視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》內(nèi)蒙古—毛
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計(jì)、課件 /課堂實(shí)錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》內(nèi)蒙古—毛鑫國
展示課指定題目
《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)內(nèi)容解析：
本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的選學(xué)內(nèi)容。是在學(xué)生掌握了一元二次方程的解法和根的判別式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，事實(shí)上求根公式和根的判別式已經(jīng)揭示了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，教材這樣編排，要求既要注意數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，又要符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。學(xué)完本節(jié)內(nèi)容，能在不解方程的情況下判斷根的符號、求根、驗(yàn)根以及求和根有關(guān)的代數(shù)式的值等。本節(jié)知識是本章前幾節(jié)內(nèi)容的發(fā)展、深入和完善，是學(xué)習(xí)“二次三項(xiàng)式的因式分解，二次方程組的解法，二次函數(shù)”等知識的基礎(chǔ)，因此本節(jié)課起到了承前啟后的作用。又由于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是一元 n 次方程根與系數(shù)關(guān)系的特例，所以學(xué)習(xí)它也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。
教材這樣安排，一是滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；二是培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、歸納和推理的能力，因本節(jié)的例題、習(xí)題既可用前面學(xué)過的解方程的知識解決，也可用本節(jié)知識解決，這樣將新舊知識加以對比，以體現(xiàn)用新方法解題的優(yōu)越性。使學(xué)生今后在處理有關(guān)一元二次方程的問題時多一些思路和方法。
教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及簡單應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)：
一、課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)
了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。
二、單元目標(biāo)
1.能用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩個實(shí)數(shù)根是否相等，理解求根公式和根的判別式已經(jīng)初步揭示了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；
2.經(jīng)歷進(jìn)一步探索一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的過程，了解兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系；
3.能用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單問題。
三、本節(jié)課目標(biāo)
-
了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能通過系數(shù)表示方程的根、用方程的根表示系數(shù)，并能靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決一些較簡單的問題；
-
探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，經(jīng)歷定理的形成過程，形成“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用”的“做數(shù)學(xué)”的能力，發(fā)展符號意識與推理能力，體會特殊與一般、類比、轉(zhuǎn)化、整體代入等數(shù)學(xué)思想方法；
3.了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)歷史，感悟數(shù)學(xué)家追求真理的理性精神，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，品味多元數(shù)學(xué)文化。
學(xué)情分析：
一、學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次方程的解法，能夠熟練運(yùn)用求根公式解一元二次方程，熟練應(yīng)用根的判別式判斷根的情況。
二、達(dá)成目標(biāo)所需認(rèn)知基礎(chǔ)：能經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用”的探索過程，以及從特殊化到一般化的完整過程。
三、已有基礎(chǔ)與需要基礎(chǔ)之間的差異：學(xué)生雖然具備了一定的計(jì)算基礎(chǔ)，但本節(jié)課的內(nèi)容、思路都是學(xué)生前面方程研究中所沒有遇到的。九年級學(xué)生對事物的認(rèn)識多是直觀、形象的。他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，對于具體問題歸納總結(jié)得到的一些結(jié)論，他們有一定的推理欲望和基礎(chǔ)，但更關(guān)注應(yīng)用，雖然已經(jīng)具備一定的推理證明、知識遷移、觀察總結(jié)歸納的能力，但是對所得結(jié)論的逆命題缺乏主動思考，需要教師給予恰當(dāng)、適時引導(dǎo)。
四、教學(xué)難點(diǎn)及突破策略
1.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述和正確推理。
2.突破策略：在特例中設(shè)定開放式問題，學(xué)生可以嘗試簡單的運(yùn)算和組合，感受一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的多樣性，進(jìn)而比較、討論這些關(guān)系中哪些不受根的出現(xiàn)順序的影響，更有研究價值，逐步建立起來關(guān)系，并能更加簡便地解決問題。
教學(xué)策略：
一、為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，促進(jìn)學(xué)生主動思考，采用問題串引導(dǎo)探究活動，以開放式的問題作為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考。
二、根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生情況，需要借助探究活動，讓學(xué)生重構(gòu)式地親歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證”的過程，讓學(xué)生真正了解到根與系數(shù)關(guān)系的前世今生。從知識聯(lián)系出發(fā)，不僅做到了“知其然（怎么算），知其所以然（為什么要這樣算）”，還讓學(xué)生明白“何由以知其所以然（怎么想到這樣算）”。滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。使學(xué)生今后對于公式、性質(zhì)、法則、定理在整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的作用、地位和價值有全新的認(rèn)識。
三、基于本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)從相關(guān)知識的復(fù)習(xí)入手，目的是在鞏固舊知的基礎(chǔ)上為后續(xù)學(xué)習(xí)打鋪墊，然后拋出一個利用現(xiàn)有知識很難解決的問題，讓他們體會到現(xiàn)有知識的局限性，引發(fā)認(rèn)知沖突，接著拋出一個開放式的探索問題，發(fā)展感性認(rèn)識，合作意識，學(xué)生通過計(jì)算、比較、分析、歸納發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。
四、教學(xué)要面向全體學(xué)生，并兼顧學(xué)有困難和學(xué)有余力的學(xué)生，對學(xué)有余力的學(xué)生，要通過講授選學(xué)內(nèi)容和組織課外活動等多種形式，滿足他們的學(xué)習(xí)愿望，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。
五、本節(jié)課是開發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)科德育功能的絕佳載體，因此，學(xué)生在課堂上通過合作學(xué)習(xí)、大膽展示、激勵性評價，完成愉快的探究、應(yīng)用、感悟過程，使學(xué)生有效掌握數(shù)學(xué)原理和探究的一般規(guī)律，感悟用數(shù)學(xué)思考問題的方式方法，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
教學(xué)過程：
環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧
-
同學(xué)們，最近我們都在研究一元二次方程，那么你能想到關(guān)于它的哪些知識呢？
一元二次方程的定義
一元二次方程的一般形式：
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0)（板書）
一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件 (△=
b2-
4ac≥0)
當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，△=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，△＜0 時，方程無實(shí)數(shù)根。
一元二次方程的求解方法和求根公式
【設(shè)計(jì)意圖】以開放式問題引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶一元二次方程的相關(guān)知識，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。開放性問題的另一個好處，是讓不同層次的學(xué)生均能夠參與其中，并在不知不覺中引入新課，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，為本節(jié)課的探索之路做預(yù)熱練習(xí)。根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行引導(dǎo)、跟進(jìn)、展開、深化，在一系列的“問題串”后聚焦問題實(shí)質(zhì)。
環(huán)節(jié)二：情境引入
-
同學(xué)們，請你談?wù)剬τ诮庖辉畏匠痰母惺埽?/li>
-
確實(shí)，解一元二次方程的世界比較單調(diào)，所以人們總是在探索能不能不解方程就能知道根的一些情況，同學(xué)們目前能不解方程知道哪些情況呢？（根的判別式和求根公式）其實(shí)根的判別式和求根公式就是反映了根與系數(shù)的一種關(guān)系。
-
但是有時候用求根公式和根的判別式也很難解決的一些問題，比如說已知一元二次方程 ，你能不能用三秒鐘時間求出 的值呢？根與系數(shù)之間還有哪些千絲萬縷的關(guān)系呢？這就是我們今天要研究的內(nèi)容（寫出課題）。
【設(shè)計(jì)意圖】通過具體繁雜的一元二次方程，現(xiàn)有知識難以快速得出結(jié)果入手，引起學(xué)生情感共鳴，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、探索的興趣。
環(huán)節(jié)三：新知探究
活動一：從2
x²+3
x+1=0談起 （特例）
要求：（1）解方程；（2）把方程的兩根經(jīng)歷簡單的運(yùn)算、組合，其結(jié)果與系數(shù)有什么關(guān)系？猜想一下。
學(xué)生展示：找多個學(xué)生展示探索結(jié)果。
教師問題1：通過比較同伴的探索，發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系的結(jié)果相同，有些關(guān)系的結(jié)果不同，為什么會產(chǎn)生這樣的情況？（加法、乘法交換律）
教師問題2：哪些結(jié)果不受根的順序的影響？
教師問題3：我們應(yīng)該研究不受根順序影響的關(guān)系還是受影響的關(guān)系？今天，我們就從最具普適性，有研究價值的兩個關(guān)系開啟研究。
【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)采用開放實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想的過程，激起學(xué)生興趣點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生深度思考得到兩根之和，之差，之積，之商等，然后觀察發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系的結(jié)果因?yàn)楦捻樞蚨艿搅擞绊懀朔ā⒓臃ú皇苡绊懀饾u開啟研究主題。
活動二：請你再舉例實(shí)例，看看剛才的發(fā)現(xiàn)還適用嗎？（再試）
（學(xué)生回答問題后，老師追問）那是不是所有的一元二次方程都具備這樣的根與系數(shù)的關(guān)系呢？由此你得到什么樣的猜想？
設(shè)計(jì)意圖：再次嘗試舉例，增加學(xué)生的理解與感受。
活動三：延伸到
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0且
b²-
4ac≥0)
進(jìn)一步猜想根
x1，
x2與
a、
b、
c之間的關(guān)系（猜想）
【設(shè)計(jì)意圖】體會由特殊到一般的解決問題的思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察、思考、歸納、能力。
活動四：你能證明上面的猜想嗎？請證明。（驗(yàn)證）
（學(xué)生先思考可以根據(jù)實(shí)際情況再小組交流討論，老師板書）
一元二次方程
ax²+
bx+
c=0（
a≠0）當(dāng)
b²-
4ac≥0時，有兩個實(shí)數(shù)根：
，
+
=
=
=
=
【設(shè)計(jì)意圖】不是直接給出定理，而是在“矛盾沖突”中思考怎么樣才能將猜想的結(jié)論推廣。通過利用一般式證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)符號意識和邏輯推理能力，通過這四個活動給學(xué)生滲透解決類似問題的路徑：通過特例—再試—猜想—證明—應(yīng)用五個過程，形成解決問題的方法。
活動五：
通過剛才的學(xué)習(xí)我們知道可以利用一元二次方程的系數(shù)表示根，那么能不能利用根來表示系數(shù)呢？（把一元二次方程的一般形式用兩根之和與兩根之積表示，培養(yǎng)逆向思維）
= 0
即：
【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生的核心素養(yǎng)的滲透與思考，利用得到的根與系數(shù)關(guān)系逆向去推出根表達(dá)一元二次方程形式，實(shí)質(zhì)就是十字相乘法解一元二次方程的化簡形式，也可以利用這種形式來構(gòu)建新方程，也是為后面二次函數(shù)的交點(diǎn)式做鋪墊。激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生思維的深度參與。讓學(xué)生在親歷知識發(fā)生發(fā)展的過程中，領(lǐng)悟根與系數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)德育教育與思維課堂的完美結(jié)合。
活動六：數(shù)學(xué)文化——韋達(dá)的簡史
16世紀(jì)，有一個法國人叫韋達(dá)，他曾經(jīng)當(dāng)過律師、議員，戰(zhàn)爭中破譯過密碼，一不小心從393416邊形中算出圓周率，并精確到小數(shù)點(diǎn)后九位，又一不小心成為第一個用字母表示已知量和未知量的人，第一個把代數(shù)變換應(yīng)用到三角學(xué)中的人，一不小心獲得“西方代數(shù)學(xué)之父”的稱號，一不小心最早發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)的關(guān)系，所以我們也經(jīng)常稱這個關(guān)系為“韋達(dá)定理”。那么，這么多的成就真的是他不小心獲得嗎？
（老師引導(dǎo)知識的獲得是源于滿腔的的熱愛與執(zhí)著，希望每位同學(xué)都能夠用這樣的堅(jiān)定去面對學(xué)習(xí)和生活）
【設(shè)計(jì)意圖】拓展數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，并突出“數(shù)學(xué)育人”功能，充分發(fā)揮學(xué)生主體角色，學(xué)生可以盡情地感受、聯(lián)想，形成良好的數(shù)學(xué)觀。課堂小結(jié)以及課后作業(yè)都有類似的內(nèi)容，促進(jìn)了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性生成，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)悟感知。
環(huán)節(jié)三：典例精講
例:利用跟與系數(shù)關(guān)系，求解下列方程的兩根之和、兩根之積：
(1)
(2)
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識，讓學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系來求兩根之和與兩根之積，比較簡便，并且加深學(xué)生對根與系數(shù)的關(guān)系的本質(zhì)理解。
再次回顧思考
請用三秒鐘求出
的值。
【設(shè)計(jì)意圖】與前面呼應(yīng)，加深學(xué)生對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的優(yōu)越性的理解，提高學(xué)生的興趣體驗(yàn)。
環(huán)節(jié)四：學(xué)以致用
-
已知長方形的相鄰兩邊長是方程 x2–7x+8=0 的兩個根，則長方形的周長為 ，面積為 。
-
已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值。
3.小明和小華分別求出了方程 9
x²+6
x−1=0的根，
小明：
；
小華：
，
他們的答案正確嗎？說說你的判斷方法。
【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 ，熟練應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識解決問題，體會其作用。
環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)
今天的課程你了解到了哪些知識？通過什么方法得到的這個知識？學(xué)會了哪些解決問題的方法？這些知識或者方法對你今后的學(xué)習(xí)有哪些啟示？
【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)問環(huán)環(huán)相扣，從而讓學(xué)生在掌握四基、提高四能的過程中能夠相輔相成，再次升華。
教后反思：
本課沿著定理發(fā)生和發(fā)展的脈絡(luò)，從而讓學(xué)生有了更深刻的了解。數(shù)學(xué)文化“知識源流”的維度讓學(xué)習(xí)自然而然，水到渠成。通過設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美；多種數(shù)學(xué)方法的使用，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的奇異美和理性精神，并完成了學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、學(xué)習(xí)信念的樹立、學(xué)習(xí)品質(zhì)的錘煉，落實(shí)了“德育之效”。通過觀察、歸納、推理、證明的方式，步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理。從數(shù)學(xué)思想的角度來看，韋達(dá)定理體現(xiàn)出整體性思想，教學(xué)過程體現(xiàn)出歸納思想，解題方式帶有化歸思想。教學(xué)過程中，設(shè)計(jì)了激發(fā)性的教學(xué)情境，以激起學(xué)生的“好勝心”為開端，學(xué)生在“好奇心”的激勵下主動探究韋達(dá)定理，在得出與歷史上數(shù)學(xué)家毫無二致的證明過程時，自豪感便會油然而生。學(xué)生在這種良好心理狀態(tài)下，保持情緒上的活躍和行動上的參與，都會提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，啟發(fā)他們自主發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證韋達(dá)定理，理解其深刻含義。在靜下心的反思中，也感覺到了很多不足，例如在利用特例探索發(fā)現(xiàn)的環(huán)節(jié)，如果學(xué)生能生成更多的關(guān)系，例如
x1²+
x2²，在最后就能引導(dǎo)學(xué)生體會韋達(dá)定理解決類似關(guān)系的方法，研究過程中還有一些想法沒能完全實(shí)現(xiàn)或?qū)崿F(xiàn)的不夠。在今后的教育教學(xué)中我將繼續(xù)努力，砥礪前行！
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
| -----更多視頻請?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿暗谑䦟萌珖踔星嗄辍逼渲械膯蝹�詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標(biāo)題為“第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》內(nèi)蒙古—毛”，所屬分類為“初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》內(nèi)蒙古—毛”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：9899267】 ----- |
