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視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數的關系》內蒙古—張
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第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數的關系》內蒙古—張曉鵬
學科：中學數學 姓名：張曉鵬 盟市學校：興安盟烏蘭浩特市第十二中學
授課年級：九年級 講課題目：一元二次方程的根與系數的關系
| 章節名稱 | 21.2.4一元二次方程的根與系數的關系 | 學時 | 1課時 | ||||||||||||||||||||||||
| 課標要求 | 了解一元二次方程的根與系數的關系 | ||||||||||||||||||||||||||
| 內容與學情分析 | 內容分析 | 《一元二次方程根與系數的關系》是人教版初中數學九年級上冊第二十一章 21.2 節的內容，該內容是在在學生學習了一元二次方程的解法和根的判別式之后引入的。它深化了兩根與系數之間的關系，是今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，是方程理論的重要組成部分。利用這一關系可以解決許多問題，同時在高中數學的學習中有著更加廣泛的應用。因此本節課起著承上啟下的作用。 | |||||||||||||||||||||||||
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學情分析 |
九年級階段的學生，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在前面學習了一元二次方程的解法后，對根與系數的關系進行探究就比較容易。 | ||||||||||||||||||||||||||
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學習目標 （重難點在相應條目后標注） |
1.探索發現一元二次方程根與系數的關系（難點） 2.利用一元二次方程根與系數的關系進行簡單應用（重點） |
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| 學生課前需要做的準備工作 | 復習一元二次方程的一般形式和解法 | ||||||||||||||||||||||||||
| 學習策略 | 學生自主學習 合作探究 | ||||||||||||||||||||||||||
| 學習環節 |
學習任務設計與 教師活動 |
學生活動設計 |
設計意圖 落實目標 |
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(一)創設情景 導入新課 |
問題：已知矩形的長和寬分別是一元二次方程 的兩個實數根，求這個矩形的周長和面積。 用學過的方法解這個方程求出兩個根會很麻煩，是否還有別的方法---不解方程也能迅速求出矩形的周長和面積？ 引出今天要探究的內容： 一元二次方程根與系數的關系。 |
學生能表示矩形周長= （x1+x2）×2，面積=x1x2，，并用以前的方法解方程，從而得出操場的周長和面積。但難點在于方程的系數很大，計算很麻煩。 |
通過創設問題情景，讓學生在思路清晰的情況下，面對計算出現困難的情形下，吸引學生的注意力和激發學生對于本節課內容的探索欲望。 | ||||||||||||||||||||||||
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探究活動一 探究形如：x2+px+q= 0的根與系數的關系 |
觀察猜想二次項系數為 1 時根與系數的關系： 活動一：
觀察這些方程的兩根的和、兩根的積與系數有什么關系？你發現了什么規律？ 讓學生分 4 人為一小組進行合作探究，驗證這個猜想。（教師著重引導） 和學生一起歸納結論：二次項系數為 1 的一元二次方程根與系數的關系： 兩根之和為一次項系數的相反數，兩根之積為常數項. |
學生通過解方程，觀察它們兩根的和、積與前面系數的關系，可以發現這三個方程的二次項系數均為 1，此時它們兩根的和等于一次項系數的相反數，兩根的積等于常數項。并能猜想：方程x2+px+q=0 的兩根為 x1, x2。則 x1+ x2= -p， x1 x2= q 通過合作，得到驗證思路： 從因式分解可知，方程(x-x1) (x- x2)=0 (x1,x2 為已知數)的兩根為x1，x2 方程展開化成一般式可得方程 x 2 -（x1+ x2）x + x1 x2= 0 ，將方程化為 x 2 + px + q = 0 的形式，就能看出 x1，x2 與 p，q 之間的關系. |
通過引導讓學生在二次項系數是 1 的方程中發現一元二次方程根與系數的關系， 并證明這個結論，體會觀察→猜想→驗證→歸納 （活動 1 中學生可能想不出推導過程，需要教師巡堂引導，必要時黑板上板書用講授法推導） |
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探究活動二 探究形如：ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系 |
猜想驗證一元二次方程根與系數的關系： 思考：一般的一元二次方程 ax 2 +bx +c = 0 中，二次項系數 a 未必是 1，兩個根的和、積與系數又有怎樣的關系呢？（讓學生回憶一元二次方程求根公式）
觀察方程的兩根的和、兩根的積與系數有什么關系？你發現了什么規律？ 讓學生分 4 人為一小組進行合作探究，驗證這個猜想。（教師著重引導） 思考，并繼續以剛才的 4 人為一小組合作寫出推導過程：若一元二次方程ax2 +bx+c = 0（a≠0）的兩個根為 x1, x2 ， 則 x1+ x2= . x1x2= . 學生合作探究過程中教師巡堂指導，探究完畢各組派代表上臺匯報，老師表揚并點評。 師生共同歸納得到韋達定理： 關于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) 的兩個根 x1，x2 和系數 a，b，c 有如下關系：  |
學生有了剛才活動已掌握的知識，重新探究可得到 方法1（公式法推導）：若 ax2+bx+c=0 (a≠0)兩個根為 x1, x2     方法2（轉化思想）： 若 ax2+bx+c=0 (a≠0)兩個根為 x1, x2 二次項系數化為 1：   |
通過討論 、合作探究讓學生經歷從特殊到一般的探究過程，明確一元二次方程根與系數的關系。對學生用方法 1 這種蘊含化未知為已知數學思想的證明給予充分肯定。 |
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| （三）鞏固新知理解應用： |
問題情景再現： 已知矩形的長和寬分別是一元二次方程 的兩個實數根，求這個矩形的周長和面積。 |
學生能利用根與系數的關系。用 x1、x2 表示矩形周長=（x1+x2 ）×2=1234×2=2468，面積=x1x2=5678， |
及時回歸引入情景，解法簡便，用所學新知解決問題可增添學生的自豪感。 | ||||||||||||||||||||||||
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1.基礎練習：根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程兩根 x1、 x2 的和與積 （1）x2-6x–15=0 （2）5x–1=4x2 在學生練習完后總結注意：
 時,“－”不要漏 |
學生利用根與系數的關系求出方程兩根的和與積 | 讓學生通過練習進一步鞏固對一元二次方程的根與系數關系認識，及時總結易錯點讓學生減少錯誤幾率。 | |||||||||||||||||||||||||
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2.例題分析：已知方程x2-(k+1)x+4=0的一個根是2 ,求它的另一個根及k的值. （啟發學生用不同方法求出 k 和另一個根） 總結：已知方程的一個根，求另一個根及未知的系數或常數項時，可利用根與系數的關系求解。 |
選擇一名同學在黑板上進行展示，其他同學練習本上進行計算。 | 讓學生通過練習進一步鞏固對一元二次方程的根與系數關系認識。 | |||||||||||||||||||||||||
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3.變式練習：設 x1，x2 是方程 2x 2 + 4x-3= 0 (a≠0)的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值 （1）  （2）  引導學生去變式，把未知的形式轉變成兩根的和與積的形式。 總結：求關于兩根的代數式的值，可先將原式子轉化為含兩根之和、兩根之積的代數式，再利用根與系數的關系求解. |
學生進行變式練習 |
此種類型為一元二次方程根與系數的常見題 型，可發散學生思維， 引導學生學會把未知轉化成已知的根與系數的關系問題。 （幾道題有難度，需要教師指導和講解） |
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| （四）課堂小結 |
1.知識層面的獲得：若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的兩個根 x1，x2 和系數 a，b，c 有如下關系： 2.數學思想的滲透： （1）一元二次方程根與系數的探究過程：由特殊到一般的數學思想 （2）二次項系數不為1的一元二次方程轉化為二次項系數為1一元二次方程的轉化思想 |
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板書 設計 |
21.2.4 一元二次方程的根與系數的關系 （一）如果一元二次方程  的兩個實數根是 則有  （二）如果一元二次方程  的兩個實數根是則有  |
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