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視頻標簽：實際問題,一元一次方程,銷售中的盈虧
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版七年級上冊數學3.4《實際問題與一元一次方程》探究1銷售中的盈虧-江西省 - 贛州
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人教版七年級上冊數學3.4《實際問題與一元一次方程》探究1銷售中的盈虧-江西省 - 贛州
《3.4 實際問題與一元一次方程》 數學探究活動1：銷售中的盈虧
教學任務分析
教學過程設計
問題與情境
師生行為
設計意圖
[活動1]情境導入:
創設情境：
2015年11月27-28日，中央扶貧開發工作會議在北京召開．中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習近平強調，要確保到2020年所有貧困地區和貧困人口一道邁入全面小康社會。
結合國家扶貧工作，營造“營銷環境”，創設商機，商家進行促銷，從而為導入新課作鋪墊．
讓學生了解國家有關時事，置身于探究問題的現實情境.
激發學生探究興趣，感知“生活中的數學”．
教 學 目 標
1．通過對銷售流程、銷售模型、銷售應用的探究，使學生從“數”與“形”
的角度掌握銷售中的有關量的數量關系，認識銷售中的盈虧模型，用一元一次方程的知識解決簡單的銷售中的盈虧問題．
2．運用數學建模思想和方程思想對銷售中的盈虧問題進行探究，感知估算的片面性，感悟利用數學知識進行準確、科學、合理判斷的必要性，提升思維品質，形成數學素養．
3．體驗應用數學知識進行準確判斷盈虧的探究樂趣，進一步培養學生自主探究、敢于質疑等良好的學習品質，滲透愛心經營，感恩社會等意識．
教學重點 掌握銷售中的數量關系，會列方程解決銷售中的盈虧問題． 教學難點 如何從已知量、未知量中找到等量關系、列出方程． 教學方法 自主探索、合作交流、歸納概括． 教學手段
多媒體輔助教學、教具．
學情分析 學生已經學習了一元一次方程的解法以及應用一元一次方程解決一些實際
問題，本節課重點在引導學生探究銷售問題中的等量關系，利用方程知識準確
判斷盈虧．
2
[活動2] 銷售流程探究:
1．某商家積極響應國家號召，開展 “助學扶貧”促銷活動．該商家購進一批文化衫銷售，其中一款文化衫每件進價100元，請你猜想他將怎樣定價銷售？銷售的結果可能有幾種？
◆（1）商家將加價使標價高于100元去賣． （2）售價可能有幾種情況？
大于100元；等于100元；小于100元． （3）銷售結果有幾種可能？
盈利(賺錢)；不盈不虧；虧損(賠錢)．
揭題：探究1：銷售中的盈虧 2．銷售流程：
學生進行交流討論，探究商品的定價、售價、銷售策略、銷售結果（盈虧）．
教師揭題：探究1：銷售中的盈虧．
教師引導學生探究銷售的流程．
設置開放問題，學生大膽猜想，教師歸結，引導學生探究銷售流程中的幾種可能．從整體上感知商品銷售的主要環節及結果．
學生沒有從事過營銷活動，又需要理解銷售過程，因此，以簡單的模擬營銷活動為例，讓學生置身于解決問題的情景中，從而感知銷售流程．
[活動3] 銷售模型探究:
（—）代數模型(公式) 1．銷售有盈有虧 盈利(賺錢)：
◆盈利＝售價－進價 虧損(賠錢)：
◆虧損＝進價－售價
2．若進價100元文化衫，加價20元賣出，那么標價是 元，售價是 元，則盈利 元，盈利率是 ．
◆盈利率＝
進價
盈利
×100﹪ →盈利＝進價×盈利率
3．若文化衫滯銷，打八折賣出(一定是在標價120元的基礎上打折)，則售價是 元，虧損 元，虧損率是 ．
◆售價＝標價×
10
折扣數
◆虧損率＝
進價
虧損
×100﹪ →虧損＝進價×虧損率
學生探究，教師引導、歸結．
教師引導學生感知盈利、虧損的概念．探究有關量的數量關系．
設置簡單的問題情境，探究盈利率、虧損率、折扣的含義以及相關量的數量關系，指出它們的參量“單位1”．
遵循學生的認知規律，從實際問題的情景中，探究盈利、進價、售價之間的數量關系，以及虧損、進價、售價之間的數量關系．
明確銷售過程后，用具體的數字繼續對引例的銷售過程進行定量討論，盈利率、虧損率的計算中進價是“單位1”，從而得到銷售中各種量之間關系的一般結論．學生自己發現和提出問題，歸納概括得到猜想和規律，培養學生的創新能力．
從“數”的角度歸納銷售中常用的數量關系（公式），構建銷售問題中的代數模型．
3
[活動3]銷售模型探究:
（二）幾何模型(線段圖)
模型1：加價后賣出．
模型2：加價后打折賣出且盈利．
模型3：加價后打折賣出且虧損．
對照線段圖，教師設問，學生討論探究其中線段表示的有關量．
線段圖清晰地呈現了銷售過程中有關量的“整”“分”的關系，同時也呈現了各種量之間的等量關系．
學生對銷售過程中的“盈”與“虧”的定量計算有了一定的認識，利用線段圖表示數量關系來解決應用問題學生在小學已經學過，特別是涉及到量與率的問題時，線段圖更是能夠清楚簡捷地幫助學生找到問題中各個量的關系．
從“形”的角度直觀展示其數量關系，進一步加深對銷售中有關量的數量關系的認識．
[活動 4] 銷售應用探究：
——應用
應用1．賣出一件進價48元的文化衫，盈利率為25%，求這件文化衫的售價．
◆解題策略： （三步曲）
應用2．一件文化衫標價100元后六折賣出，虧損率為25%，求這件文化衫的進價．
引導學生根據題目信息，尋找該問題中的“已知量”“未知量”，再根據這些基本量聯想到有關的數學模型（公式），從而列出方程求解．
強調盈利率、
虧損率、折扣的參量“單位1”是什么． 歸結銷售問題求解的基本步驟：“先找基本量，再聯想公式，后列方
程”．
從簡單的銷售問題入手，分析其基本的分析思路與解題策略，從而探究銷售問題的求解步驟．
學生在探究過程中，學會梳理題目信息，尋找基本量，發現銷售中各量之間的數量關系，找到等量關系，列方程求解．學生進一步體驗方程建模的思想，體會數學的價值，培養學生的應用意識．
.
4
[活動 4] 銷售應用探究：
——探究
探究1該商家有中、小學生兩款文化衫，每件小學生文化衫比中學生文化衫的進價少10元，一件小學生文化衫的盈利率為30%，一件中學生文化衫的盈利率為20%．
(1)若小學生文化衫的進價為x元，則每件小學生文化衫的利潤是 元，每件中學生文化衫的利潤是 元； (用含x的代數式表示)
(2)若它們的售后利潤額相同，求這兩款文化衫的進價．
◆ 小結：
當一次銷售中涉及到兩件(或多件)商品時，其數量關系要逐件依次分析．
探究2 商家某一時間賣出每件進價60元的兩件文化衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件文化衫總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？
◆ 思路1：
比較第一件的盈利額與第二件虧損額的大小
◆ 思路2：
比較總進價與總售價的大小
學生審題，闡述探究思路．
引導發現問題中包含的商品有兩種，應逐件依次分析，分別找到各自的銷售有關量．
學生讀題、審題，闡述自己的觀點，說明理由或依據．
設置較復雜的銷售問題情境，對學生在銷售盈虧探究中提出更高的要求．
培養學生從大量的文字信息中找到解題的“題干”——有效信息，并將其從復雜問題中梳理出單個問題，化繁為簡，逐步求解．
學生綜合運用所探究的銷售盈虧的知識，理性的分析銷售盈虧問題．
揭示問題的本質是：盈利率與虧損率一樣多，并且它們的“單位1”進價都相同（60元），所以結果為不盈不虧．
5
探究2變式1： 該商家在開展 “助學扶貧”促銷活動前，以每件售價60元的價格賣出兩件文化衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件文化衫總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？
◆估算依據:
總售價＞總進價，總的是盈利．
總售價＝總進價，總的是不盈不虧．
總售價＜總進價，總的是虧損．
◆準確計算：
兩件文化衫的售價總和為120元，盈虧情況要看這兩件文化衫的進價總和是多少元．即求兩件文化衫的進價各是多少元，要分兩次一件一件的求出進價．
◆探究2與探究2變式1中，盈利率和虧損率都為25%，但探究2的結果是不盈不虧，探究2變式的結果是虧損，為什么呢？
進價（單位1）不一樣．
◆探究給了我們什么啟示？ 1．直覺有時并不可靠． 2．“先估算，后準確計算”是分析問題的通常順序．
3．正確運用數學知識分析問題可以減少判斷錯誤．
探究2變式2：該商家在開展 “助學扶貧”促銷活動后，許多顧客慕名而至，銷量陡增．以每件售價60元的價格賣出了7000件文化衫，其中每件盈利20%，求商家總盈利為多少元？商家把總利潤的一半用于資助初中貧困學生，每位學生的資助標準為1750元，可以資助多少位初中貧困學生？若你是受助對象，你想說點什么？
學生審題：探究2變式（將條件“進價60元”變為“售價60元”），大膽猜想，先估算，說出第一直覺是盈還是虧．
學生闡述其探究思路及結果．
學生再進行準確計算．分兩次運用一元一次方程求出兩件文化衫的進價，然后進行綜合分析，通過精確計算檢驗估算．
學生進一步理解盈利率、虧損率的計算中進價是“單位1”．
關注學生是否積極參與數學探究活動，利用銷售模型，快速找到問題解決的途徑。
因為兩件文化衫售出的價格相同，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，所以容易感覺“總的結果是不盈不虧”．但是運用一元一次方程進一步探究，可知總的結果是虧損．通過探究讓學生經歷一個從定性考慮(估算)到定量考慮(計算)的過程，有助于提高學生對數學的應用價值的認識．
讓學生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識．在探究數學活動中，引導學生發現銷售中的一些規律，并能正確運用所學的數學知識進行分析．發展合情推理能力，清晰地表達自己的想法．體會數學的特點，了解數學的價值，對數學有好奇心和求知欲．
通過探究反思，讓學生感悟，準確的判斷不能僅僅依靠直覺，需要正確的運用所學的數學知識，才能做出正確的判斷，激發學生學好數學．
滲透愛心經營，可以實現個人與社會共贏的理念．教育學生學會感恩．
6
[活動 5] 課堂小結:
談談這節課你有什么收獲？ 1．銷售中常用的數量關系
①盈利＝售價－進價 ②虧損＝進價－售價
③售價＝標價×10
折扣數
2．銷售中的盈虧問題的解題策略
3．提煉出口訣，幫助學生記憶． 入不敷出是虧損，入大于出是盈利； 虧損盈利百分數，選擇進價單位1； 打折基礎是標價，然后乘以百分比； 解題策略三部曲，解決問題用方程．
學生回顧，教師補充．
口訣是幫助學生記憶的一個輔助方法，特別是口訣中給出了計算盈利率和虧損率的基礎，即單位1是進價．
學生明過程知概念，從特例到一般，記憶理解銷售中常用的數量關系．從代數模型和幾何模型探究銷售中有關量的數量關系，形成知識網絡．
[活動6]布置作業:
課外作業
1．一件商品，進價16元，售出獲利50%，求該商品的售價．
2．一件商品，標價50元后八折出售，虧損5%，求該商品的進價．
3．某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為9600元.其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%．這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？
課外閱讀
閱讀《“代數學的鼻祖”丟番圖與方程》(見學案)．
課外鞏固本節課的知識點及思想方法，不同類型題型適用于不同程度學生．
學生通過閱讀《“代數學的鼻祖”丟番圖與方程》，了解方程的產生、發展和應用．
讓不同程度的學生都能有解答，都有思維的空間，深化、提高，形成知識體系．
數學是人類文化的重要組成部分，在人文科學和社會科學發揮著越來越大的作用．引領學生關注數學文化， 促進學生的全面發展．
板書設計:
3.4 實際問題與一元一次方程
探究1：銷售中的盈虧
教師在黑板上進行板書，讓學生清晰的理清本節課的知識體系．
規范學生的答題書寫，教師的板書起著不可替代的示范作用．在日常教學中，注重培養學生形成良好的數學學習習慣．
一、
二、
三、
7
教案設計說明
本節內容分兩個部分：第一部分安排了例1和例2，并在其后以框圖形式歸納了用一元一次方程解決實際問題的基本過程．第二部分安排了三個探究性問題，它們比前面的實際問題復雜些，問題情境與實際情況更接近，呈現更具開放性，本節第一部分示范性強，第二部分探究性強．本節課是第二部分的三個探究性問題中的第一個探究問題“銷售中的盈虧”，理解銷售流程和盈虧概念是本內容學習的前提，突破難點的關鍵是分析清楚銷售中有關量的數量關系，從公式中構造一元一次方程．從本質上認識銷售中的盈虧模型，是正確列方程解決問題的關鍵，也是本課培養學生的能力所在．
以簡單的模擬營銷活動為例，讓學生置身于解決問題的情景中，從而弄清銷售流程和盈虧概念．明確銷售流程后，用具體的數字繼續對引例的銷售過程進行定量討論．從“數”的角度得到各種量關系的一般結論，一般結論就是盈虧問題模型的重要的代數模型．學生對銷售過程和盈與虧的定量計算有了一定的認識，這時我們再引入線段圖，從“形”的角度直觀展現其數量關系深．用線段圖表示數量關系來解決應用問題學生在小學已經學過，特別是涉及到量與率的問題時，線段圖更是能夠清楚簡捷地幫助學生找到問題中各個量的關系．
過程明確了，關系理清了，解決問題時還要有可操作的東西，學生才能化理解為落實．安排兩道應用題，讓學生熟練掌握銷售盈虧問題的解題策略 (三步曲) ：1．找基本量；2．想公式；3．列方程．然后進行探究的學習，能夠考察前面的教學是否到位，學生是否可以靈活運用所學的知識和方法．對探究的學習分三步進行：1．先進行估算；2．敘述估算的依據；3．后準確計算．通過探究學習進一步發現銷售盈虧問題中的一些規律，并能正確運用數學知識進行分析驗證，從而本質上了解銷售中的盈虧．探究的學習是對這類問題數學模型的認識和教學策略，還可以用這樣的方法研究其他類型的實際問題，從多角度去認識其數學模型，幫助學生掌握解決實際問題的方法．
在課堂教學過程中始終貫徹“教師為主導、學生為主體”的教學宗旨，通過創設有趣的數學活動展開教學，充分調動學生學習的積極性， 使學生能夠主動愉快地學習．鼓勵學生在獨立思考的基礎上進行討論交流，讓學生獨立思考、學會思考，滲透方程思想、模型思想和數形結合思想，讓學生充分體驗數學的應用價值．在教學采用啟發式教學，啟發、誘導貫穿教學始終，通過真實、熟悉的情境，借助多媒體進行教學，激發學生的好奇心，喚醒學生的求知欲，積極參與教學全過程，使學生在教師的主導下生動活潑、主動的和富有個性地學習．
同時根據新課程標準的評價理念，我在整個教學過程中，始終注重的是學生的參與意識，注重嘗試教學，讓學生主動暴露思維過程，及時得到信息的反饋．在課堂上，盡量留給學生更多的空間，更多的展示自己的機會，讓學生在充滿情感的、和諧的課堂氛圍中，在老師和同學的鼓勵與欣賞中認識自我，找到自信，體驗成功的樂趣，從而樹立了學好數學的信心．
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【閱讀材料】
“代數學的鼻祖”丟番圖與方程
隨著人類社會的不斷前進，數學在不斷向前發展著，方程同樣在不斷向前發展著．兩千多年前古希臘有一個大數學家，他的名字叫丟番圖，他對數學的發展作出過巨大的貢獻．他開創了用縮寫方法簡化文字敘述運算，因此有人把他稱為“代數學的鼻祖”．丟番圖著《算術》一書，書中借助符號來代替文字敘述，這在代數發展史上是非常重要的一步．《算術》一書中有解一元一次方程的一般方法，他說：“如果方程兩邊遇到的未知數的冪相同，但是系數不同，那么應該由等量減去等量，直到得出含未知數的一項等于某個數為止．”丟番圖的這段話相當于現在解方程中的移項，這樣丟番圖就給出一元一次方程的普遍解法，但他的解法在解算其他問題時也就不一定行了；往往是因題而異，一道題有一種特殊解法．正如19世紀德國史學家韓克爾所說：“近代數學家研究了丟番圖100個題后，再去解101道題，仍然感到十分困難．”
到了公元10世紀至于14世紀，《希臘文集》特別流行，它是一本用詩寫成的問題集，其中有一道關于畢達哥拉斯的問題就非常出名．
丟番圖生平不詳，他的唯一的一個簡歷是從《希臘方集》中找到的，這是由麥特羅爾寫的丟番國的“墓志銘”，“ 墓志銘”是用詩歌寫成的，詩詞大意是這樣：
“過路的人！這兒埋葬著丟番圖，請計算下列數目，便可知他一生經過了多少寒暑．
他的一生中的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是無憂無慮的少年，
再過去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭， 五年后兒子出生，
不料兒子竟先其父四年而終， 只活到父親歲數的一半， 晚年喪子老人真可憐， 悲痛之中度過了風燭殘年，
請你算一算，丟番圖活到多大，才和死神見面？”
這是一道刻在墓碑上的方程，可以用一元一次方程來解這個問題，具體解法如下：
設丟番圖共活了x歲，童年
x6
1歲，少年x121歲，過去x)(71
12161年建立家庭，兒子活了x6
1歲，按題目條件可列出方程：xxx421
57112161)(，解得84x（歲），通過進一步解算可知丟番圖33歲結婚，38歲得子，80歲喪子，本人活了84歲．
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