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視頻標(biāo)簽：圍綠地,長方形和正方形,周長與面積
所屬欄目：小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北京版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《圍綠地—長方形和正方形的周長與面積》北京
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北京版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《圍綠地—長方形和正方形的周長與面積》北京市東城區(qū)府學(xué)胡同小學(xué)
圍綠地——長方形和正方形的周長與面積教學(xué)設(shè)計與反思
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形和正方形的周長與面積后設(shè)計的一節(jié)綜合實踐課。
一、 教學(xué)內(nèi)容：
探究當(dāng)長方形周長一定時，面積的變化規(guī)律：長方形周長一定，長和寬越接近面積越大，長和寬相等時（即正方形）面積最大。
二、數(shù)學(xué)知識背景分析： 所謂的等周問題：等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關(guān)系。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。
雖然等周定理的結(jié)論早已為人所知，但要嚴(yán)格的證明這一點并不容易。首個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明直到19世紀(jì)才出現(xiàn)。之后，數(shù)學(xué)家們陸續(xù)給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。
而將圖形鎖定在長、正方形上就是我們今天這節(jié)課所要研究的問題。而這個問題對應(yīng)的代數(shù)問題即所謂的均值定理或均值不等式：算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)。如果我們設(shè)長為a〉0，寬為b〉0，周長C=2（a+b），面積S=ab，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。
等價于
于是當(dāng)周長C一定時，a+b的和一定，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，即正方形面積最大，最大面積為
數(shù)學(xué)大廈中這么有趣和著名的問題居然出現(xiàn)在小學(xué)三年級的數(shù)學(xué)課本中，想到這些我不禁興奮起來。作為教師我們怎么能輕易放過這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，怎么能不讓我們的學(xué)生親自體驗一下探究數(shù)學(xué)的樂趣，怎么能不讓教師和學(xué)生一起來體驗數(shù)學(xué)的美。
于是我精心設(shè)計了這節(jié)課，但問題是畢竟面對三年級的學(xué)生，講到什么程度，怎么教，教學(xué)目標(biāo)是什么等一系列問題是我下一步要認(rèn)真思考的。
三、 學(xué)情分析：
學(xué)生已掌握了長正方形的周長和面積計算公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，但對于知識的靈活運(yùn)用還有待提高，三年級的學(xué)生抽象、概括能力，獨(dú)立探究規(guī)律的能力也有待增強(qiáng)。
四、 課程理念：
a+b
2≥ab(a+b2)2≥ab(a+b2)2=(C
4)2
國家對教育改革發(fā)展的要求是：要鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性思維、著力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實踐能力、創(chuàng)新能力。2011年的新課程標(biāo)準(zhǔn)將原來的雙基變?yōu)榱怂幕矗鹤寣W(xué)生獲得基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本活動經(jīng)驗。四基是雙基的繼承和超越，基本活動經(jīng)驗獲得了與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、同等重要的地位。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累有助于落實新課程的能力性目標(biāo)、過程性目標(biāo)、情感性目標(biāo)的及對學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)性能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。因此我們要重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累。 五、教學(xué)目標(biāo)：
1．探究發(fā)現(xiàn)長方形周長和面積的變化規(guī)律：周長一定，長和寬越接近，面積越大；長和寬相等時，面積最大。
2．在自主探索、交流、合作等活動過程中，運(yùn)用畫圖、列表等方法，滲透有序思考和數(shù)形結(jié)合思想。積累學(xué)生從事探索規(guī)律活動的經(jīng)驗。
3． 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗探索知識的樂趣，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。
六、基本流程：
引發(fā)思考—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—驗證規(guī)律—幾何解釋—應(yīng)用規(guī)律
七、 教學(xué)過程：
（一）故事激趣，以退為進(jìn)
導(dǎo)入：我們來先聽一個故事，故事的名字是“歐拉智改羊圈”。
歐拉是著名的數(shù)學(xué)家，他小時候，要幫助爸爸放羊。 羊漸漸越來越多了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，面積正好是（600平方米），圍這樣一個羊圈，需要用多長的籬笆，（15+15+40+40=110）可爸爸發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。正當(dāng)父親感到為難的時候，小歐拉卻向父親說：“我能用100米長的籬笆，圍成一個
比這個羊圈面積還大的羊圈。”
提問：你認(rèn)為小歐拉的說法可行嗎？ 預(yù)設(shè)1：圍成正方形面積大。 預(yù)設(shè)2：圍成圓形面積最大。 預(yù)設(shè)3：可以靠墻圍面積大。
揭示課題：看來我們還需要進(jìn)一步的來研究長、正方形的周長與面積。 導(dǎo)語：“100米”數(shù)太大了不好研究，我們先從較小的數(shù)據(jù)入手，認(rèn)識清楚了研究透了，看看有什么規(guī)律，然后再來看這個問題。
出示題目：“用16米的籬笆圍成長方形或正方形，可以怎么圍，面積是多少平方米？
引導(dǎo)學(xué)生明確問題、分析條件、提出思路、規(guī)劃方案。
提問：要圍成什么圖形？這里的16米是什么意思？怎樣圍，也就是要確定長方形的什么？
強(qiáng)調(diào)：無論圍成的是長方形，還是正方形，周長都是16米。 提問：長方形的長和寬怎么確定？
小結(jié)：周長的一半是長和寬的和，因為周長一定，所以長和寬的和也是固定不變的。也就是長和寬的和是一定的�？磥恚覀冎灰_定了寬的長度，長也就知道了。
【設(shè)計意圖】：從歐拉智改羊圈的故事引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。引發(fā)學(xué)生的思考，滲透“以退為進(jìn)”研究問題的策略與方法。分析題目條件和問題，規(guī)劃設(shè)計方案。
（二）自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 1.設(shè)計方案，合作交流
學(xué)生先獨(dú)立完成學(xué)習(xí)單，再合作交流設(shè)計方案。
活動建議：請你把設(shè)計方案畫在方格圖上；計算出圖形的面積填在表格中。 學(xué)生匯報：
預(yù)設(shè)1：學(xué)生沒有將所有情況都找出來了。 師：對他的設(shè)計方案還有什么補(bǔ)充？
預(yù)設(shè)2：學(xué)生將所有情況都找出來，但是無序。 師：對于他所填的情況，你們有沒有好的建議嗎？能不能對所填的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整呀？
預(yù)設(shè)3：學(xué)生將所有情況都找出來，且有序。
師：對于所填的情況，看看有沒有值得我們學(xué)習(xí)的地方呀？ 對比有序與無序，這樣有什么好處？
提問：那怎么能不重不漏的把所有情況都找出來呢？ 小結(jié)：看來我們考慮問題要全面，要有序地思考問題。
【設(shè)計意圖】：在學(xué)生畫圖、列表活動中，滲透有序思考的數(shù)學(xué)思想和方法。
2．觀察圖表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
提問：請你仔細(xì)觀察表格和圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？長方形的長和寬的變化與長方形的面積變化有什么關(guān)系？
學(xué)生小組討論，交流匯報。
預(yù)設(shè)1：長方形的長越來越短，寬越來越長。 預(yù)設(shè)2：長減少1米，寬增加1米。 預(yù)設(shè)3：長和寬的和不變都是8米。 預(yù)設(shè)4：長和寬的差距在縮小。
學(xué)生只關(guān)注了長和寬的關(guān)系，沒有建立與面積變化的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察面積的變化。
預(yù)設(shè)4：正方形面積最大。 預(yù)設(shè)5：長方形面積越來越大。
學(xué)生只關(guān)注了面積的變化，引導(dǎo)學(xué)生建立面積變化與長和寬變化的聯(lián)系，。 預(yù)設(shè)6：長和寬越接近，面積越大。
追問：隨著長和寬怎樣的變化，面積越來越大？
長和寬越接近是什么意思？
長越短，寬越長也就是說長和寬的差怎么樣？ 為什么長和寬的差會越來越小？ 什么情況下，面積最大？
這些發(fā)現(xiàn)是什么不變的情況下才出現(xiàn)。 小結(jié)：周長一定，長和寬越接近（差越�。�，面積越大，長和寬相等時（正方形）面積最大。（板書） 【設(shè)計意圖】：觀察表格數(shù)據(jù)和幾何圖形，小組合作交流，歸納概括出規(guī)律，并通過教師的引導(dǎo)，梳理邏輯關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括、推理能力。
3．自選數(shù)據(jù)，驗證規(guī)律
剛才我們研究了周長是16米的長、正方形，發(fā)現(xiàn)了這樣一個規(guī)律。換個數(shù)還成立嗎？
（1） 獨(dú)立填表，驗證規(guī)律
學(xué)生獨(dú)立完成，有困難的同學(xué)可以舉手示意老師。 （2） 交流匯報，總結(jié)規(guī)律 分層匯報：
第一層（20，24）展示結(jié)果，結(jié)論成立，周長一定，正方形面積最大。 第二層（14......）沒有邊長是整米的正方形。我們找到的最大的長方形是長是4米，寬是3米，面積是12平方米的長方形。
結(jié)論：周長一定，長和寬越接近，面積越大。
718676284125382154
4
8
0
16
周長/m長/m寬/m面積/m²和/m差/m16
第三層（周長奇數(shù)，或困難分享）分析原因。
分析：我們受所學(xué)知識的限制，只考慮長寬是整數(shù)，實際上這個結(jié)論當(dāng)長，寬是小數(shù)時仍然成立。將來我們的知識豐富了，到了中學(xué)還要證明這個結(jié)論。
（3） 大數(shù)據(jù)計算機(jī)驗證規(guī)律
較大的數(shù)據(jù)還有這樣的規(guī)律嗎？我們請計算機(jī)來幫助我們驗證一下。 【設(shè)計意圖】：大量的數(shù)據(jù)驗證，完善學(xué)生對規(guī)律的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的批判精神。
4．幾何模型，解釋規(guī)律
過渡：數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了這樣的規(guī)律，下面我們再回到圖形上，直觀地來看一看。 （1） 動態(tài)演示，幾何直觀
周長一定，長和寬越接近面積越大，那反之，當(dāng)長和寬相差越大時，也就是長越長，寬越短，面積怎么樣？
小結(jié)：周長一定，長和寬相差越大，面積越小。
【設(shè)計意圖】：利用計算機(jī)軟件“幾何畫板”，通過幾何直觀，幫助學(xué)生理解規(guī)律，并滲透極限思想。
（2）解釋規(guī)律，面積模型 為什么長方形周長一定，長和寬越接近面積越大，長和寬相等時，面積最大？ 分析原因：
我們仔細(xì)觀察長7米寬1米的長方形，長與寬的和是8米，長與寬的差是6米。當(dāng)長減少1米時，長變成了6米，這條寬平移到這，此時面積減少了黃色部分1平方米，要想周長不變，寬應(yīng)該怎么樣？寬應(yīng)增加1米，把長減少的部分補(bǔ)到寬上，寬變成了2米，這條長平移到這，此時面積增加了紅色部分6平方米�，F(xiàn)在變成了長6米，寬2米的長方形，這時長和寬的和仍是8米，長和寬的差變
成了4米差距縮小。周長不變，那面積發(fā)生了怎樣的變化？面積減少了黃色部分1平方米，增加了紅色部分6平方米，實際面積增加了5平方米。
師：再認(rèn)真觀察，當(dāng)長又減少1米寬增加1米時，長方形從長6米寬2米變成長5米寬3米時，周長變了嗎？長與寬的差再縮小，面積呢？減少的是哪部分？增加的是哪部分？那實際上面積就怎么樣了？
生：縱列黃色面積減少了2平方米，橫行紅色面積增加了5平方米，面積實際增加3平方米。
師：我們接著往下看看，看看面積又發(fā)生了怎樣的變化？減少的是哪部分的面積，增加的是哪部分的面積？
師：如果長再減少1米，寬增加1米，變成了長3米寬5米的長方形了，這時減少的面積比增加的面積多了，所以面積減少了。
小結(jié)：減少的是縱列面積，增加的是橫行面積，因為長大于寬，所以橫行增加的比縱列減少的多，于是說明當(dāng)周長一定時，長和寬越接近，面積越大。當(dāng)長等于寬時，正方形面積最大。
評價：同學(xué)們真了不起，我們不僅通過一道問題的解答，發(fā)現(xiàn)了這樣一個結(jié)論，并驗證了這個結(jié)論，而且還深入思考解釋了為什么會有這樣的結(jié)論。對于知識我們不僅要知其然，還要知其所以然。
【設(shè)計意圖】：經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律、幾何直觀、解釋規(guī)律、建立模型、溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系等過程，積累學(xué)生從事探索規(guī)律活動的經(jīng)驗。
（三）應(yīng)用規(guī)律，解決問題 1．歐拉智改羊圈故事
你知道歐拉是怎樣解決爸爸的這個難題的？
請你先在紙上算一算，然后和同伴交流你的意見。
正想同學(xué)們所說的，歐拉的確把原來計劃中的羊圈變成了一個邊長為25米的正方形。他用僅有的100米的材料，不僅解決了這個問題，而且還使羊圈的面積變大了。
評語：看來周長長的長方形面積不一定大，利用數(shù)學(xué)合理規(guī)劃，用最少的材料，發(fā)揮最大的效率，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值和魅力所在，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使我們越變越聰明。
2．代數(shù)問題。
○+△=20，○×△的積最大是多少？
提問：這道題和我們剛剛研究的長、正方形周長和面積有什么聯(lián)系。
小結(jié)：兩數(shù)和一定，兩個數(shù)的差越小，積越大，當(dāng)兩個數(shù)相等時，積最大。 利用規(guī)律，不計算比較大�。� 12× 7○13× 6 32×38○34×36
評語：我們解決問題時要善于觀察和發(fā)現(xiàn)隱含條件。
【設(shè)計意圖】：第一題解決智圍羊圈問題，旨在體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。第二題旨在溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系。
（四）全課總結(jié)，拓展延伸
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
同學(xué)們的收獲可真不小，我們是怎么得到的這樣一個結(jié)論的？ 我們通過一個怎么圍籬笆的問題，引發(fā)了我們的思考，從簡單情況較小數(shù)據(jù)入手，以退為進(jìn)，發(fā)現(xiàn)了長方形周長一定時，面積的變化規(guī)律，用更多數(shù)據(jù)驗證了這一規(guī)律，并且建立了幾何模型解釋了這一規(guī)律，最后我們應(yīng)用這一規(guī)律不僅解決了幾何問題還解決了代數(shù)的問題。
正如古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所說：“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”
最后老師留一個思考題，關(guān)于羊圈一面靠墻什么時候面積最大，請你用今天我們研究問題的方法和經(jīng)驗自己探究一下。
【設(shè)計意圖】：回顧梳理本節(jié)課的研究過程，使學(xué)生明確研究數(shù)學(xué)問題的思想和方法，最后拋出一面靠墻圍羊圈的問題，旨在進(jìn)一步積累學(xué)生探索規(guī)律的活動經(jīng)驗。
（五）板書設(shè)計
長、正方形周長與面積
周長一定，長和寬越接近，面積越大，
長和寬相等時，面積最大。
周長16米
16÷2=8米
和一定 差越小 積越大
十、本節(jié)課的亮點： 1． 促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和研究問題的方法。
本節(jié)課實際上就是在上節(jié)課的基礎(chǔ)上，順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生從事探索規(guī)律活動經(jīng)驗的積累和研究問題的科學(xué)方法。并在課后拋出了一面靠墻的問題，也可設(shè)計為第三課時，以便進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生探索規(guī)律活動經(jīng)驗的積累。
2． 溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，以數(shù)助形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合。 本節(jié)課隱藏著一條暗線。從幾何問題入手——利用代數(shù)方法研究——數(shù)據(jù)驗證——幾何直觀——幾何面積模型解釋——應(yīng)用解決實際幾何問題和代數(shù)問題。溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，以數(shù)助形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合。
3． 不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。
本節(jié)課的設(shè)計力求不同的人在數(shù)學(xué)上的得到不同的發(fā)展。 第一層通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)借助幾何直觀，認(rèn)可這一結(jié)論。（知道是什么） 第二層通過幾何模型，應(yīng)用規(guī)律解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。（知道怎么用） 第三層建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，理解和解釋規(guī)律的一般性。（知道為什么） 第四層積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和研究問題的方法。（怎么知道是什么）
長/米 寬/米 面積/平方米 7 1 7 6 2 12 5 3 15 4 4 16
總之，小學(xué)階段，知識簡單但不失嚴(yán)謹(jǐn)，講方法容易但理難辨，我們教師應(yīng)多想一點，講透一點，學(xué)生才會受益多一點，能力高一點。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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