視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《函數圖象再認識》吉林
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《函數圖象再認識》吉林-田健豪
函數圖象再認識
教學設計
函數圖象再認識
一、 教學內容解析
（一）教學內容
在學生掌握了函數及其圖象的初步知識和一次函數的相關知識基礎上，給定一個函數圖象，學生能想象出一個具體的生活情境描述圖象所表達的函數關系．
（二）內容解析
學生通過函數及其圖象的初步知識和一次函數的相關知識的學習，已經會把實際問題抽象成函數關系，進而得到函數圖象．為使學生真正理解不同情境中構成函數的兩個變量間的關系，還需將這一過程反過來，讓學生能根據給定的函數圖象，說出能描述該圖象的一個具體情境，從而進一步體會函數中兩個變量間的本質關系，體會變化過程中存在的不變量，提高學生思維的靈活性．
本課以一次函數圖象為載體，通過探究能具體描述圖象所表達的函數關系的不同情境，加深學生對函數的理解，鍛煉學生發散思維和發展數學模型思想．
本課的
教學重點：探究用不同的情境來具體描述給定函數圖象所表達的函數關系．
二、教學目標設置
1、學生能對給定的簡單的函數圖象，賦予具體情境，確定圖象所對應的函數關系．
2、學生通過討論，對給定的較復雜的函數圖象，賦予具體情境，并能進行簡要的說明．
3、學生感受探究數學問題的正向思維和逆向思維過程；通過細致觀察圖象，發展學生幾何直觀；通過對問題的解決，發展數學抽象．
三、學生學情分析
學生在小學階段就已具備判斷圖形及點的位置等幾何直觀，初中階段，通過系統學習函數及函數的圖象、一次函數、反比例函數等相關知識，已經具備了一定的函數思想以及運用函數解決簡單的實際問題的能力，具備一定的想象力和表達力．但還不善于把抽象的數學概念和具體的事物聯系起來，對給定的函數圖象分析其變量關系比較模糊，需要教師引導進一步加深對函數本質的理解．
本節課的
教學難點：通過多個問題實例，準確抽象出構成函數的兩個變量，加深對一個函數圖象可以表達一類現實事物的運動變化規律的理解．
四、教學策略分析
通過熟悉的一次函數圖象為載體，形成問題驅動，引出本節課要研究的內容．讓學生嘗試改變引課中函數圖象橫、縱軸的意義，說出在實際生活中能符合該圖象的具體情境，通過引導學生對舉出的例子逐一辨析，準確抽象出構成函數的兩個變量，歸納出符合給定圖象表示的函數關系的一類事物運動變化的共同本質特征．以此突破難點．
通過小組合作學習培養學生合作能力．在任務設置環節中要求小組合作完成２個問題的設置，不同學習能力的學生獲得不同程度的成長，學習能力較弱的同學也可以提出相對簡單的問題，在此過程中獲得成功的喜悅，增加學生的自信心；學習能力強的學生可充分發揮自己的數學建模能力，充分地將數學模型和實際問題結合起來．在小組匯報過程中，學生通過匯報實現學習反饋，在這一過程中，辨析不同情境是否可以表述給定函數圖象表示的函數關系，再次加深學生對“函數”的理解，同時學生可以感受到，滿足同一函數關系的實際情境是非常豐富的，而這些情境又可以引發進一步的問題。這一過程可以引發學生更深層次思考，體會函數的價值．使學生已有的認知結構得到重新組合，在使知識系統化的過程中，加深對函數思想的理解和運用．達到突出重點的目的，完成教學目標．
五、教學過程設計
（一）引入課題
我們已經學習了函數的相關知識，知道在一個變化過程中，有兩個變量
x和
y，對于
x的每一個值，
y都有唯一的值與之對應，我們就稱
y是
x的函數．對于很多函數關系我們可以通過函數圖象直觀的表示，例如最簡單的正比例函數
y=10
x，每給一個
x的值都有唯一的
y值與之對應，我們就得到了滿足這個函數關系的點坐標，通過描點法得到
y=10
x的函數圖象，對于這個圖象上所有的點也都滿足
y=10
x這個函數關系，這樣我們就將
y=10
x與它的圖象建立了對應關系．這是我們研究的數學問題．我們常說生活離不開數學，數學是服務于生活的，在我們學習一次函數應用的時候，我們就利用函數圖象和函數解析式解決過實際問題，如我們曾遇到過這樣一個實際情境：
周末小明騎自行車勻速從家出發去文化宮，在這個實際情境中我們抽象出兩個變量：小明離家的距離
y與離開家的時間
x，他們的關系滿足
y=10
x(
x≥0)，我們可以用這個圖象來刻畫這個情境中兩個變量的函數關系：
利用圖象從而幫助我們分析解決這個情境下的問題．
問題驅動：這是對于給出的情境我們可以經過分析畫出它的函數圖象，如果反過來，給出一個函數圖象，你能為它創設一個符合這個圖象所表示的函數關系的實際情境嗎？
這就是本節課我們要來研究的內容，為給定的函數圖象創設情境——函數圖象再認識．
設計意圖：從學生熟知的用一次函數圖象表達行程問題入手，復習舊知，再利用逆向思維，制造認知沖突，引出本節課要研究的內容．
（二）問題解決
首先我們來觀察這個函數圖象，它所表示的函數關系是
y=10
x(
x≥0)，我們想要為它創設的情境，在這個情境中抽象出來的兩個變量的關系只要也滿足
y=10
x(
x≥0)即可．這樣的情境有嗎？我們剛舉的例子就滿足這個關系：小明騎自行車勻速從家出發去文化宮，當我們抽象出這個情境里的兩個變量：離家的距離
y與離開家的時間
x，它們的關系也滿足
y=10
x(
x≥0)，此時我們就可以用這個情境來描述這個圖象所表示的函數關系．但在這個情境中我們研究的兩個變量的實際意義是被限定的，此時這個圖象就僅能反映一個行程問題中距離關于時間的函數關系．
問題驅動：我們可以為這兩個變量賦予其他的實際意義，用其他的情境描述這一圖象所表示函數關系嗎？
【獨立思考】問題1：對于滿足如圖所示函數圖象所表示的兩個變量，請同學們嘗試賦予新的實際意義，再用一個具體實際情境來描述這個圖象所表示的函數關系．
學生活動：學生在思考后，舉出生活中的情境．
師生活動1：教師引導學生對每個具體情境進行辨析，明確情境中的抽象出來時的變量
y與
x的實際意義，當它們的關系滿足
y=10
x(
x≥0)時，就可以創設新的情境描述函數圖象表示的函數關系；不滿足則不可以．
追問1：我們為給定的
y=10
x(
x≥0)的函數圖象創設了不同的實際情境，總結一下我們是怎么做到的？
生答：首先明確給定函數圖象所表示的
y與
x的函數關系，然后在實際生活中尋找一個情境，抽象出這個情境中的兩個變量，如果兩個變量的關系也滿足上述
y與
x的函數關系，就可以用這個情境來描述這個圖象所表示的函數關系，也就為這個給定的函數圖象創設了實際情境．
追問2：我們為
y=10
x(
x≥0)的函數圖象創設了情境，它僅是正比例函數中的一種，我們可以把這個函數圖象推廣給形如
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函數圖象嗎？大家找到的這些情境還符合嗎？
師生活動：學生思考表示可以類比形如
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函數圖象．教師小結：在生活中，只要具體情境（如行程問題、工程問題、注水問題、利潤問題等），它們抽象出來的兩個變量
y與
x的關系滿足
y=
kx(
k≠0，
x≥0)，就可以用來描述
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函數圖象所表示的函數關系．
設計意圖：通過最簡單的最常見的正比例函數圖象，讓學生嘗試創設情境來描述這個圖象所表示的函數關系，并辨析正確與否．在這個過程中加深學生對函數本質的理解，引導學生體會數學建模思想，發展學生用數學建模能力．
問題2：如果給定的函數圖象復雜了，你還能用一個具體的情境來描述這個圖象所表示的函數關系嗎？
問題驅動（1）首先觀察圖象，你能得到什么信息？
學生回答：這個函數圖象由三條線段組成的，先上升再不變最后下降．
問題驅動（2）這是我們接觸過的分段函數，可以再詳細說明嗎？
學生回答：每個
x的范圍內，
y隨
x的增大先增大再不變后減小．
問題驅動（3）用數學語言怎么表達呢？
學生回答：當0≤
x≤20時，
y=45
x；當20<
x≤30時，
y=900；當30<
x≤40時，
y=-45
x+1800．
問題驅動（4）雖然圖象復雜了，但經過分析它是由我們熟悉的函數圖象組成的，此時我們可以分段考慮，針對每一個
x的取值范圍，找到
y與
x的對應關系，為這段圖象創設符合這個函數關系的實際情境，最后再整合到一起，就可以為這個函數圖象賦予了一個具體的生活情境．
再觀察，這個圖象看似有三段組成，但有沒有哪部分是我們熟悉的并解決過的呢？
學生回到：第一段函數圖象與問題1當中的圖象是一致的．
問題驅動（5）可不可以借助問題1中的情境再繼續豐富 ，從而描述此時這個圖象所表示的
y與
x的函數關系呢？哪位同學想試一試．
師生活動：學生思考后，借助前面的實際情境繼續豐富情境從而想象出一個具體的生活情境．教師引導學生對這個具體情境進行辨析．
設計意圖：從用具體情境描述一段一次函數圖象所表示的函數關系，到描述由三段圖象組成的新圖象所表示的函數關系，加大了創設正確的實際情境的難度．經過分析讓學生感受對復雜的函數圖象，可以通過分段考慮再整合的方式來解決，并感受解決復雜問題的一般方法：先將問題拆解，轉化為已經研究過的問題．培養學生解決問題的能力．在此過程中，提高學生用實際情境描述圖象所表示的函數關系的能力，進一步發展學生的數學模型思想．
【小組探究】通過前面同學的回答，我們已經創設了一個實際情境描述這個函數圖象所表示的函數關系，你還能找到其他不同的情境嗎？下面通過小組合作的方式，再為這個圖象創設一個合適的情境，要求如下：
1．分析情境中相關變量的意義，根據實際情境可以改變原圖象中的數據，使得更符合實際意義；
2．設置2個問題，其中1個問題是利用函數圖象解決實際問題，不需要計算結果．
師生活動：學生以小組形式積極展開學習，教師巡視，若學生遇到困難，及時給予幫助．
設計意圖：通過改變數據，讓學生進一步體會實際情景和函數所表達的單調性的關系．通過對問題2的研究，使學生充分體會數學在實際生活中的應用，從而培養學生的興趣，增強學生的應用意識和數學建模能力．
學生活動 各小組匯報展示．
師生活動：各小組展示本組所創設的實際情境，師生共同辨析每個情境是否可以正確的描述給定的函數圖象所表示的函數關系．
升華驅動：回過頭來看，我們真的非常厲害，為給定的一個函數圖象創設了不同的具體情境．哪位同學可以總結一下我們是怎么做到的呢？
學生回答：首先分析給定函數圖象所表示的函數關系，再分析情境中變量之間的關系，關系相同時，就可以用這個情境描述這個函數圖象．
設計意圖：關注思維方法總結．讓學生體會遇到函數關系時，如何和實際情境建立聯系．通過展示讓學生再次切身感受同一個函數圖象，可以用不同的生活情境來描述它所表示的函數關系．引起學生思考，揭示了問題的本質的重要性，加深對函數本質的理解，同時激發學生學習數學的興趣．
（三）總結提升
本節課，我們從另一個角度再認識了函數圖象，探究了如何為給定的函數圖象創設情境．為給定圖象創設情境就是把實際問題抽象成數學問題的過程．我們用這個方法為同一個圖象創設了不同的情境，雖然這些情境各不相同，但是經過大家對其中變量的分析，這些變量都滿足同一個函數關系，就可以創設這些情境來描述同一個函數圖象所表示的函數關系．在這個過程中，只要抓住函數的本質，也就是
y與
x的關系，就可以實現為給定的函數圖象創設符合的情境．這些情境產生的實際問題我們又都可以利用同一個函數模型來解決，使得問題簡單化．這就是我們數學的魅力！利用函數模型來解決實際問題的想法是我們所說的數學模型思想，而抽象的過程就是把現實問題轉化為數學問題的橋梁．
今天僅就一次函數圖象進行了探究，我們還可以就反比例函數圖象、二次函數圖象，甚至將來我們繼續學習的函數圖象同樣去賦予實際情境，感興趣的同學我們可以在課后借助其他函數圖象繼續研究這個問題，讓我們更加深刻地感受數學的魅力．
設計意圖：通過梳理本節課所學內容，理解本節課的核心——探索用不同情境表述同一函數圖象所表述的函數關系，加深學生對函數的理解，感受數學模型思想，發展幾何直觀和發散思維能力．
（四）課后作業
【試一試】對于下面的二次函數圖象，你能用具體情境描述它所表達的函數關系嗎？
（五）板書設計
六、目標檢測設計
對于下面的二次函數圖象，你能用具體情境描述它所表達的函數關系嗎？
設計意圖：考查學生對本節課內容的掌握.
課例點評
過去我們習慣于從現實中抽象函數關系，而對解析式、圖象可以表達一類現實事物的運動變化規律卻關注不夠．本節課從給定函數圖象出發，在構建不同的具體情境表述圖象所表達的函數關系的過程中，加深對函數關系和模型思想的理解．本節課有如下特點：
1.在教學設計上，本節課突出體現了通過已有的知識的再思考，加深學生對函數關系的理解．在學生學習過一次函數的基礎上，教師通過構建滿足正比例函數圖象的不同情景，引導學生對滿足此圖象的兩個變量的關系進行分析，使學生在實際生活應用這一層面加深了對函數關系的理解．
2.創設情境合理，提出的問題符合學生認知的同時，用問題驅動的方式引發學生的深入思考，提升學生的思辨能力．
3.在學生活動設計上，充分啟發學生思考，既有獨立思考，又有小組合作學習，使得學習活動靈活多變，牽動著學生的注意力．同時，教師注意觀察學生的活動，傾聽學生的發言，捕捉學生的思維難點，給出恰當的激勵與點評，通過實時的啟發與追問，鼓勵學生放開思維，大膽設想，不斷總結提升，有效把控課堂生成．通過學生與教師交流，學生與學生交流，加深對函數思想的理解和運用，達到突出重點的目的，較好地達成教學目標．
總之，本節課能夠引導學生展開充分想象，在構建不同的具體情境表述圖象所表達的函數關系的過程中，加深學生對函數的理解，發展了幾何直觀，培養了學生數學模型思想和數學學習的興趣.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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