視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《23.1 成比例線段》吉林—王佳
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《23.1 成比例線段》吉林—王佳
23.1 成比例線段（1）
教學設計
長春外國語學校
王佳
23.1 成比例線段（1） 教學設計
一、內容與內容解析
1．內容
成比例線段的概念、比例的基本性質．
2．內容解析
成比例線段是數的比例在幾何中的體現，線段的比和成比例線段是“數”的比和比例概念的拓展，是在學生已經經歷了軸對稱、平移和旋轉、圖形的全等的學習過程基礎上，進一步研究直線型圖形的第一步．相似多邊形的定義涉及比例線段，相似三角形的性質與判定一般都與比例線段相聯系，因此成比例線段是我們研究相似圖形的理論起點．本節課學生通過觀察照片的形狀，測量照片的長與寬，比較形狀相同與形狀不同的照片，引導學生嘗試概括成比例線段的定義，并應用概念辨析成比例線段，隨后從兩方面探究比例的基本性質，以及利用比例的基本性質對比例式進行簡單變形．
基于以上分析，確定本節課的教學重點：概括成比例線段的定義、探究比例的基本性質．
二、目標與目標解析
1．目標
（1）了解線段的比，理解成比例線段的概念；
（2）探究比例的基本性質．
2．目標解析
達成目標（1）的標志是學生能結合具體實例，通過觀察、抽象、測量、歸納等過程發現形狀相同的兩張照片長與寬比值相等，概括出成比例線段的定義，促進學生語言表達能力的發展，并能根據定義判斷四條線段是否成比例．
達成目標（2）的標志是讓學生經歷探究比例基本性質的過程，學生能根據四條成比例線段發現得出的比例式不同，但等積式是唯一的，進而得出比例的基本性質：比例式和等積式可以相互轉化，并能利用比例的基本性質，對比例式進行簡單的變形．
三、教學問題診斷分析
九年級學生在小學時已經學習過數的比、比的前項、后項，比例的項、外項、內項等概念，有關線段的比，比例尺等內容，也經歷了軸對稱、平移和旋轉、圖形的全等的學習過程，已初步具備圖形性質的探究能力，但是還有待進一步培養分析問題、解決問題的能力．學生在探究四條成比例線段得到不同比例式，再由不同比例式得到“等積式”唯一會有一定困難，教學時，教師應給予學生充分的討論時間，以加深對比例基本性質的理解．
本課的教學難點是：探究比例基本性質的過程．
四、教學過程設計
1.了解成比例線段的概念
觀察 從形狀和大小的角度觀察，下面的照片有怎樣的關系？
（1）
（2）
師生活動：學生容易得到（1）組照片形狀相同，大小不同．教師指出，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似圖形；（2）組照片大小和形狀均不相同，進而啟發學生發現照片的形狀與它們對應的長和寬有關．
動手操作 量一量每組照片的長和寬，看看它們之間有怎樣的數量關系？
|
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（1）組 |
（2）組 |
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左 |
右 |
左 |
右 |
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長/cm |
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寬/cm |
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師生活動：學生通過動手測量得出每組左側照片的長均為2.5cm，寬為1.5cm；（1）組右側照片的長為7.5cm，寬為4.5cm；（2）組右側照片的長為7.5cm，寬為3cm．引導學生發現形狀相同的照片有共同的屬性：長寬比均為5:3，（或長之比與寬之比相等均為1:3）比值相等，而形狀不同的照片長寬之比與左側照片不相等．教師進一步指出當圖形對應邊比值相等時，滿足特殊的幾何性質，這將對我們本章即將學習的相似知識帶來幫助，同時帶領學生回顧
這個式子是小學學過的比例式，即相同形狀的兩個圖形對應線段的長度，滿足小學學過的比例關系，從而引出課題——成比例線段．
設計意圖：通過具體實例——對同一照片的不同變換，讓學生經歷觀察、數學抽象、直觀想象的過程，認識圖形的相似，培養學生的問題意識.通過動手測量照片的長與寬，發現、歸納形狀相同圖形的本質屬性即對應線段比值相等，提高學生解決現實問題的能力，體會從具體到抽象的研究問題方法，同時引導學生回顧小學學習的比例知識，將舊知與新知聯系起來，從而引出課題.成比例線段是研究相似圖形的基礎，在探究相似圖形的性質中起著十分重要的作用.
概念生成 你能嘗試概括成比例線段的定義嗎？
師生活動：教師引導學生討論，分析成比例線段的特點：成比例線段是四條線段之間的關系，并將兩張照片的長寬分別設為
a，
b，
c，
d，進而得出當四條線段滿足兩條線段的比值相等時，叫做成比例線段.鼓勵學生嘗試用自己的語言概括，并相互補充，得出成比例線段的概念：對于給定的四條線段
a，
b，
c，
d，如果其中兩條線段的長度之比等于另外兩條線段的長度之比，如
（或
a：
b =
c：
d），那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段，此時也稱這四條線段成比例．
設計意圖：充分調動學生的主觀能動性，培養學生的抽象概括能力，由于有了前面的經驗，學生能很好的理解什么是成比例線段，鼓勵學生用自己的語言嘗試概括成比例線段的定義.
2. 辨析概念，應用鞏固
例1 判斷下列線段
a、
b、
c、
d是否是成比例線段：
，
，
，
．
師生活動：教師引導學生利用定義判斷四條線段是否成比例，在此過程中，學生先獨立思考，然后學生只需在這四條線段中選取兩條線段計算比值是否等于另外兩條線段之比，教師板演過程．
設計意圖：讓學生經歷利用定義辨析成比例線段的過程，幫助學生加深對成比例線段概念的理解.
試一試 你能再舉出一些成比例線段的例子嗎？
師生活動：先讓學生獨立思考，在磁力片上寫出成比例線段的長度，請幾名同學在黑板上展示自己的結果，同時邀請其他同學判斷這些同學舉出的例子是否為成比例線段，這其中可以包括線段的長度為分數、無理數、單位不統一的情況等，教師給予充分肯定.
設計意圖：鼓勵學生大膽嘗試，充分體現學生是學習的主體，讓學生再次經歷利用定義辨析成比例線段概念的過程，生生互動，總結出判斷四條線段成比例的規律和方法.學生展示自己認為好的判斷方法，同學之間交流合作，獲得成功體驗.
3.探索比例的基本性質
探究 在例1中，你是否得到了不同的比例式？
師生活動：學生先獨立思考，再合作交流，同學們積極踴躍舉手發言，相互補充，同時發現同樣的四條成比例線段，可以得到的不同的比例式，比如例1中，學生除了可以得到
之外，還可以得到
，
等比例式.
追問1 這些比例式之間有怎樣的關系？
師生活動：學生自主探究，小組討論交流，并讓小組代表分享發現結果．教師引導學生通過內項之積等于外項之積發現同樣的四條成比例線段得到的不同比例式都可以轉化為
，或者通過等式的基本性質，去分母發現結論：雖然成比例線段得到的比例式不同，但等積式是唯一的．教師進一步指出：如果
，那么
．
設計意圖：學生發現
a，
b，
c，
d這四條線段是成比例線段，得出比例式的比值可能不同，但它們的等積式唯一，都是
，即內項之積等于外項之積. 在變中尋找不變，這是數學追求的本質，世界是運動變化的，我們試圖用數學邏輯把復雜世界的確定性結構分析出來，找到哪些隱藏在表層背后的底層規律，幫助我們在混亂中找到秩序，從而以不變應萬變.
追問2 如果
，能推出多少個不同的比例式呢？
師生活動：先小組討論，請小組代表分享結果，并相互補充，共同總結出共有8種結果，如果不考慮比例外項、內項，僅考慮比值，只有4個．同時教師指出：我們選擇其中一個比例式作為代表得到下面的結論，如果
，那么
．于是引導學生發現根據等積式：內項之積等于外項之積即最小值與最大值乘積等于另外兩項之積，在判斷成比例線段的過程中，選取的不能是最短與最長線段，或中間兩項之比，所以在判斷之前首先要將4條線段排序.
設計意圖：當四條線段成比例時，能寫出8個不同的比例式，因此當給定一個比例式成立時，還需要考慮它還有哪些不同的形式，故研究比例的基本性質是非常有必要的.比例的基本性質是比例式變形的主要依據，結論“
”說明比例式與等積式是等價的，可以互相轉化.
例2 已知
，求證：
．
師生活動：鼓勵學生嘗試多種方法證明，學生實物投影儀展示，師生共同交流，分析結論后發現：可以在等式左右兩邊同時加1，也可以先把比例式化為等積式，在等式兩邊同時加上
bd．
試一試 利用比例的基本性質，將比例式
適當變形，你還能得到哪些不同的結論呢？
師生活動：鼓勵學生思考交流后得出不同結論，并用實物投影儀展示．
設計意圖：引導學生體會比例的基本性質是比例式變形的主要依據，能利用比例的基本性質進行一些較為簡單的比例式變形，充分暴露學生的思維過程.在運用不同方法證明的過程中，提高思維的深刻性和廣闊性，引導學生體會在解決問題的過程中選擇最優的方法.最后提出一個開放性問題，加強對比例基本性質的應用.
4.回顧總結，反思提升
教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請同學回答以下問題：
（1）本節課你學到了哪些知識？
（2）在學習過程中，運用了怎樣的研究方法？
設計意圖：通過小結，使學生從知識和方法兩個角度梳理本節課所學的內容，把握本節課的核心——成比例線段的定義和比例的基本性質，也使學生感受觀察、抽象、測量、概括、舉例、探究、應用的研究方法，并在學習過程中滲透了數形結合的數學思想.
5.布置作業
教科書第51頁練習第2題、第3題、第4題．
五、目標檢測設計
1．判斷下列長度的各組線段是否是成比例線段：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，5厘米；
（2）1.5厘米，2.5厘米，3厘米，5厘米；
（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；
（4）1厘米，2厘米，2厘米，3厘米．
設計意圖：1題檢測成比例線段概念的理解與運用.
2．如果
（
a、
b、
c、
d都不等于0），那么下列比例式中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，則
的值為___________．
4．已知
．求證：
．
設計意圖：2、3、4題檢測比例的基本性質的掌握情況.
《23.1 成比例線段》課例點評
成比例線段通過比值研究線段之間的關系，它是研究相似形的基礎。相似多邊形的定義涉及比例線段，相似三角形的性質與判定都是以比例線段為基礎進行研究，因此本節課的學習效果將直接影響學生的后續相似圖形的學習。本節課教學具有以下特點：
1.注重概念生成過程
王佳老師首先引導學生通過觀察照片的形狀，動手測量照片的長與寬，通過照片長與寬之間的比值關系進而概括出成比例線段的概念。在概念辨析的過程中，以學生呈現的例子為載體，分析概念的關鍵詞，進而探究了比例的基本性質，并進行了初步應用。上述教學環節體現了概念的產生過程，學生經歷了完整的觀察、比較、測量、歸納、抽象、概括等思維活動，數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養的發展都滲透其中。
2.注重問題的啟發與探究
在探究比例的基本性質中，帶領學生展開“有引導的探究活動”，教師提出3個非常有價值的問題，通過成比例線段得到 “等積式唯一”的結論，并給予學生充分的自主交流、合作探究的時間。在整個教學過程中，始終注重學生的參與性，啟發學生深度思考，鼓勵學生與學生之間交流，發展了學生的思維，將數學核心素養真正落實到課堂中。在學生交流研討的過程中，教師作為合作者和引導者，及時了解學生的探究情況，并從中選擇有代表性的回答進行全班交流，讓學生在掌握數學知識和技能的同時，感悟數學的本質，感悟數學思想，積累數學思維和實踐經驗，形成和發展數學推理的能力。學生通過探究和交流，得出了非常精彩的回答，進而培養了學生會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。
3.注重知識梳理與小結
在小結的過程中，教師不僅引導學生回顧本節課所學知識，更關注了內容所反映的思想方法，以及如何展開思考，其中包括如何分析具體實例、如何歸納共性、如何抽象本質特征等等。這樣的小結注重了數學基本思想、基本活動經驗的落實，是發展學生數學核心素養的有力舉措。
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