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視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《15.1.1從分數到分式》吉林_黃宇
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第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《15.1.1從分數到分式》吉林_黃宇
中國教育學會中學數學教學專業委員會
第十二屆初中青年數學教師課例展示與研討活動
《15.1.1從分數到分式》教學設計
1.內容
分式的概念及分式有意義的條件.
2.內容解析
分式是繼整式之后對代數式的進一步研究，與分數、整式是緊密相聯的，既是前面知識的延伸，也為進一步學習分式、反比例函數、分式方程等知識作好鋪墊.從數學內部發展的需要看，當兩個整式相除不能整除時，則用分式表示；從實際應用看，分式也是表示具體問題情境中的數量關系的一種重要工具，是解決實際問題的常見模型之一.
本節課的主要內容是分式的概念和分式有意義的條件，是以分數為基礎，類比引出分式的概念，類比分數有意義的條件，得到分式有意義的條件.學好本節課有助于培養學生的觀察、類比、歸納、概括能力，并讓學生體會從特殊到一般、從具體到抽象的認知規律；讓學生在探索的學習過程中享受成功的喜悅，形成良好的學習氛圍，提高學生學習數學的興趣.
基于以上分析，確定本節課的教學重點：分式的概念及分式有意義的條件.
1.目標
-
理解分式的概念及分式有意義的條件；
-
類比分數探究概括分式的概念及分式有意義的條件.
2.目標解析
達成目標（1）的標志是：學生能判斷一個代數式是否是分式，能確定使分式有意義的字母的取值范圍.
達成目標（2）的標志是：學生能通過觀察代數式的結構特征類比分數抽象出分式的概念，能用分式表示實際問題中的數量關系，得出分式比分數更具有一般性，類比分數有意義的條件，得到分式有意義的條件，感受從特殊到一般、從具體到抽象的認識過程.
學生在小學學過分數，其實分式是分數的“代數化”，所以其性質與運算是完全類似的.在前面的學習中學生已經學會用字母表示實際問題中的數量關系，對于八年級學生來說，用分式來表示實際問題中的數量關系并不困難，但是他們抽象概括能力不足，所以通過觀察代數式的結構特征，類比、抽象、歸納、概括出式子的共同本質屬性是有一定難度的.
基于以上分析，確定本節課的教學難點是：對分式概念的理解.
根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點，采用啟發式、探究式的教學方法，意在幫助學生通過類比、抽象、歸納、概括等途徑來深化對概念的理解.
關鍵是要引導學生通過與分數進行類比，從式子的形式上尋找它們的共同點；再從分子、分母單獨看，分式的分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母，通過這個過程經歷從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程，實現從分數到分式的過渡，從而歸納出分式的概念，體會研究代數問題的一般思路.
1.引入新課
問題1：我們知道兩個整數相加、相減、相乘的結果是整數，那么兩個整數相除的結果是什么？還是整數嗎？例如，
，這個結果就不是整數，而是分數.
師生活動：教師開門見山直接提出問題，引領學生進入數學思考.學生很容易得出兩個整數相除的結果不一定整數這個結論，教師用一個簡單具體的例子清晰的呈現答案.
教師追問1：我們知道兩個整式相加、相減、相乘的結果仍是整式，那么兩個整式相除的結果仍然是整式嗎？例如：
，這個算式的結果是整式嗎？
師生活動：教師將前一個式子中的整數5換成字母
，引導學生繼續思考兩個整式相除的結果是否還是整式.學生根據教師舉的例子容易得出答案.
教師追問2：反過來，
，這個結果還是整式嗎？
師生活動：將前一個式子稍作變形得出兩個整式相除的結果不是整式的情況，引發學生的思考，這樣的式子應如何歸屬？
教師追問3：你了解這個式子嗎？這樣的式子如何進行運算？如何用這樣的式子解決實際問題？本章我們就要研究像這樣的式子——分式.
師生活動：教師提出問題，引發學生思考，幫助學生構建整章的知識體系，進而引入新課.
設計意圖：通過創設數學內部問題情境激活學生的數學學習經驗，從整數的除法運算可能得出分數類比得到整式的除法運算可能得到分式，滲透數式通性的同時，實現從特殊到一般、從具體到抽象的轉化，引導學生自發使用“類比”的方法去感知、發現新問題.
2.探究概念
問題2：現實世界的實際問題中能否抽象出像
這樣的式子，我們來看下面的幾個問題：
-
長方形的面積為10 cm2，長為7 cm，寬應為 cm；長方形的面積為
，長為
，寬應為 .
（2）把體積為200 cm
3的水倒入底面積為33 cm
2的圓柱形容器中，水面高度為 cm;把體積為
的水倒入底面積為
的圓柱形容器中，水面高度為 .
（3）船在靜水中的航速為 30 km/h,水的流速為
km/h
①若船順流航行 90 km，所用時間為 h；
②若船逆流航行 60 km，所用時間為 h.
師生活動：教師提出問題，引導學生回答.（1）
（2）
（3）
設計意圖：繼前面借助運算類比分數引入分式后，這里教師再次創設現實世界中的問題情境，引導學生經歷從實際問題到分式的抽象建模過程，使學生感受分式是不同于整式的另一類有理式，它更適合作為某些類型實際問題的數學模型，具有整式不可替代的特殊作用.同時，提高學生把實際問題轉化為數學問題的能力，加強對分式是解決現實問題的數學模型的認識，體現數學建模思想，進一步培養學生應用數學知識解決實際問題的興趣和意識，培養學生的創新精神.
教師追問1：上面問題中得到的式子
哪些是我們學過的整式？哪些不是我們學過的整式？
師生活動：教師提出問題，學生根據教師提問進行分類，在分類過程中初步感知分式與整式的區別.
教師追問2：這些式子
有什么共同點？它們與分數有什么相同點和不同點？
師生活動：教師提出問題，引導學生先獨立思考，再與小組同學合作交流，互相補充.學生交流后得到以下結論：①從形式上：這些式子的形式和分數一樣，它們都表示除法運算的結果；②再從分子和分母單獨看，分數表示兩個整數的商，而這些式子表示兩個整式的商.③這些式子的分母中都含有字母.教師引導學生歸納這些式子的共同特點，進而得出它們的本質屬性，指出像這樣的式子就是分式.
教師追問3：如果用
表示這些式子的分子，用
表示這些式子的分母，你能嘗試用簡潔的數學語言概括一下什么是分式嗎？
師生活動：學生經歷類比、抽象、歸納和概括分式概念的過程，在歸納概括的過程中逐步完善分式概念：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式.在分式
中，A叫做分子，B叫做分母.
設計意圖：此環節教師為學生提供了充足的思考、探索和交流時間，讓學生參與概念生成的全過程，引導學生分析、抽象、歸納、概括其共同本質屬性，進而得出分式概念.注重讓學生經歷概念的生成和概括過程，使學生的數學思考從表面到本質、從具體到抽象、從孤立到系統，在發展學生數學思維的同時，潛移默化地培養學生的數學學科素養.
3.辨析概念
練習1：判斷下列式子是否是分式？請說明理由.
師生活動：教師提出問題，學生回答.教師引領學生在辨析過程中重點分析（1）、（3）、（5）為什么是分式，夯實分式的概念.教師適時追問（2）、（4）是什么式子？
設計意圖：在辨析過程中，引導學生在理解概念的基礎上正確表述概念，并能用概念進行辨析和比較，進而掌握概念.
4.深化概念
問題3：請同學們觀察分式
，回答問題：當
=2,5,-7，100等數值時，這是式子分別表示哪些分數？能取多少個這樣的
的值？
教師追問：
可以取任意實數嗎？
師生活動：教師提出問題，學生思考，師生共同得出結論：在分式中，當
取不同的數值時，可以得到不同的分數，使學生理解分式比分數更具有一般性；通過追問，先讓學生思考，教師適時點撥，最后達成共識：類比分數有意義的條件，得出使分式有意義的條件也是分母不為0，即當
時，分式
才有意義.
設計意圖：運用賦予字母特殊值的辦法，巧妙地讓學生感受到從分數到分式是數學邏輯內在使然，分式比分數更具有一般性.滲透數式通性通法，類比使分數有意義的條件得出使分式有意義的條件，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認識過程.
5.應用概念
例1 下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？
師生活動：學生獨立思考，教師引領學生做答：
（1）要使分式
有意義，分母
,即
.
（2）要使分式
有意義，分母
,即
.
（3）、（4）小題請兩位學生上黑板解答，其余學生在練習本上解答，教師巡視指導.
師生共同完成（1）、（2）小題，并總結要使分式有意義，解題時要從分母不等于0入手，解一個帶有“
”號的不等式.學生完成（3）、（4）小題后，師生共同檢查黑板同學答案.引導學生觀察，當分母中含有一個字母時，結果是這個字母不等于某個數值的形式；當分母中含有多個字母時，結果是這些字母之間不能有某種關系的形式.
設計意圖：通過類比分數有意義的條件得出分式有意義的條件，旨在讓學生進一步感受類比是推動數學進步的重要思想方法，類比分數研究分式，是十分自然的知識擴充.通過例題的解答，引導學生了解今后我們研究的都是有意義的分式.這里將分式有意義的問題轉化為解不等式的問題，還滲透了轉化的數學思想.
練習2 填空：
（1）當 時，分式
有意義；
（2）當 時，分式
有意義；
（3）當 時，分式
有意義.
師生活動：學生自主完成，教師引導學生關注分式有意義的條件是保證分式的分母不為0.
設計意圖：鞏固分式有意義的條件，理解要使分式有意義，必須要關注分式的分母.通過練習深化學生對分式概念的理解，知道數學中研究的都是有意義的分式.
練習3 請你寫出一個分式，并指出分母中的字母滿足什么條件時分式有意義.
師生活動：學生獨立寫出分式，教師巡視并指導，小組同學互相交流判斷其他同學寫的式子是否分式，并判斷式子中的字母滿足什么條件時分式有意義.教師可以適當的補充學生沒有寫出來的分式類型，例如：
，并追問：字母
滿足什么條件時此分式有意義.
設計意圖：設計這個開放性問題，旨在發散學生思維，繼續加深學生對分式本質屬性的理解，進一步掌握并應用分式概念.這樣開放的設計，有利于培養學生的創造力和創新精神，激發學生學習數學的興趣，教師的提升和引領將學生的思維進一步拓寬延伸，關注全體學生的全面發展，真正把學生的終身發展作為教育目標.
6.課堂小結
這節課類比分數學習了分式，從特殊到一般，從具體到抽象，為什么我們能夠類比分數學習分式呢？這是因為分式和分數不僅在形式上相似，在基本性質和運算法則上也是相通的，今后我們還要類比分數探索和學習分式的基本性質、運算、應用等內容.
設計意圖：課堂小結旨在幫助學生構建知識框架，對全章知識的研究脈絡有整體的認識，進一步體會數式通性、類比、從特殊到一般、從具體到抽象、轉化等數學思想方法，對分式后續的學習起到引領作用，讓學生在掌握數學知識和技能的同時，感悟數學本質，感悟數學思想，形成數學核心素養，實現數學課堂的育人價值.
7.布置作業
⑴必做：教材第133頁習題15.1第1、2、3題；
⑵選做：類比分數的基本性質探索分式的基本性質.
設計意圖：分層作業旨在讓不同的學生在數學上得到不同的發展，選做部分意在啟發引導學生將課上內容延續到課后，激發學生學習數學的興趣，培養學生探索精神.
六、目標檢測設計
1.下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
2.列式表示下列各量：
（1）某村有
個人，耕地40 hm
2 則人均耕地面積為 hm
2.
（2）
的面積為
，
邊長為
，則高
為 .
（3）一輛汽車
h行駛了
km，則它的平均速度為 km/h;一列火車行駛
km 比這輛汽車少用1h，則它的平均速度為_____ km/h.
3.下列分式的分母滿足什么條件時，分式有意義？
設計意圖：考查學生對分式的概念及分式有意義條件的掌握情況，了解和反饋學生的課堂學習情況，作為后續教學的參考和依據.
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