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視頻標簽：圓的面積
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：西南師大版小學數學教材六年級上冊圓的面積公式推導_重慶市優課
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西南師大版小學數學教材六年級上冊圓的面積公式推導_重慶市優課
“圓的面積”教學設計
教學內容： 教學目標：
1.經歷操作、觀察、討論和歸納等數學活動的過程，探索并掌握圓的面積公式，能正確計算圓的面積，并能應用公式解決相關的簡單的實際問題，構建數學模型。
2.進一步體會“轉化：化曲為直”的數學思想方法，感悟極限思想的價值，培養運用已有知識解決新問題的能力，發展空間觀念。
3.進一步體驗數學與生活的聯系，感受用數學的方式解決實際問題的過程，提高學習數學的興趣。
教學重點和難點：圓面積的計算公式推導 教學準備：圓形紙片、剪多媒體課件等 教學過程：
一、提供觀察情境，為建立空間觀念作鋪墊
師：（出示動畫：一只被繩子拴著的羊在草地上轉一圈，如圖1)用數學的眼光觀察這個畫面，求羊活動的范圍有多大，就是求圓的什么？
生：圓的面積
師：如果這只羊想要擴大它的活動范圍，你能幫它想個辦法嗎？ 生：可以把繩子拉長。
師：（課件演示拉長繩子，羊運動一周成一個新的圓，如圖2)圓 的面積變大了，說明圓的面積和什么有關？
生：圓的面積和半徑有關。
師：那圓的面積和半徑之間會有怎樣的關系呢？讓我們帶著這個問題開始今天
的探究之旅。
設計意圖：創設羊吃草的情境，揭示圓形區域的大小就是圓的面積，同時還孕育圓的面積取決于繩子的長短，從而使學生自己抽象出“圓面積的大小是由圓的半徑決定的”。
二、創設操作情境，建構空間觀念
1.回顧相關知識，喚起經驗，鋪墊探究新知之基。 師：大家回顧一下，我們學過哪些平面圖形的面積？
生：我們學過長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形的面積。 師：讓我們一起來回顧一下是怎樣推導出這些圖形面積計算公式的。 長方形的面積計算公式是用數方格的方法推導出來的，平行四邊形是轉化成長方形推導出它的面積計算公式的。用的是割補法
三角形和梯形是用兩個完全一樣的圖形拼成一個平行四邊形，簡稱倍拼法，走的也是轉化之路。
設計意圖：用方格度量圖形的面積，是基于面積的意義，但用來測量平行四邊形等圖形的面積時已感受到不精確、不方便，因而凸顯用轉化的方法更為簡捷。而圓面積計算公式的推導是小學教材中實現“化曲為直”的唯一題材，在有限的教學時間里如何實現“化曲為直”才是我們應放大的視角。
2. 呈現學習困境，引發矛盾，積蓄思維突破能量。
師:那你們打算用什么轉化方法把圓轉化成我們學過的平面圖形？ 生：我覺得應該用轉化法，因為如果用數方格的方法，方格會多出來，而且還有一些方格直接露在外面，數出來的面積也不準確。
師:如果用倍拼法行嗎？（課件依次出示兩個圓、三個圓、4個圓進行倍拼） 師：再來看看割補法能行嗎？這里有兩個同學，他們把圓平均分成了4份，然后拼成了如下兩個圖形：你覺得哪種拼法面積沒有改變？（課件呈現）
生:左面的正方形不行，這個圖形變大了。
師：看來轉化時不能增加圖形的面積，也不能減少圖形的面積。觀察右邊這個圖形，它有點像我們學過的什么圖形？看有什么不足？
生:平行四邊形。底邊不平，弧線太彎了。
師：如果分割的份數多一些，拼出的圖形底邊會不會變得平直一些？請打開信封袋，讓我們拿出紙剪拼一下，看看是不是你們想象的那樣。（同桌合作把圓片分成8等份和16等份，并進行剪拼。）
反饋學生的拼法。
師：孩子們，讓我們一起來觀察拼出的圖形，(學生分成8等份、16等份后拼成的圖形)你發現了什么？
生：我覺得它們越來越像平行四邊形.
3.感悟數學思想，分割轉化，實現極限思想飛躍。
師：事實真的如此嗎？借助電腦幫忙。（幾何畫板演示分成32等份、64等份)
師:觀察圖形的變化，你發現了什么？
生：隨著剪的次數增加，剪出的每一份底邊變得越來越平直，拼成的圖形越來越像平行四邊形了。
(電腦用幾何畫板演示繼續分割）
師：還想分割下去嗎?我們請電腦幫忙，觀察把圓分成128等份后，拼出的圖形與分成8等份拼成的圖形會有什么不同？ (幾何畫板演示把圓分成128等份) 生：我覺得有點像長方形。
師：剛才我們說拼出的圖形越來越像平行四邊形，現在我們發現再往下分的話，拼出的圖形越來越像—— 生：長方形。
師：那怎樣讓它更像長方形呢? 生：繼續往下分。
師：好，咱們繼續往下分。讓我們閉上眼睛想象一下，如果無限分割這個圓片，最后會拼出一個怎樣的圖形呢?
(幾何畫板電腦演示把圓分成256等份，512等份，……驗證學生的想象) 師：孩子們．我們把圓通過無限分割，居然轉化成了一個長方形，實現了“化曲為直”。這個思想，在數學發展史上是有開創性意義的。觀察一下，轉化后的長方形和原來的圓的面積相等嗎?長方形的長相當于圓的什么？長方形的寬相當于圓的什么？同桌交流，把討論的結果記錄在研究單上。
小組交流：
生：我們通過觀察發現長方形的面積等于圓的面積，長方形的長等于圓周長的一半，長方形的寬等于圓的半徑。
師：那現在能推導出圓的面積公式了嗎？試著在你的作業紙上寫一寫。 生：長方形的長相當于圓周長的一半，用C÷2=πr表示，寬相當于半徑，用r表示。長方形的面積=長×寬，圓的面積=πr×r=πr2
師：(邊講邊板書)長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于半徑，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。現在要求圓的面積是不是很簡單了？
師：那現在要測算一個圓的面積，只要測量圓的什么就可以了？ 生：半徑
師：看著這個公式：S=πr2，π表示什么？r是什么？r2表示什么意思？ 隨著學生的回答，課件出示下圖：
師：根據公式S=πr2，誰能說說圓的面積到底是他半徑平方（圖中正方形面積）的多少倍？
師：如果知道正方形的面積是4平方厘米，那么圓的面積是多少平方厘米？如果正方形的面積是5平方厘米，那圓的面積是多少平方厘米？
設計意圖：發揮幾何畫板參數隨機變化的強大功能，演示由圓逐次多分的變
化，讓學生真切地感受到無限分割后，小扇形的弧線最終變成一條“線段”。從而聯想到圓經過無限分割，化曲為直，轉化為長方形，從而發展空間觀念。 三、回歸生活情境，強化空間觀念
計算羊吃到的草地最大面積。(反饋略) 以下各題印在作業紙上。
1.小明所在的學習小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個近似
長方形。他們測得長方形的寬是3厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？
2.小明所在的學習小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個平行
四邊形。他們測得平行四邊形的底邊長18.84厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？
3.根據下面圖形中提供的條件求圓的面積
① ② ③
四、引入歷史情境，提升空間觀念
師：回顧一下，這節課你有哪些收獲? 生：我學會了圓的面積計算公式。
生：我知道了圓的面積是半徑平方的π倍。
生：我懂得了圓經過無限分割，最后實現化曲為直，轉化為長方形。 師：(小結)是呀，重要的不只是會算圓的面積．更重要的是通過無限分割，實現化曲為直。這一思想是17世紀德國數學家開普勒開創的，下面我們一起來聽一聽他當初的想法。（播放微課）
開普勒是17世紀譽滿歐洲的數學家。在他之前，數學家們都是通過從圓內接正多邊形人手，讓邊數成倍增加．用圓內接正多邊形的面積去逼近圓面積，(如圖8)不僅計算復雜，而且所得結果都是近似值。
開普勒受切西瓜的啟發，把圓分割成很多個小扇形，每個小扇形都可以看成等腰三角形。每個三角形的頂點都是圓心，當分的份數越多，這些小三角形的高都就越接近于圓的半徑，所有底邊連起來的長度之和就等于圓的周長。當把這些小三角形拼成拼起來就得到一個長方形(如下圖所示)，長方形的面積就是圓的面積。從而得出了圓面積計算公式。其實，在我國古代數學名著《九章算術》里就有圓面積計算方法的記載：“半周半徑相乘得積步”，意思是說，圓周長的一半乘半徑得圓的面積。這種方法與開普勒的算法完全一致，而且比開普勒的發現早了六百多年。
設計意圖：開普勒的故事豐富了問題解決的方法，拓展了學生思維，使學生
進一步認識到，通過無限分割，實現化曲為直，是數學發展史上具有偉大意義的創舉，是人類對固有認識的一次超越。
附：探究單于后面。
探究單
把一個圓形紙片剪拼成一個近似長方形后，長方形的長相當于圓的什么？長方形的寬相當于圓的什么？
因為，長方形的面積=長 × 寬
所以，圓的面積=（ ）×（ ） =（ ）
探究單
把一個圓形紙片剪拼成一個近似長方形后，長方形的長相當于圓的什么？長方形的寬相當于圓的什么？
因為，長方形的面積=長 × 寬
所以， 圓的面積=（ ）×（ ） =（ ）
作 業 單
求出下列各圓的面積
1.
2、小明所在的學習小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個近似長方形。他們測得長方形的寬是3厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？
3、
4、小明所在的學習小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個平行
四邊形。他們測得平行四邊形的底邊長18.84厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？
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