視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《代數(shù)推理》江西_周凌鶴
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第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《代數(shù)推理》江西_周凌鶴
觀察、思考、表達
——感悟代數(shù)推理
授課教師：周凌鶴 江西省鷹潭市余江區(qū)實驗初中
2021年10月
一、內(nèi)容與內(nèi)容解析
《數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指明“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中. 推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.”推理能力是數(shù)學(xué)思考能力中的一種，在《數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》的數(shù)學(xué)思考目標表述中,明確要求：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法. 合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論. 兩種推理功能不同，相輔相成.”因此培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標.
數(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之一，代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且代數(shù)在日常生活中也具有非常重要的作用，現(xiàn)代社會生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律需要運用代數(shù)知識去解讀、去探索. 鑒于推理能力和代數(shù)知識的重要性，代數(shù)推理能力作為學(xué)生推理能力在代數(shù)知識背景下的具體體現(xiàn)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)具有非常重要的作用.
本節(jié)課學(xué)生通過揭秘讀心術(shù)游戲、驗證已知的結(jié)論，探究
的平方規(guī)律，揭秘印度乘法，進一步理解運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，提升符號意識，增強代數(shù)推理能力，體會符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式. 同時理解代數(shù)推理是一個過程，在這個過程中學(xué)生先通過觀察、歸納、提出猜想，然后用字母表示上述數(shù)量關(guān)系，再按照運算規(guī)則進行運算，最后提供有說服力的解釋驗證猜想的正確性. 即一般化、表征、計算、驗證的過程. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為后續(xù)初、高中的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時為學(xué)生提供了一種理解與探究現(xiàn)實世界的方法.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：提升符號意識，理解并掌握代數(shù)推理的過程.
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）進一步理解用字母表示數(shù)，會用符號進行運算和推理.
（2）理解將代數(shù)式轉(zhuǎn)化成特定的目標結(jié)構(gòu).
（3）掌握代數(shù)推理的過程.
（4）初步學(xué)會應(yīng)用代數(shù)推理解決實際生活中的數(shù)學(xué)問題.
2. 目標解析
目標（1）解析：通過觀察讀心術(shù)游戲，獲得猜想并嘗試驗證. 對比舉例驗證和用符號化表達、符號化運算來驗證的這兩種方法，幫助理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式，知道代數(shù)式可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性. 培養(yǎng)善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的良好習(xí)慣，進一步提升符號意識，養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號論證問題的習(xí)慣.
目標（2）解析：經(jīng)歷對研究對象的符號化表達、符號化運算，在生生互動、師生互動中理解代數(shù)推理側(cè)重形式化、結(jié)構(gòu)化的恒等轉(zhuǎn)化，理解并掌握將代數(shù)式轉(zhuǎn)化成特定的目標結(jié)構(gòu)來解決問題，在此過程中也感受充分必要條件的意義. 逐步形成和發(fā)展推理能力、模型意識，培養(yǎng)科學(xué)精神.
目標（3）解析：引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問題的思考過程，反思解決問題的方法和結(jié)論，總結(jié)出運用代數(shù)推理研究問題的過程. 幫助形成嚴謹求實的科學(xué)態(tài)度、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成評價與反思意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
目標（4）解析：經(jīng)歷觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想，再符號化表達及運算，并進行形式化推理的過程，揭秘印度乘法的算法和算理. 感受代數(shù)推理提供了一種理解與探究現(xiàn)實世界的方法，感受代數(shù)推理在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.
八年級的學(xué)生好奇心和求知欲較強，有一定觀察、歸納和表達能力，具備一定的活動經(jīng)驗. 在知識技能方面，他們已經(jīng)掌握了有理數(shù)加、減、乘、除、乘方及整式運算，會用字母表
示數(shù)以及代數(shù)式的運算，初步理解字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結(jié)論具有一般性. 為本課觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想、符號化表達和驗證提供了前提條件.
八年級學(xué)生在代數(shù)推理能力的一般化方面，學(xué)生大多能發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，但用語言描述數(shù)量關(guān)系時不夠準確；在代數(shù)推理能力的表征方面，對較復(fù)雜、抽象的情境難以用準確的方式表示數(shù)量關(guān)系；在代數(shù)推理能力的運算方面，學(xué)生能熟練的按照運算規(guī)則進行計算，但思路不清晰、缺乏方向性，不知道將代數(shù)式合理的轉(zhuǎn)化進行驗證；在代數(shù)推理能力的論證方面，會出現(xiàn)毫無邏輯的解釋，往往用舉例子驗證猜想是否正確.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點：運用代數(shù)推理解決問題時，理解并掌握將代數(shù)式轉(zhuǎn)化成特定的目標結(jié)構(gòu).
四、教學(xué)策略分析
在教學(xué)活動中注重情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生的興趣，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，同時借助創(chuàng)設(shè)的情境滲透數(shù)學(xué)文化的人文價值與育人價值.
在教學(xué)設(shè)計中注重探究問題的設(shè)計. 情境創(chuàng)設(shè)中設(shè)計能引發(fā)學(xué)生認知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動機的問題. 在數(shù)學(xué)探究活動中結(jié)合具體的學(xué)習(xí)任務(wù)，在學(xué)生的認知起點和最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)計有思維含量、有層次、有梯度的問題鏈.
在教學(xué)實施中引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)、合作交流、總結(jié)反思等學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)和提出問題，經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、計算、驗證等方式，積極主動參與代數(shù)推理的全過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，促進學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展.
在本節(jié)課中，采取學(xué)生自評、生生互評、師生互評的方式，評價中既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也重視學(xué)習(xí)的過程；既關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認識自我、建立信心.
整節(jié)課的教學(xué)注重現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，利用多媒體教學(xué)，借助“希沃授課助手”實現(xiàn)師生之間、生生之間的成果共享，交流互助.
五、教學(xué)過程設(shè)計
環(huán)節(jié)1：激活認知，游戲?qū)?
1. 師生完成“讀心術(shù)”互動游戲.
游戲規(guī)則：
（1）任意寫一個兩位數(shù)；
（2）交換該數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字，又得到一個數(shù)；
（3）求原數(shù)與新數(shù)之和.
老師猜出學(xué)生心里想的數(shù)，十位和個位的數(shù)字和.
【設(shè)計意圖】游戲?qū)爰ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和愉悅的數(shù)學(xué)情感.
在游戲中同學(xué)們通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的良好習(xí)慣.
2. 為什么當(dāng)你們說出原數(shù)和新數(shù)的和時，我能快速猜出原數(shù)十位和個位的數(shù)字和呢？
追問：這個猜想對于任何一個兩位數(shù)都成立嗎？請你試著驗證一下.
師生活動：學(xué)生獨立完成后選2種做法投屏展示，并分別讓學(xué)生解釋方法：
（1）舉例驗證；（2）用字母表示數(shù)，并進行代數(shù)式運算.
【設(shè)計意圖】在課堂中充分給學(xué)生提供用語言描述數(shù)量關(guān)系的機會，加深學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，學(xué)生在交流時能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果. 同時也復(fù)習(xí)了如何用字母去表示一個兩位數(shù)，為后續(xù)探究活動里正確用字母表示數(shù)打下基礎(chǔ).
3. 哪種方法更好？為什么？
【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)通過對比兩種做法，使學(xué)生進一步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認. 讓學(xué)生明白引入符號的必要性以及優(yōu)越性，進一步感悟字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結(jié)論具有一般性. 養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號論證問題的習(xí)慣，進一步提升符號意識.
環(huán)節(jié)2：初步感悟，解釋結(jié)論.
1. 能被3整除的數(shù)有什么特征呢？
追問1：回憶一下小學(xué)時我們是如何得到這個結(jié)論的？
追問2：你覺得通過舉例就能驗證這個結(jié)論正確嗎？
追問3：那你有什么好方法？你想先從幾位數(shù)開始探究呢？
師生活動：在生生互動、師生互動中理清思路：用字母表示數(shù)并進行代數(shù)式運算，并從兩位數(shù)開始探究.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式，感受運用代數(shù)推理解決問題的必要性和優(yōu)越性，進一步提升符號意識，養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號論證問題的習(xí)慣.
2. 學(xué)生獨立完成
. 驗證：當(dāng)一個數(shù)各位上的數(shù)的和能被3整除，那這個數(shù)就能被3整除.
【設(shè)計意圖】活動中安排學(xué)生獨立思考，是因為學(xué)生思考要獨立，這是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)，同時也是對待問題時的良好習(xí)慣. 獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿數(shù)學(xué)教育的始終，它有助于形成學(xué)生勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神
.
3. 學(xué)生上臺分享做法.
（1）做法1：只驗證了當(dāng)這個數(shù)是兩位數(shù)的情況，便覺得該結(jié)論是正確的.
（2）做法2：分類討論，驗證了當(dāng)這個數(shù)分別是二、三、四、五位數(shù)時的情況，通過類比推理,得出任意位數(shù)均可用上訴方法驗證，從而解釋該結(jié)論是正確的.
【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言，鼓勵學(xué)生能清晰、有條理的表達自己的思考過程，做到言之有據(jù)，落筆有理，初步養(yǎng)成有邏輯地表達與交流的習(xí)慣. 通過對研究對象的符號表達、符號運算、形式推理等，形成結(jié)論，讓學(xué)生理解代數(shù)推理問題側(cè)重形式化、結(jié)構(gòu)化的恒等轉(zhuǎn)化，掌握將代數(shù)式轉(zhuǎn)化成特定的目標結(jié)構(gòu)來解決問題，發(fā)展學(xué)生推理能力、抽象與概括能力、模型意識.
4. 通過以上兩個探究過程，你還能得到哪些結(jié)論？并說說理由.
師生活動：學(xué)生分享：當(dāng)一個數(shù)能被3整除,那這個數(shù)各位上的數(shù)的和就能被3整除. 并說明理由.
【設(shè)計意圖】有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，促進學(xué)生的全面發(fā)展. 學(xué)生要敢于探索一些開放性的、非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題. 通過以上的探究過程，讓學(xué)生感知充分必要條件的意義，發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力.
環(huán)節(jié)3：再次感悟，形成方法.
1. 剛剛我們運用代數(shù)推理去驗證了已知結(jié)論，那如何運用它去研究一個新的數(shù)學(xué)問題呢？研究個位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律. 請你先獨立思考，再小組討論.
2. 小組派代表上臺分享找到的規(guī)律，并說明驗證的方法.
（1）個位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方，最后兩個數(shù)字都是25.
（2）個位數(shù)是5的兩位數(shù)平方等于十位數(shù)字乘比它大1的數(shù)的積的100 倍加上25.
【
設(shè)計意圖】這是一個由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程. 給學(xué)生充分的時間和空間去經(jīng)歷觀察、操作、歸納的過程，從而獲得猜想并進行驗證，讓學(xué)生感悟，通過依次計算能利于發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律，規(guī)范學(xué)生有條理做事的習(xí)慣. 處理好講授與自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、積極探索、合作交流，體會和運用代數(shù)推理解決問題的思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 在與他人合作交流、解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生能夠嚴謹、準確地表達自己的觀點，并能較好地理解他人的思考方法與結(jié)論. 養(yǎng)成勇于質(zhì)疑、獨立思考、合作交流的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及實事求是的科學(xué)態(tài)度.
在學(xué)生展示、交流過程中，綜合運用學(xué)生自我評價、學(xué)生相互評價、教師評價的方式. 同學(xué)之間的感受是最直接、最真實的，讓學(xué)生自評、互評，引導(dǎo)他們形成積極的自我概念，讓學(xué)生間學(xué)會質(zhì)疑，學(xué)會互相欣賞、學(xué)習(xí)和借鑒，促使學(xué)生反思學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，持續(xù)發(fā)展、提高學(xué)習(xí)效率
.
3. 回憶一下，剛剛運用代數(shù)推理去研究問題時經(jīng)歷了怎樣的過程？
【
設(shè)計意圖】教師注重對學(xué)生概括歸納、遷移運用等方面學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問題的思考過程，反思解決問題的方法和結(jié)論. 學(xué)生能夠清晰的表達自己的想法，總結(jié)出運用代數(shù)推理去研究問題時的過程是對一個實際問題，先通過觀察、歸納、提出猜想，然后用字母表示上述數(shù)量關(guān)系，再運算，在此過程中將代數(shù)式根據(jù)問題轉(zhuǎn)化成特定的目標結(jié)構(gòu)，來驗證該問題. 使學(xué)生積累經(jīng)驗、感悟思想，形成評價與反思意識.
環(huán)節(jié)4：鞏固深化，解決問題.
1. 師生PK游戲：計算11至19之間任意兩個自然數(shù)相乘的積.
師生活動：老師和學(xué)生代表進行PK，結(jié)果老師算的又快又好. 激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考，想弄明白為什么老師算的這么快？老師是怎么算的？
【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)游戲具有趣味性和挑戰(zhàn)性，使課堂教學(xué)在學(xué)生興趣盎然、積極思維的狀態(tài)中進行，激發(fā)學(xué)生主動參與解決問題的愿望. 靈活設(shè)計游戲環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生進行有序思考，開展推理討論，鍛煉推理表達，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力.
2. 小組合作討論：
（1）先獨立思考再合作討論；
（2）說明老師是如何進行計算的；
（3）解釋算法背后的理由.
【設(shè)計意圖】學(xué)生在與他人合作交流解決問題的過程中，能夠嚴謹、準確地表達自己的觀點，并能較好地理解他人的思考方法與結(jié)論. 在揭秘算法的過程中學(xué)生再次經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理驗證結(jié)論的完整推理過程. 發(fā)展應(yīng)用意識，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γe累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升極為有利.
3. 小組派代表上臺講解. 學(xué)生揭秘算法后，老師揭示這是印度計算乘法的算法以及它背后的算理.
【設(shè)計意圖】學(xué)生揭秘算法后將獲得成功感，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的勇氣. 經(jīng)過探究前幾個環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)感受到代數(shù)推理為我們提供了一種理解與探究現(xiàn)實世界的方法，學(xué)生先通過觀察、歸納、獲得猜想，再利用代數(shù)式建立模型，最后進行運算來驗證猜想，從而對“印度乘法”的算理加以解釋說明，這是對學(xué)生代數(shù)推理能力的一次很好的升華. 學(xué)生運用代數(shù)推理解決實際問題，感受代數(shù)推理在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.
環(huán)節(jié)5：暢談體會，總結(jié)收獲
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你們有哪些收獲呢？
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)每一個學(xué)生對自身學(xué)習(xí)行為的反思，啟發(fā)學(xué)生從知識、技能、方法、情感等方面自主小結(jié). 這樣充分尊重了個體差異，為每一個學(xué)生都創(chuàng)造了在活動中獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的機會，也鍛煉了學(xué)生的語言表達能力,關(guān)注不同層次的學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握. 期盼學(xué)生逐步養(yǎng)成整理知識、提煉思想方法的習(xí)慣，不斷提高運用數(shù)學(xué)語言的素養(yǎng)，日益增強數(shù)學(xué)總結(jié)、反思、質(zhì)疑、評價的意識.
1. 研究個位數(shù)是5的數(shù)的平方的規(guī)律.
2. 查閱印度速算方法的資料，選擇一種感興趣的方法進行驗證.
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界. 將課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)活動延伸到課堂外，讓學(xué)生查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動，以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的視域. 讓學(xué)生自主選擇感興趣的方法來進行驗證，滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展，“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. ”
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