視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《19.2.1 正比例函數》湖北—吳娜
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《19.2.1 正比例函數》湖北—吳娜
19.2.1 正比例函數
（2課時，單元-課時教學設計）
湖北省襄陽市實驗中學 吳娜
1.內容
正比例函數的概念、圖象和性質.
本單元教學需兩課時，第1課時主要學習正比例函數的概念，第2課時重點研究正比例函數的圖象和性質.
2.內容解析
（1）內容的本質
本單元是學生學習特殊函數的第一階段，在初步認識函數概念的基礎上，具體討論正比例函數這類最簡單的初等函數.正比例函數是特殊的一次函數，它是初中函數學習的重要內容，通過正比例函數概念的學習，既加深對函數概念的理解，又加強對正比例變化規律的認識.通過圖象，可以直觀地得到函數的性質，結合解析式，可以進一步認識函數的性質.通過研究正比例函數的概念、圖象和性質，可以獲得初中函數研究的一般步驟（下定義—畫圖象—觀察圖象—歸納性質），為今后學習一次函數、二次函數、反比例函數做好鋪墊.
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內容蘊含的數學思想方法
本單元主要涉及了模型思想、從特殊到一般、數形結合等數學思想方法.通過對現實生活和數學問題的分析，發現變量間的函數關系，列出各種函數關系式，建立函數模型；通過觀察、分類，從最特殊的函數開始研究，逐步體會從特殊到一般的研究思路，初步感悟初中常見函數的一般特征；通過從圖象和解析式兩個方面結合研究函數性質，體會數形結合研究函數變化規律的一般方法.通過研究正比例函數可以獲得初中函數研究的一般思路，一般方法，發展數學觀察、抽象概括和推理能力.
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知識的上下位關系
學生學習本單元的知識基礎有：正比例關系的概念，函數的概念及三種表示方法．通過對正比例函數的學習，可以獲得初中函數研究的一般步驟，一般思路和一般方法，對后續進一步研究其他類型的函數具有奠基作用.
（4）內容的育人價值
在正比例函數的概念及性質的學習過程中，讓學生經歷初中函數研究的基本套路，體會函數研究思想的一致性和方法的普適性.在應用函數知識解決實際問題的過程中，經歷數學建模的全過程，培養學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界．通過本單元基礎知識和基本技能的學習，讓學生積累函數學習基本經驗，掌握函數學習基本方法，發展數學核心素養.
3．教學重點
理解正比例函數的概念，由正比例函數的圖象，并結合解析式，探究正比例函數的性質.
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單元目標
（1）結合具體情境體會正比例函數的意義，能根據已知條件確定正比例函數的表達式.
（2）能畫出正比例函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化情況，歸納得到正比例函數的圖象特征和性質.
（3）在畫出正比例函數的圖象，并探究其性質的過程中，體會“分類討論”“數形結合”以及“從特殊到一般”的數學思想.
（4）進一步感受函數知識內在的系統性，初步體會函數研究的一般思路與方法，為進一步學習其他函數積累經驗.
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目標解析
達成目標（1）的標志是：通過對實際問題和數學問題的分析，確定正比例函數的解析式，抽象概括得出正比例函數的概念，知道自變量和對應的函數值成正比例的特征.
達成目標（2）的標志是：會根據解析式使用“描點”法畫出正比例函數的圖象，分析圖象特征，歸納得到正比例函數的性質.
達成目標（3）的標志是：在畫正比例函數圖象、探究正比例函數性質時，體會“數”與“形”的相互轉化；通過具體的圖象并結合解析式，歸納得到正比例函數的性質.
目標（4）是指在正比例函數的初步探究過程中，讓學生體會對函數的研究實際上就是對函數的定義、圖象、性質及應用的研究.
三、學生學情分析
1．問題診斷
學生在小學學過正比例關系，實際上，實際問題中的正比例關系是正比例函數中比例系數為正的特殊情況，學習過程中要回顧類比正比例關系.學生雖已學過函數的基本概念，但理解未必深刻.在對實際問題和數學問題進行分析過程中，需加強對函數概念的理解；對于自變量每一個確定的值，有唯一確定的值與之對應.正比例函數的特殊性在于兩個變量的比值是定值，且為不等于零的實數，這是小學正比例關系的內涵的深化.在正比例函數的圖象與性質的教學中，應注重引導學生體會由“形”助“數”和以“數”析“形”，“數” “形”結合展開探究活動.
2．教學難點
本單元的教學難點是：抽象得到正比例函數概念，歸納得到正比例函數性質.
四、教學策略分析
根據本節課內容的特點及學生的實際情況，主要采用師生互動探究式教學。在教學過程中遵循“教為主導，學為主體”的教學思想。教學中采用自主探索與合作交流的學習方法，學生在教師的引導下積極參與教學過程，親身實踐知識的發生、發展、形成的認知過程。在數學學習、數學活動的過程中展開思維，在過程中體驗合作交流的快樂。
19.2.1正比例函數（第1課時）
（一）課時教學內容
正比例函數的概念
1.課時目標
（1)理解正比例函數的概念,能判斷兩個變量之間的關系是否為正比例函數關系，能夠根據已知條件，確定正比例函數的解析式．
（2)引導學生經歷觀察、比較、分析、分類、抽象、歸納的認識正比例函數概念的全過程，為進一步學習其他函數積累經驗.
（3)進一步感受函數知識內在的系統性，初步體會函數研究的一般思路與方法.
2.目標解析
達成目標（1）的標志是：通過對實際問題和數學問題的分析，抽象概括得出正比例函數的概念，知道自變量和對應的函數值成正比例的特征.能根據問題中的變量關系，確定正比例函數的解析式．
達成目標（2）的標志是：在正比例函數概念的探究過程中，能通過觀察、比較、分析、分類、抽象、歸納，對不同函數特征有整體上的初步認識，體會函數概念學習的一般方法.
目標（3）是指在正比例函數的初步探究過程中，讓學生體會對函數的研究實際上就是對函數的定義、圖象、性質及應用的研究.
（三）課時教學重點
理解正比例函數的概念，初步體會函數研究的一般思路與方法.
（四）課時教學難點
抽象得到正比例函數概念的過程．
（五）教學過程設計
1.復習回顧，類比預見函數學習路徑
函數是解決實際問題的模型，回顧其他數學模型的學習內容，預想函數的后繼學習內容.
師生活動：教師引導學生回顧函數的已學知識，借助回顧其他數學模型的學習內容，類比預見函數的學習路徑——從特殊的函數開始學習.
設計意圖：復習函數的已學知識，通過回顧其他數學模型的研究框架，幫助學生體會數學模型的一般研究方法與路徑，為后續學習特殊的函數正比例函數作鋪墊.重現方程與方程組、不等式的學習路徑，完善數學模型學習的一般路徑.
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創境列式，自主經歷函數模型建立
問題1 京滬高鐵自2011年至今已開通運營十周年，累計發送旅客13億人次，京滬高鐵全長1318km.設列車的平均速度為300km/h.考慮以下問題：
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在京滬高鐵列車行駛過程中，涉及到哪些量？哪些量是變量？
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哪兩個變量間是函數關系？試說明理由，并寫出它們之間的函數關系式.
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中國正在研發超級高鐵，超級高鐵列車駛完全程所需時間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h）之間有何數量關系？
師生活動：教師引導學生分析問題中的數量關系，寫出變量之間的函數解析式.
設計意圖：通過分析實際問題，建立函數模型，讓學生感受量與量之間的函數關系，體會在同一個問題背景下，當選擇的常量和變量不同時，列出的函數解析式也不相同，幫助學生逐步提高將實際問題抽象為函數模型的能力，初步體會函數建模思想，讓學生真切感受數學與實際的聯系，即數學來源于生活又服務于生活．
練習1.列式表示下列問題中變量之間的函數關系.
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圓的周長l隨半徑r的變化而變化．
（2）正方形的面積S隨邊長x的變化而變化．
（3）鐵的密度為7.9g/cm
3,鐵塊的質量m（單位：g）隨它的體積V（單位：cm
3）的變化而變化．
（4）冷凍一個0℃的物體，使它每分鐘下降2℃，物體的溫度T（單位：℃）隨冷凍時間t（單位：min）的變化而變化．
師生活動：教師出示問題，學生獨立完成，學生代表分析并展示結果.
設計意圖：給出不同的實際情景，讓學生進一步感知在豐富的背景下蘊涵的函數關系，體會并運用函數建模思想，提高將實際問題抽象為函數模型的能力，為下一步探究正比例函數的概念做準備．培養學生用數學的眼光觀察世界.
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互助探究，歸類分析函數典型特征
問題2 觀察上面列出的函數解析式，它們有什么相同點和不同點，小組討論：
你能試著給它們分類嗎？你的分類依據是什么？并試著給每一類函數起一個名字.
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，然后小組合作討論，小組代表上臺展示不同的分類方法.根據學生不同的分類方法，幫助其鞏固整式、分式、單項式、多項式的概念，形成正確的分類方法.
設計意圖：在觀察、比較中，學生自主探究不同函數解析式的聯系與區別并分類,培養學生觀察、比較、分析、歸納的能力，明確特殊函數的分類是以解析式的特征為分類標準的，形成函數概念的整體思想，發展學生的抽象概括能力.
追問：
一次函數中的這六個解析式又有什么不同呢？
師生活動：教師引導學生再次觀察、比較、分類，得出
是特殊的一次函數，理解正比例函數與一次函數之間的關系.
設計意圖：在觀察、分析中，學生自主探究正比例函數與一次函數之間的關系,培養學生觀察、比較、分析的能力，培養數學語言，形成學生對一次函數的整體認識，同時感受正比例函數相對一次函數的特殊性，感悟從一般到特殊的數學思想.
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對比聯系，抽象歸納函數標準定義
問題3 這一類函數解析式有什么共同特征？
師生活動：學生觀察、分析、表達，教師適時引導.
設計意圖：通過對實際問題抽象出的函數模型觀察、比較、分類，找出它們具有的共同特征即形式上都是函數=常量×自變量，為歸納抽象正比例函數的概念作準備．
追問1：你能否歸納出這種函數的一般形式？小學知識告訴我們這兩個變量是具有什么關系的量？k可以取哪些值？
師生活動：教師引導學生歸納出這些函數的一般形式，即都可以寫成y=kx的形式．試著喚醒小學學習的正比例的知識，得出函數值與對應自變量的比值一定．引導學生對一般式中的常數k的取值進行探究.
設計意圖：根據共同特征歸納抽象出正比例函數的一般形式，培養學生從具體問題中抽象出共同具有的本質屬性的能力，知道一般形式中各字母的意義，為給正比例函數下定義埋下伏筆．
追問2：你能試著給正比例函數下定義嗎？
一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
師生活動：師生共同歸納出正比例函數的概念．
設計意圖：引導學生根據函數解析式的形式和變量間具有的正比例關系，得出正比例函數的定義，培養學生分析、歸納的能力.
-
分層練習，鞏固加深函數知識理解
練習2.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函數？如果是，比例系數是多少？
；
第（4）題追問：y與x-1之間是什么關系？y是x-1的正比例函數嗎？
設計意圖：通過辨析讓學生鞏固對正比例函數概念的理解，再次了解初中階段將要學習的三種特殊函數，內化學生函數學習的系統觀，從而發展學生的整體思維.
練習3.下列問題中，變量之間的關系不是正比例函數的是( ).
A.每本書的厚度為0.5cm,一摞書的總厚度h與數量n的關系.
B.圓的面積s與半徑r的關系.
C.某人一年(12個月)的總收入W與平均收入q的關系.
D.買某種作業本所需的錢數y（元）與數量x（本）的關系.
設計意圖：通過練習讓學生鞏固對正比例函數概念的認識和將實際問題抽象為函數模型的能力．
練習4.（1）你能試著舉出生活中正比例函數的例子嗎？
（2）根據上述解析式y=2x填表.
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x |
… |
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1 |
2 |
3 |
… |
|
y |
… |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
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|
… |
追問1：觀察解析式和表格，你能發現y隨x變化而變化的過程中有怎樣的規律嗎？
（3）請同學們試著用描點法畫出y=2x的圖象.
追問2：觀察圖象，你又有什么發現？其它的正比例函數的圖象和性質又是怎樣的呢？下節課我們將進一步利用正比例函數的圖象研究它的性質.
師生活動：教師引導學生先從解析式和表格觀察函數y=2x的變化規律，再用描點法畫出函數圖象，觀察圖象初步感受函數y=2x的性質，并由函數y=2x的圖象性質的探究過程，得到其他函數研究的一般方法和路徑.
設計意圖：通過讓學生動手畫函數圖象，觀察圖象，感知函數的性質,體會數形結合的思想，為下一節更深入、全面的學習函數的圖象、性質做好鋪墊.初步展示函數研究的一般方法和路徑，內化學生函數學習的系統觀，培養學生函數研究的整體觀.
-
梳理總結，反思感悟函數研究方法
教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
-
這節課主要學習的是哪一類函數？我們是怎樣想到先研究正比例函數的？
-
我們先研究正比例函數的哪些知識？我們是怎樣得到正比例函數的概念的？
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我們還將研究正比例函數的哪些知識？怎樣研究？
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按照由特殊到一般的思想，今后我們將繼續學習哪類函數呢？按照怎樣的路徑學習呢？
設計意圖：通過歸納，加深學生對所學內容的理解，培養學生獨立分析、歸納概括的能力,充分發揮學生的主體作用.通過反思梳理，形成函數學法，利用這種研究方法，今后我們還可以研究其它類型的函數.
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拓展探究，延伸理解函數圖象價值
請用描點法畫出下列函數的圖象，你有什么發現？
8.分層作業，分類促進函數新知內化
（1）必做題：課本98頁 第1,3題.
（2）選做題：在日常生活中，尋找正比例函數的實例，試著提出問題，畫出函數圖象（小組合作探究）.
設計意圖：以作業的鞏固性和發展性為出發點，分層布置作業，設計了基礎題和開放性的題目，基礎題是對本節課內容的一個反饋，開放性的題目是讓不同的學生在數學上得到不同的發展.
板書設計
19.2.1正比例函數
（六）課堂目標檢測設計
1.下列函數中，是正比例函數的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A.①⑤ B.①② C.③⑤ D.②④
2.列式表示下列問題中的y與x的函數關系，并指出哪些是正比例函數.
（1）正方形的邊長為xcm，周長為ycm；
（2）一個長方體的長為2cm，寬為1.5cm，高為xcm，體積為ycm
3 ；
（3）某超市中雞蛋價格是每千克9元，雞蛋的銷售收入y（單位:元）隨著銷售量x（單位：kg）的變化而變化.
設計意圖：通過練習讓學生鞏固對正比例函數概念的認識和將實際問題抽象為函數模型的能力．
平中見奇 整體發力
——對“正比例函數”一課的點評
當下，單元整體教學研究如火如荼，已形成“核心素養-課程目標-單元設計-課時計劃”的教學設計鏈條。課時教學成為教學的起點和根基，如何在課時教學中落實單元教學整體目標顯得尤為重要。吳娜老師執教的“正比例函數”一課，讓學生經歷獲得研究對象，明確學習主線，積累研究方法，構建知識體系這一完整的知識探究過程。
一、
明暗交錯，整體建構知識體系
正比例函數是特殊的一次函數，是學生初中階段學習的第一類具體函數，它是函數研究的特例，具有函數的通性。學習正比例函數不僅可以加深學生對函數概念的理解，而且能夠為其他具體函數的研究提供思路和方法。本節課從三個方面讓學生整體感知函數學習基本套路：一是讓學生感知函數模型的研究范圍（一次-二次-反比例）；二是整體體驗函數研究方法（實際建模-分析歸納-辨析運用）；三是總結函數知識的研究路徑（定義-圖象-性質）， 實現了“用數學的方式發揮數學的內在力量”教學價值。
二、類比分析，整體設計數學活動
章建躍博士指出：要把如何發現數學對象、如何提出數學問題作為教學的關鍵任務，以實現從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。本節課緊扣“兩個如何”巧妙設計學習活動，平中見奇，一氣呵成。
一是源于教材，巧妙窺見函數形式全貌。這節課的問題情境來源于教材的京滬高鐵問題，吳老師讓學生自己發現情景中的常量與變量，以及哪些變量之間存在函數關系，開放性的問題激發學生思維的積極性，增加問題“正方形的面積S隨邊長x的變化而變化”，不知不覺中學生列出了多樣的函數類型。
二是充分對比，實現一般到特殊的轉變。為什么從研究正比例函數開始研究特殊的函數？應該是這節課的追問。吳老師用了足夠的時間開展小組討論交流、展示爭鋒，引導學生明確函數與其他數學模型有相同的研究路徑，即從特殊到一般的函數研究路徑。
三是善于聯系，凸顯核心概念共性本質。正比例函數概念教學是本節課的重點，教學中學生經歷了“情景與問題-共性分析與歸納-本質特征的抽象下定義-關鍵詞辨析-簡單運用聯系與綜合”的過程，讓學生在觀察、分析、歸納、概括中經歷概念的抽象過程，注重學生對知識自然生成的理解。另一方面學生在小學學習了正比例關系，如何喚醒記憶、如何自然轉換？教學中通過學生觀察思考每個解析式的運算關系，利用乘除互逆運算，每個解析式中“函數值”與對應“自變量”的比值等于什么？ 使得兩者快速建立聯系，并形成新的問題：兩者的區別是什么？伴隨著問題解決，教學重點得以突破。
三、瞻前顧后，整體梳理完善結構。數學知識之間都存在內在聯系，數學知識、數學思想、數學方法都具有高度系統化的特點。本節課利用學生課堂生成資源，深化概念理解，引出函數圖象、性質的探究活動，展示函數研究的一般路徑，為下一節課做好了鋪墊。在小結環節，通過問題串，引導學生回顧學習研究全過程，指向明確，培養了學生自主建構結構體系的能力，積累了研究問題的方法，促進了學生關鍵能力的發展。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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