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視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《14.2.2完全平方公式》寧夏
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《14.2.2完全平方公式》寧夏回族自治區__劉欣和
《14.2.2完全平方公式》教學設計
本節內容是初中數學(人教版)八年級上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》中的——14.2.2完全平方公式。
一、教學內容解析
完全平方公式是初中數學中的重要公式，在整個中學數學中有著廣泛的應用.一方面完全平方公式這一教學內容是學生在已經學習單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式基礎上的拓展，是對多項式乘多項式中出現的較為特殊的算式的一種歸納、總結；另一方面，又為學習因式分解和配方法等知識奠定了基礎，是進一步研究一元二次方程和二次函數的工具性內容。
教材按照學生的認知規律，從具體到抽象引導學生觀察、猜測、實驗、進而論證，最后建立數學模型，使學生對公式從感性認識、直觀認識到本質認識。在此基礎上，逐步培養學生的邏輯推理能力，體現“從一般到特殊”的研究代數類問題的一般思路、滲透“數形結合”、“建模”思想。由此，本節課不僅有著廣泛的實際應用，而且起到承前啟后的作用，它在本章中的地位舉足輕重。
基于以上對教學內容的分析，確定本節課的教學重點為：
完全平方公式的推導過程及應用。
1.了解完全平方公式的幾何背景，能正確用文字、符號語言描述完全平方公式，會應用公式進行簡單的計算。
2.經歷探索完全平方公式的過程，培養學生觀察、發現、猜想、歸納、概括、等探究創新能力，體會“由一般到特殊”的研究代數類問題的一般思路，發展有條理的表達能力，培養學生的“數形結合”能力。
3.通過“小組合作探究”等充滿著探索性和創造性的數學活動，在數學活動中獲得成功的體驗與喜悅，樹立學習自信心。
三、學生學情分析
1．認知基礎:學生已學習了整式的概念、整式的加減、冪的運算、整式的乘法，這些基礎知識為本節課的學習奠定了基礎。但是對于如何用幾何圖形的面積描述代數，存在一定困難。另外，在具體運用公式時，學生的感性認識往往表現比較突出，一部分學生總是會出現(a+b)
2=a
2+b
2,(a-b)
2=a
2-b
2的問題，究其原因，主要是對公式中a、b的理解不到位，對“和”“差”符號的區別也會有些障礙。
2.活動經驗基礎：在前面單項式和多項式乘法法則的學習中，學生已經經歷了探索與應用的過程，獲得了一些數學活動的經驗，培養了一定的符號感和推理能力，但解決“同一類”問題的“模型”意識稍顯薄弱，對公式的理解往往停留在語義記憶層次上。
3.心理特征：八年級的學生邏輯思維能力、觀察能力，記憶能力和想象能力存在一定的局限性，感性認識往往表現比較突出，很多學生還是處于模仿學習的思維階段，但同時，這一階段的學生好動，注意力易分散，愛發表見解，希望得到老師的表揚，所以在教學中應抓住這些特點，一方面運用直觀生動的圖形，引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，發揮學生學習的主動性，要創造條件和機會，讓學生發表見解，在辨別中提高認識。
基于以上對學生學情的分析，確定本節課的
教學難點為：
由(a+b)
2=a
2+2ab+b
2的推導過程合作探究(a-b)
2的過程。
四、教學策略分析
1.憶舊孕新，滲透方法
完全平方公式的實質是多項式乘多項式的一個特例，因此本節課從“單元教學”的整體觀視域出發，由學生熟悉的課本上的一個情境問題切入，通過改變部分條件，層層深入，結合“最近發展區理論”，由學生已有的多項式乘法的學習經驗自然過渡到需要探究的完全平方公式，以期達到更好的教學效果。
在教學中通過多項式乘法這一一般情況進而特殊到研究兩數和的自乘，采用“討論法”引導學生把握其內在規律，體現研究代數類問題的一般方法，并嘗試從不同角度描述完全平方公式。
-
“數”主“形”輔，主線突出
依靠“希沃白板”進行同屏，通過學生自主探究，運用圖形的面積對公式進行說明，期待通過“數”與“形”不同的“語言”的互譯，加深學生對公式的理解，這種“數”主“形”輔的設計思路也是與教材前一節課內容呈現一脈相承。
-
合作學習，類比探究。
在開展教學過程中，關于(a+b)
2的推導由教師引導學生進行探究學習，從多項式的乘法出發，通過觀察、類比、歸納、總結等過程，對公式進行推導及驗證；而(a-b)
2則完全交由學生，采用“合作學習法”，類比(a+b)
2的探究過程進行探究，教師合理引導。
4.鞏固訓練，思維提升
在“公式應用”環節設置有梯度的練習，既讓學生掌握必備的基礎知識，又為學有余力的學生提供更具有思維難度的問題：探究(a+b+c)
2,學生意識到這也是多項式乘多項式中的一類，并進一步體會“整體代換”思想，為下節課的學習奠定良好的基礎。
五、教學過程
1.復習回顧，情境引入
師：前面我們已經學習了多項式乘多項式，哪位同學能描述一下多項式與多項式相乘的法則？
師：剛才同學們分別用文字語言和符號語言描述了這個法則，現在有一個長方形，能不能嘗試用圖形的面積再來描述一下這個法則？
師：其實之前我們在學習多項式×多項式的時候，已經賦予過它一個實際的情境。把一塊原長am、寬pm的長方形綠地，加長了b m，加寬了qm.你能否求出擴大后的綠地面積？
師：對這個情境稍加改動。還是把一塊原長a m、寬p m的長方形綠地，加長了b m，同時加寬了b m.代數式發生了什么樣的改變？
師：再對這個情境再做一點變動，把這里的p也換成a，此時，代數式又發生了什么樣的變化？（a+b）（a+b）就等于（a+b）
2.
師：（a+b）
2=a
2+2ab+b
2這個公式就是今天我們要研究的完全平方公式。
設計意圖：通過對多項式與多項式相乘的法則的復習、情境的改動及其表達式的改變的探究，一方面鞏固舊知，另一方面引出今天的課題：完全平方公式。
2.觀察對比，探究公式
師：剛才這個過程中，代數式發生了什么樣的變化？
師：完全平方公式與多項式×多項式之間有什么關系？對，完全平方式就是特殊的多項式乘多項式。以后我們在計算形如（a+b）
2這類式子，可以用完全平方公式來簡化計算。
師：代數式既然發生了改變，那描述它的圖形也會發生一些改變，請同學們嘗試用幾何圖形的面積來描述一下完全平方式。
師：同學們，再來回顧剛才的研究過程，圖形又發生了什么樣的變化？隨著式子不斷特殊，描述它的圖形也越來越特殊。其實我們研究很多代數類問題都是按照從一般到特殊這樣的研究方法進行的。
師：同學們，能不能嘗試用文字語言描述完全平方公式？
設計意圖：引導學生觀察發現：完全平方式就是特殊的多項式乘多項式，并使用幾何圖形面積驗證（a+b）
2=a
2+2ab+b
2，進一步從圖形的角度驗證結論的正確性，由此總結研究代數類問題的一般思路方法——由一般到特殊。
3.類比推導，模型構建
師：請同學們模仿前面研究的過程，探究（a-b）
2
法1：（a-b）
2=（a-b）（a-b）=a
2-2ab+b
2
法2：
師：學習數學，我們總是用統一的方式表達一類事物，這里的（a-b）
2其實也可以表示成[a+(-b)]
2.-b還能不能用其他的式子來替代？這里的a和b可以代表任何一個單項式或多項式。
師：（a-b）
2=a
2-2ab+b
2，我們把它叫做完全平方（差）公式，這兩個公式都叫做完全平方公式。
設計意圖：類比研究（a+b）
2的過程探究（a-b）
2。引導學生多角度思考問題。再現本節課的探究過程，提升學生觀察、分析及抽象概括能力。
4.應用公式，解決問題
（1）下面各式的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？
-
(x+2)2=x2+4
-
(2x+y)2=2x2+2xy+y2
-
(x-y)2=x2-y2
（2）運用完全平方公式進行計算：
1）(4m+n)
2 2）(y-0.5)
2
（3）在學習了完全平方公式后，老師可以很快算出102
2和99
2是多少，同學們知道老師是怎么快速計算出的嗎？
設計意圖：習題（1）（2）的設計檢驗學生能否識別完全平方公式，并能正確的運用公式進行簡單的計算。習題（3）的設計幫助學生再次體會完全平方公式的作用，建立模型化的思想。
師：請同學們思考：（a+b+c）
2是多少？能不能用幾何圖形的面積解釋？
同樣它也可以用圖形語言進行驗證。感興趣的同學請課后嘗試說明，下節課我們一起分享。
設計意圖：和前面研究的方法一樣，學生發現它也是多項式×多項式的一類，感受到對“一類”問題的解決方法。并且體會“整體代換”的數學思想。
5.歸納總結，知識升華
談談你的收獲。
總結：本節課我們從圖形、文字、符號不同的角度對完全平方公式進行了推導及驗證，從多項式到完全平方式的學習過程體現了研究代數類問題的一般思路：由一般到特殊。除此以外，同學們還可以進一步體會到“數形結合”思想、以及整體代換思想等。
設計意圖：培養學生梳理知識的條理性，以及歸納概括能力。
6.作業布置
課本110頁第1、2題。
六、課堂教學目標檢測
1.下面的運算正確的是（ ）
A.(a+1)
2=a
2+1
B.(x+1)(x+2)=x
2+3x+2
C.(2a-b)
2=4a
2-2ab+b
2
D.(a-b)
2=a
2-b
2
2.下列各式：①m
2-2m+4；②y
2+y+
；③x
4-
x
2+
；④x
2+4x+4.其中完全平方式的個數為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知x
2+mx+25是完全平方式，則m的值為（ ）
A.10 B.±10 C.20 D.±20
4.用簡便方法計算：
(1)502
2= ； (2)99
2= .
5.如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線剪開分成四個小長方形，然后按如圖②的形狀拼成一個正方形.
(1)圖②的陰影部分的正方形的邊長是 .
(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積.
【方法1】S
陰影= ；
【方法2】S
陰影= .
(3)觀察圖②，寫出(a+b)
2，(a-b)
2，ab這三個代數式之間的等量關系.
(4)根據(3)題中的等量關系，解決問題：
若x+y=10，xy=16，求x-y的值.
“完全平方公式”課例點評：
本節課從“單元教學”的整體觀視域出發，以多項式乘多項式的法則為學習起點，由學生熟悉的課本上的一個情境問題切入，通過改變部分條件，層層深入，由學生已有的多項式乘法的學習經驗自然過渡到需要探究的完全平方公式，在教學中通過多項式乘法這一一般情況進而特殊到研究兩數和的自乘，采用“討論法”引導學生把握其內在規律，體現研究代數類問題的一般方法——由特殊到一般。并始終圍繞文字語言、符號語言、圖形語言三個方面展開公式的研究和學習，以達到良好的教學效果。
依靠合理的信息技術，通過學生自主探究，運用圖形的面積對公式進行說明，通過“數”與“形”不同的“語言”的互譯，加深學生對公式的理解，體現“數形結合”的數學思想，這種“數”主“形”輔的設計思路也與教材前一節課內容呈現一脈相承。
在學習過程中，通過引導學生類比完全平方和的公式的探究過程，從文字、圖形、符號不同角度探究完全平方差的公式，體現探究過程的再現與應用。在類比中讓學生體會它們的差異性，體會它們本質上的一致性。除此以外，學生進一步感受到應用“完全平方公式”可以解決一類問題的“模型化思想”。
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