視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程根與系數的關系》湖南—余游
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第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程根與系數的關系》湖南—余游
第十二屆初中青年數學教師課例展示與研討活動
教學設計
一、基本信息
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參賽學科 |
數學 |
執教者 |
余游 |
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參賽項目 |
初中青年數學教師“課堂教學（視頻）展示” |
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教材版本 |
湘教版 |
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年 級 |
九年級上冊 |
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單元名稱 |
一元二次方程 |
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本課課題 |
一元二次方程根與系數的關系 |
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教學設計
（一）教學內容解析
《一元二次方程根與系數的關系》是湘教版《數學》教材九年級上冊第二章《一元二次方程》第四節的內容.方程是初中數學的核心內容，它是刻畫現實世界中量與量之間的重要數學模型，要求學生要領會模型思想、數學抽象，培養學生的運算能力.而《一元二次方程》是在學習了一元一次方程的概念、解法及建立方程模型解決實際問題以及它的幾何意義的基礎上，通過類比學習并運用轉化思想將其化為兩個一元一次方程來求解與研究的，為后續學習二次函數、一元二次不等式及研究高次方程等奠定了基礎.本節課《一元二次方程根與系數的關系》以所學的求根公式、因式分解法解一元二次方程、比較系數法為基礎探究一元二次方程根與系數之間存在的關系，屬于初高中銜接的選學內容.根與系數的關系也稱為韋達（法國數學家）定理，是初中代數中一個重要的定理，在高中乃至初等數學的學習中有著廣泛的應用，也是研究高次方程的根與系數的關系的依據，所以具有承上啟下的作用.因此本節課的重點是一元二次方程根與系數的關系的理解與應用.
（二）學生學情分析
通過前面的學習，學生已經掌握了用直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程，會用判別式判定方程根的情況，學習了用提取公因式、應用公式及十字相乘等方法對多項式進行因式分解和二次根式的加減乘除運算.已經初步具備了發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，有一定的邏輯思維能力，能主動的去思考，會將問題進行轉化，也能從特殊情況出發去探究一般性的問題.人教版教材是利用求根公式先求得一元二次方程
的兩根
，再求
和
的值，從而得到方程兩根之和與兩根之積的關系，導入直接，學生也容易理解，只是運算麻煩.湘教版教材根據《新課標》關于二次根式計算的要求及與高中和大學學習的統一，沒有采用這一方法，而是利用若
是
的兩根，則方程左邊的二次三項式
可因式分解成
,通過比較系數法找到根與系數之間的關系，從而得出結論，是一種通性通法，但是學生難于理解.所以，本節課的難點是一元二次方程根與系數的關系的探究.
（三）教學目標設置
1.經歷從二次項系數是1的一元二次方程這一特殊情況出發探究一元二次方程根與系數關系，并將二次項系數不是1的情況轉化為二次項系數是1的特殊情況，從而得到一般情況下的一元二次方程根與系數關系的過程，培養學生觀察、猜想、證明、歸納的能力，滲透化歸、從特殊到一般再到特殊等數學思想.
2.能夠運用一元二次方程根與系數的關系解決已知一元二次方程的根或通過構造一元二次方程求根后與方程兩根有關的代數式的值問題，培養學生的運算能力，滲透整體思想、恒等變換思想.
3.能夠運用一元二次方程根與系數的關系和一元二次方程根的定義解決已知一根求另一根及字母系數的值，學會從不同的方法中選取最優的方法.
4.在問題探究的過程中培養學生的團隊意識、合作精神，學會有邏輯的思考.
（四）教學策略
《課程標準》提出，教學活動應將過去的教師教，學生被動接受學習轉變為學生在教師的引導下自主探究，合作交流，大膽猜想，動手實踐，用已有的數學知識和方法解決數學問題。所以本節課遵循以教材為載體，以方法為紐帶，以核心素養為目標，講授法、討論法、演示法、啟發法相結合，引導學生自主學習、探究學習、合作學習，同時借助多媒體技術，包括投屏，希沃游戲等豐富課堂形式,加強學生上課積極性.將每一個探究都作為數學核心素養的孕育點和生長點.培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.
（五）教學過程設計
一．作業點評
已知一元二次方程
的兩根分別為
，請求出下列代數式的值.
（2）
設計意圖：從作業入手，回憶用公式法解一元二次方程的有關知識，有利于學生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡.同時讓學生在再探索過程中，很自然地體會到研究兩根之和與兩根之積的必要性.設置懸念，在最短時間內將學生注意力迅速集中到新課學習上.
二．交流發現
1.按要求填寫下列表格：
觀察上表，你有什么新發現嗎？
設計意圖：學生通過計算、觀察、分析，發現在二次項系數為1的情況下一元二次方程中根與系數的關系，發展學生的感性認識，培養學生發現問題、提出問題的能力，體會由特殊到一般的認識過程.
三．探究學習
1.運用已學知識證明：如果一元二次方程
的兩個根分別是
、
那么：
2.思考：在二次項系數不為1的情況下，方程
的兩根之和與兩根之積與系數之間又有怎樣的數量關系呢？
結論：若一元二次方程
的兩個根分別是
、
，則 .
設計意圖：通過探究活動，促使學生主動參與數學知識的“再發現”，經歷“觀察、猜想、驗證”這一過程。培養學生分析問題、解決問題的能力，豐富學生邏輯推理的核心素養.
希沃Pk小游戲：運用韋達定理迅速求出方程的兩根之積與兩根之和.
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
設計意圖：運用多媒體技術，加強與學生之間的互動，增強課堂趣味性.同時通過小題及時練習鞏固，體現學以致用的觀念,增強學生運用新知的能力.
例1 根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程的兩根
的和與積.
-
（2）
設計意圖：緊扣教材，例題示范，規范學生書寫過程，加強學生運用新知的意識，培養學生解決實際問題的能力，讓學生充分參與教學，在參與的過程中得到充足的體驗和發展.
情境回歸：已知一元二次方程
的兩根分別為
，請求出下列代數式的值.
（1）
(2)
變式 已知一元二次方程
的兩根分別為
，不解方程，求
的值.
設計意圖：回歸作業，首尾呼應.培養學生知識遷移能力，滲透轉化、整體的數學思想.并在問題探究的過程中培養學生的團隊意識、合作精神，引導學生學會有邏輯地思考.
例2 方程
有一個根是
,求方程的另一個根及
的值.
設計意圖：培養學生逆向思維，引導學生學會運用根與系數之間的關系去解決關于一元二次方程根的有關問題，通過比較讓學生感知韋達定理在運算上的簡便作用.學會從不同的方法中選取最優的方法.
六．課堂小結
-
我們研究了什么？
-
我們是怎么研究的？
-
在研究過程中我們體會到了哪些數學思想與方法？
設計意圖：不僅注重知識點的回顧，還進行過程的回顧，領悟探究過程中蘊含的思想方法，回歸問題的本質.理清知識脈絡，形成有結構的知識體系并培養和提升學生歸納概括和語言表達的能力.
七．拓展延伸
如果
滿足
且
求代數式
的值.
設計意圖：鞏固已學知識，發散學生思維，滲透方程思想，提升學生綜合解決問題的能力，讓學生有所學，有所獲.
八．課后作業
分層作業：A層：課本48頁第1，2，3題（必做）
B層：課本48頁第5題（選做）
設計意圖：巧妙設計分層作業，讓不同水平的學生都獲得不同的發展，使得作業更加貼近學情，落實國家的“雙減”政策.
四、教學反思
優點：
1、將探究根與系數的關系分為初探、再探兩個層次，即將二次項系數為1和非1的一元二次方程分兩次出現，給予學生一個適度的梯度探究空間，符合學生認知發展規律，使得每一位學生都能參與其中. 在循序漸進的教學原則下，通過“特例探究——一般猜證——深化理解”的教學設計，由“觀察——猜想——再觀察——再猜想”的探究過程，使學生感悟認識事物的規律是由特殊到一般，由具體到抽象的思維過程，學生在這樣的氛圍下，會感到新知是舊知的自然延伸和自然流露，對于學生而言，既經歷了一次探究性學習，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的機會.
2、在整個教學設計中，充分發揮了教師主導、學生主體的作用，通過學生自身體驗過程、探究發現，激發學生獲得求知的欲望；通過發現、猜想、證明的過程，使學生感受數學研究的方法與思想.通過例題、習題的解決滲透恒等變換、化歸、類比等數學的思想，以此為載體，充分發揮其素質教育的功能，培養起學生的發散性思維和探究能力.
不足：
本節課教學設計注重開發學生的思維能力,學生理解很好，但是掌握起來卻有一定困難。在今后的教學中應注意加強化繁為簡的教學方法，課堂45分鐘內的內容準備一定要充分、簡單，使學生有成就感.還應注意鍛煉學生們的獨立思考能力，在課堂上留好充足的練習時間.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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