1y1|=|K|；同理過點A向某一坐標軸作垂線，垂足與A,O構成的三角形的面積等于(1/2)K．
二、范例分析
例1 若點(-1，y1),(-2，y2),(3，y3)在函數y=-1/X的圖像上，則下列結論中正確的是（ ）
Ａ．y1＜y2＜y3 Ｂ．y1＜y3＜y2
Ｃ．y3＜y1＜y2 Ｄ．y3＜y2＜y1
析解：本題既可將各點的橫坐標代入表達式，求出y1，y2，y3的值再進行比較，也可以采用數形結合的方法，畫出草圖，直觀進行比較（草圖如圖2）．易知選Ｄ．
例2 已知函數y=k/x的圖像經過點(2,3)，下列說法正確的是（ ）
Ａ．y隨x的增大而減小 Ｂ．函數圖像只在第一象限
Ｃ．當x＜0時必有y＜0 Ｄ．點（-2，-3）不在此函數圖像上
析解：Ａ缺少前提“在每個象限內”，又因為函數y=k/x的圖像經過點(2,3)，所以k=6，圖像在第一、三象限，當x=-2時，y=-3，所以點(-2,-3)在此函數圖像上，所以Ａ，Ｂ，Ｄ錯．因為k=6＞0，所以當x＜0時的圖像在第三象限，所以y＜0．故選Ｃ．
例3 如圖3，B點是x軸正半軸上一動點，過B點作x軸的垂線交雙曲線y=1/x于點A，連結OA，當點B沿x軸正方向運動時，△AOB的面積（ ）
Ａ．逐漸增大 Ｂ．逐漸變小
Ｃ．保持不變 Ｄ．無法確定
析解：無論點B運動到何位置，點A總在雙曲線y=1/x上，總有AB⊥x軸，由前面知識分析知，S△AOB=1/2|k|=1/2，故選Ｃ．
例4 矩形面積為21cm²，當長ycm是寬xcm的函數時，這個函數的圖像是（ ）
析解：本題是一個實際問題，應根據題意確定自變量的取值范圍：x＞0．因此函數的圖像是雙曲線在第一象限的一個分支．故選Ｃ．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
