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視頻標簽：二元一次方程組
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學七年級下冊第八章第一節8.1“二元一次方程組”湖北省優課
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8.1二元一次方程組
一、內容和內容解析
1.內容
人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章“二元一次方程組”第一節8.1“二元一次方程組”. 2.內容解析
根據《課程標準（2011年版）》的要求，方程是刻畫現實世界實際意義的必要模型，在實際生活中有著廣泛的應用。學生在七年級上冊已學過一元一次方程，已經具備列一元一次方程解決實際問題的經驗基礎，為本節的學習已做好知識儲備，本章再次重建方程教學的內容體系，本節課以激發學生的認知沖突為目標，為后繼其它方程的學習做好遷移和鋪墊。教學中從實際問題出發，通過引導學生經歷自主探索和合作交流等活動，認識二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，突出建模思想，使學生逐步認識到建立方程（組）是解決實際問題的基本途徑之一，逐步培養學生的類比分析和歸納概括能力，滲透變與不變的辨證統一思想。
在實際問題中，根據兩個等量關系直接列二元一次方程，比列一元一次方程更容易，而二元一次方程有無數個解，是與一元一次方程的解不同之處。二元一次方程組的解是兩個方程的公共解。
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：掌握二元一次方程及二元一次方程組的相關概念。
二、目標和目標解析
1.目標
（1）掌握二元一次方程（組）及其解的概念，會判斷一對數是否是二元一次方程（組）的解。
（2）會用類比的思想進行知識遷移，會用方程的思想解決實際問題，初步體會數學建模思想.
（3）在經歷數學活動的過程中,體會探索的樂趣，培養學生的合作意識、數學應用意識和探索創新精神.
2.目標解析
達成目標（1）的標志是：學生會判斷哪些是二元一次方程（組），會判斷一對數是否是二元一次方程（組）的解。 達成目標（2）（3）的標志是：學生能主動參與數學活動，自主的發現問題、分析問題和解決問題，增強數學應用意識.
三、教學問題診斷分析
方程、一元一次方程既是學生原有的認知經驗，也是新知學習的生長起點。學生在學習了二元一次方程組后，還要繼續學習新的方程和方程組，甚至是不等式和不等式（組）等，二元一次方程（組）的學習過程具有承上啟下的橋梁作用，是貫通方程（組）、函數、不等式（組）的重要紐帶。
本節課的內容對培養學生的數學抽象、數學運算和數學建模等素養有非常重要的作用，
在教學中應讓學生充分觀察、分析、討論、歸納，在形象直觀感知的基礎上得出結論，加深認識，從而對“元”的認識得到進一步深化，對方程思想、類比思想的感悟逐漸得到強化。
所以，本節課教師要大膽放手，給學生空間，讓他們自主去探索；給學生時間，讓他們自主去體會，使教學活動收到更好的效果。
基于以上分析，確定本節課的教學難點: 類比一元一次方程，了解二元一次方程（組）這一章的學習內容。
四、教學支持條件分析
本節課以多媒體課件為主，采用引導發現法等，通過動感的畫面，選擇學生感興趣的問題作為例子，調動了學生的學習積極性，讓學生自主獲取新知，提高他們應用數學知識解決問題的能力.
五、教學過程設計：
活動一：觀看球賽——我來說
2019籃聯籃球世界杯將在中國舉行，學校也進行了籃球聯賽，請看大屏幕。作為一名中學生，你對籃球賽了解多少？
【設計意圖】這一環節通過創設生活情境，學生體會到數學來源于生活，激發學生的學習興趣，同時培養學生的民族自豪感。
活動二：解決問題——我來列
問題一：在籃球比賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在10場比賽中得到16分，那么勝負場數分別是多少?
思路一：設一個未知數，根據其中一個等量關系表示另一個未知量，借助于另一個等量關系列出方程。
思考：1、所列的是什么方程？
2、解這個方程的一般步驟和依據是什么？ 3、列方程的等量關系是什么？ 問題（1）（2）指引學生回顧一元一次方程的相關知識，問題（3）引導學生找到更多的等量關系，并發現另一個等量關系的用途。
思路二：設兩個未知數，根據等量關系，直接列兩個方程。 問題：這兩種方法有什么異同？ 學生通過對比發現：
相同點：都有兩個未知量，兩個等量關系。
不同點：列一元一次方程，設一個未知數，根據一個等量關系用一個未知量表示另一個未知量，根據另一個等量關系列出方程。設兩個未知數，則是根據兩個等量關系直接列出兩個方程。
問題二：七（1）班勝5場，負4場，總積分12分場；七（6）班勝3場，負7場，總積分13；那么籃球聯賽中勝1場、負1場分別得多少分？
在問題1的基礎上，學生多數設了兩個未知數，列了兩個方程。
【設計意圖】讓學生初步感受求兩個未知量的實際問題，列二元一次方程組比一元一次方程更容易，同時引導學生用類比的學習方法建構本章節的知識框架，學會運用類比探索新知的方法．
活動三：形成概念——我會比 一、二元一次方程的概念
問題：類比一元一次方程的定義，什么是二元一次方程？
生：含有兩個未知數，未知數的次數為1的整式方程是二元一次方程 練習1、辨一辨：判斷下列方程是否是二元一次方程？為什么？
（第2個方程，學生產生了認知沖突，從而進一步完善二元一次方程的定義。）
【設計意圖】學生在已有的一元一次方程知識的基礎上,進行知識遷移,在此過程中能充分體會類比的數學方法，注重學生獲取知識的過程和采用的方法，實現知識與方法的整體構建。讓學生經歷概念的形成過程，突出數學概念的本質。 繼續判斷下列方程是否是二元一次方程？為什么？
【設計意圖】學生對方程的認識也從一元方程擴充到了二元方程，幾道練習題各有側重，加深學生對二元一次方程概念的理解。只有掌握了二元一次方程的定義，就能快速判斷、準確判斷方程是否是二元一次方程。 二、二元一次方程組的概念
方程①②中的x、y表示的實際意義相同嗎？（x都表示勝場數，y都表示負場數）
兩個方程合在一起就組成了方程組，含有兩個未知數，每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．
追問：二元一次方程組必須具備什么條件？
從定義中分析出二元一次方程組需要滿足的條件，這是理解概念的重要方法。 練習2、你能從下面幾個方程中選取兩個方程組成二元一次方程組嗎?
追問：1、去掉第一個方程中的y，（1）（6）組合是二元一次方程組嗎？
2、組成二元一次方程組的兩個方程必須是二元一次方程嗎？
【設計意圖】從問題中發現兩個方程相同未知數的意義是一樣的，引出二元一次方程組的概念。設計開放性的練習題，引導學生從多種情況考慮問題，既提高了學生全面分析、解決問題的能力，也培養了學生的創新意識，通過追問，加深對二元一次方程組的理解。 三、二元一次方程（組）的解
問題1：類比一元一次方程的解，什么是二元一次方程的解？
填一填：章引言中滿足下列方程，且符合問題的實際意義的值有哪些？填入表。
x
…
1
-y32)3(x6
)2(st1)4(yx7
31zyx）（21
)
5(yx
212
3
)
6(y① 10yx6
)2(st731zyx）（1-y32)3(x1)4(yx21
)
5(yx
212
3
)
6(y
追
問： 1、你是如何確定x，y的值的？
（確定一個未知數的值，再帶入求另一個未知數） 2、這些x，y的值都是什么數？（非負整數解） 3、二元一次方程的解有多少個？（無數個）
問題2：方程
的解又是哪些？ 問題3：觀察方程①②的解，有什么新發現？
x=6,y=4，既滿足方程①，也滿足方程②，即x=6,y=4是兩個方程得公共解。
【設計意圖】學生通過對具體數值代入方程，經歷猜想——探索——列舉——總結的過程，得出結論：（1）二元一次方程的解是成對出現的；（2）二元一次方程的解有無數多個。這與一元一次方程有顯著的區別。在此基礎上，進一步學習二元一次方程組解的概念，層次推進。
活動四：學以致用——我拓展
1、在 3對數中，
是方程組 的解. 2、寫出一個以57xy
為解的二元一次方程組是_________．
變式：將二元一次方程變成二元一次方程
3、在“答案”奶茶店中，一杯果汁和一杯奶茶共28元，佳佳買了3杯果汁和1杯奶茶，共花費54元．設果汁和奶茶的單價分別為x、y元，則列方程組為
拓展： x+y=28
小組討論：上述問題3中的二元一次方程組 3x+y=54 的解是多少 ？為什么？ 預設：
思路一：由①得，y=28-x，再代入方程②；
思路二：②-①得，2x=26,x=13,再代入方程①或②； 思路三：將x+y=28整體代入方程②.
【設計意圖】設計這組課堂練習，使學生熟練的掌握知識，形成技能，提高分析、解決問題的能力，同時培養嚴瑾的邏輯思考能力和舉一反三的學習習慣，小組討論充分發揮學生自主學習的能力，培養探究精神和良好的思維品質，為本章接下來系統學習二元一次方程組的解做鋪墊。
活動五：整理歸納——我善學
通過本節課的學習，你有什么收獲？
1、知識:
二元一次方程
y
…
162yx②
1391
22yxyxyx③②①
728
3yxyx
類比思想
概念 二元一次方程組 本章的主要內容 二元一次方程（組）的解 2、思想：類比
3、方法：比較、歸納、觀察 本章主要內容：
本章主要思想：類比、建模、方程
【設計意圖】本節課從知識、思想、方法三個方面展開, 既有本節課的小結，也有本章的主要內容，既有知識的總結,又有方法的提煉，培養養了學生歸納概括能力,發展他們的語言表達能力.
活動六：當堂檢測——我能行
1．方程 是二元一次方程的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2、二元一次方程 5a－11b=21 （ ）
A． 有且只有一解 B．有無數解 C．無解 D．有且只有兩解
3、方程 與 的公共解是（ ）
A．3
333
...2422xxxxBCDyyyy
4、某班有40名同學去看演出，購買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，
乙種票每張8元，設購買了甲種票x張，乙種票y張，由此可列出方程組：________________. 【設計意圖】通過一組達標測評題，及時了解學生對本節知識掌握的情況，也是對教學重難點的一個考查。
活動七、課后作業——我行動
必做題：
1、課本P89練習
2、設計一個實際問題，并列二元一次方程組。 選做題：
我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？你能列二元一次方程組表示？其中的數量關系嗎？試找出問題的解。
【設計意圖】作業設計了一個開放題，讓學生感受數學來源于生活，并運用于實際生活。
采用分層的形式面向全體，讓不同的學生在數學上得到不同的發展。
六、板書設計
實際問題 方程
實際問題
xy1523yx，43-2yx,532zyx12
yx
，43
2yx，432
yx二元一次方程（組）
二元一次方程（組）的解
解法……
方 程 思 想 建模
思
想
一元一次方程 二元一次方程 二元一次方程組 定義 一個未知數 未知數的項的 兩個方程 未知數的次數是1 次數是1
x=a 解 x=a 無數個 y=b
解方程 等式的性質 等式的性質 ？ 解決問題
七、教學設計說明
1、兩條主線：一明一暗相呼應
本節課以“籃球聯賽”為主線， “類比思想”為暗線，通過觀察總結出二元一次方程（組）的定義，隨后教師進一步通過問題驅動，引導學生歸納二元一次方程（組）的解的概念。使各個教學環節之間緊密聯系在一起，很好地實現了最初的預設效果。在數學中，每一個研究對象都是一個系統，系統內部往往有某種穩定的結構，抓住這種結構進行類比學習，可以簡化新系統的學習過程，有效提高學習效率。本節課在設計和實施過程中注重了對數學思想的滲透。
2、三次類比：一淺一深凸核心
從概念到解法，類比的思想從淺到深。學生回顧一元一次方程的整章學習過程后，通過類比遷移、歸納概括展開學習，逐步向學生滲透長遠的學習方法和基本套路，學生研究意識進一步強化。形成概念的過程中，比較了二元一次方程與一元一次方程的異同，歸納了二元一次方程組具備的條件，通過觀察發現了二元一次方程（組）的解特點。拓展的多種二元一次方程組的解法，依據依然是等式的性質。二元一次方程的學習過程完全類比一元一次方程，從實際問題出發，列二元一次方程組，解二元一次方程組，再回到實際問題。通過更深層次的類比，學生了解了本章的主要內容。
3、三輪重構:一節一章為整體
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”。對于二元一次方程組來說，它的知識生長點是一元一次方程，通過一元一次方程的概念、解法、應用，可以遷移到二元一次方程組中來，通過引導學生回顧已有經驗、已熟悉的研究路徑繼續研究新的內容，這有利于學生今后學習“一元二次方程”等一系列方程。讓學生經歷“再創造”，從整體上對學習內容有初步的感悟和體驗，理清知識的脈絡，形成科學完善的數學。同時學生的數學素養得到提升：學會數學建模、學會歸納概括、學會類比分析、學會邏輯推理、學會直觀想象……
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