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視頻標簽：橢圓及其,標準方程
視頻課題：人教A版高二數(shù)學選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》湖南省 - 益陽
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高二數(shù)學人教版選修２－１
《橢圓及其標準方程》教學設(shè)計
一、 教學內(nèi)容分析
《橢圓及其標準方程》是全日制普通高級中學教科書（選修2-1）數(shù)學第二
章《圓錐曲線與方程》第一節(jié)第三課時內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用：是圓錐曲線的基礎(chǔ)，學生并不清楚這種曲線的本質(zhì)，隨著學生數(shù)學知識的逐漸完備，要學會探討這個問題的能力。從本節(jié)來講，一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的強化。另一個方面，也是圓錐曲線研究的開始，本節(jié)對以后的雙曲線和拋物線定義的研究，有著至關(guān)重要的作用。
二、學生學習情況分析
學生已經(jīng)學習了圓的定義和圓的方程，曲線與方程，具備一定的分析、觀察等能力。在此之前，學生已經(jīng)熟練掌握由圓的定義寫方程，對生活中的橢圓比較熟悉，為了找出與圓不同的地方，迫切需要學習橢圓的本質(zhì)特征。但是在動手操作與合作學習等方面，發(fā)展不均衡，有待加強。
三、設(shè)計思想
為了培養(yǎng)不僅能“學會”知識，而且能“會學”知識的人才以及根據(jù)“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展”的教學模式，在課堂設(shè)計上，教師應學會如何創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學生學習的興趣；圍繞教材的重難點，比如本節(jié)的橢圓定義與標準方程的推導，教師應學會如何設(shè)計不同的活動環(huán)節(jié)，設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題，通過教師適時的引導，通過生生間、師生間的交流互動，通過學生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思，使學生真正成為學習的主人，不斷完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力，嘗試合作學習的快樂，體驗成功的喜悅。
四、教學目標
1．理解橢圓的定義，會根據(jù)定義判斷 軌跡是否為橢圓。 2.通過探究橢圓的標準方程的求法，
3.營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學。引導學生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，體會數(shù)學的簡捷美、和諧美。培養(yǎng)合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅。發(fā)展數(shù)學應用意識，認識數(shù)學的應用價值。
五、教學重點和難點
教學重點: 體會橢圓的形成過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法。
教學難點：橢圓標準方程的推導（尤其是遇到的根式化
簡的過程與方法）
六、教學過程設(shè)計
（一）設(shè)置情景，導入新課
請大家先看一看，（播放幻燈片生活中的橢圓）你看到了什么形狀？
能把你看到的形狀勾畫出來嗎？ 你還有哪些生活經(jīng)驗能生成橢圓？
手電筒也可以生成橢圓嗎，請大家注意觀察（出現(xiàn)橢圓與圓的形狀） 設(shè)計意圖：從行星軌跡到生活中的橢圓，學生在感嘆大自然的神奇的同時，激發(fā)了學習興趣。
（二）引導探究，獲得新知
師： 圓是怎樣生成的？如果我不小心把繩的兩端分開了，又能得到什么圖形？請大家在紙板上操作一下。
設(shè)計意圖：不僅回顧了圓的定義，而且為如何畫橢圓奠定堅實基礎(chǔ)。
師：認真觀察P點的運動過程，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（利用幾何畫板軟件同步動態(tài)演示）
生： 等于繩長，所以點P在運動時，這兩條線段的和始終等于繩長。 師：這位同學觀察很敏銳，直接抓住關(guān)鍵地方！ 師：那這樣畫出來的圖象是？ 眾生：橢圓。
師：你能類比圓的定義得到橢圓的定義嗎
定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（ 大于 ）的點的軌跡叫做橢圓。
師：很好！如果我們調(diào)整一下這兩個的位置，使得這兩個點的長度剛好等于繩長，會得到什么樣的圖形？大家再合作畫一次。 生：是一條線段。
師：沒錯，我們得到的軌跡一條線段。 師：為什么是線段呢
生：到這兩定點的距離之和相等等于繩長，筆只能在線段之間移動。
師：非常好，那我們再調(diào)整一下這兩個點的長度，比繩長要大，能得到什么軌跡？ 生：畫不了，沒軌跡。
師：現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，你剛剛的作圖，調(diào)整兩點間的距離會得到不一樣的軌跡。
生：繩長大于這兩定點的距離，是橢圓；等于兩點間的距離是線段；小于這個距離沒有軌跡。
設(shè)計意圖：強調(diào)“在操作中促進學習”，體現(xiàn)數(shù)學實驗在學習數(shù)學中的應用價值，同時激發(fā)學生學習計算機知識的興趣。至此本節(jié)的難點得以突破。 活動設(shè)計給出三個實例，讓學生判斷。
例1：(1)在平面內(nèi)，若動點P到A（－3， ），B（3，0）的距離之和為8，則P點的軌跡是（ 橢圓 ）
(2)在平面內(nèi)，若動點P到A（－1， ），B（1，0）的距離之和為1，則P點的軌跡（ 不存在 ）
(3)在平面內(nèi)，點P到A（－4，0 ）與到B（ 4，0 ）的距離之和為８，則P的軌跡為（線段AB）
設(shè)計意圖強調(diào)“在操作中促進學習”，體現(xiàn)數(shù)學實驗在學習數(shù)學中的應用價值，同時再次通過數(shù)據(jù)和定義來判斷軌跡，至此本節(jié)的難點得以突破。
活動設(shè)計 ：鞏固提升，讓學生先利用平面之間的關(guān)系找出兩線段的長度之和為定值且比兩定點的距離要長。
（三）啟發(fā)引導，推導方程
之前我們研究過圓及圓的標準方程，那么橢圓有方程嗎?如何推導橢圓的標準方程呢？讓學生進一步運用研究直線與圓的方程的方法——坐標法，去推導橢圓的方程。前兩節(jié)課我們也學習了求動點的軌跡方程的方法步驟，請學生回顧，并在本環(huán)節(jié)就按如下幾個步驟進行解決問題：
1．建立直角坐標系，設(shè)出動點的坐標 我啟發(fā)學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼怠W生可能會有如下幾種建系方案：
方案1：以定點F1為原點，兩定點的連線為X軸； 方案2：以定點F2為原點，兩定點的連線為X軸；
方案3：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸； 方案4：以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。
方案１ 方案２ 方案３ 方案4 2.寫出動點P滿足的集合
這里我啟發(fā)學生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點M滿足的集合，即： P＝｛M|│MF1│+│MF2│ =2a｝
如果學生有困難，可以安排進行小組討論交流。 3.坐標化
引導學生在設(shè)點的基礎(chǔ)上,將前面得到的關(guān)系式用坐標表示出來。這里學生不會有太大的困難,絕大多數(shù)學生都能得到方程:
移項再平方 即:
兩邊同時平方,得
)()(22222222caayaxca ∵0ca，∴022ca，令2
22bca
則：2
22222baxaxb
兩邊同時除以2
2ba,
得到 )0(122
2
2babyax 圓的標準方程⑴
它表示：① 橢圓的焦點在x軸上
② 焦點坐標為F1（-c，0）、F2（c，0）
③ 2
2
2
bca
小結(jié)：這樣用坐標法推導出了橢圓的標準方程，也是求曲線方程的一般方法，總結(jié)步驟為：1、建系設(shè)點2、寫出動點滿足的集合3、列式4、化簡
設(shè)計意圖：1、通過方程的推導，學會根據(jù)圖形的對稱性建立適當?shù)淖鴺讼担瑢W會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)、探究、研究和計算能力；
2、設(shè)置問題，引導學生獨立思考、使之成為知識的發(fā)現(xiàn)者；
思考：當橢圓的焦點在y軸上時,它的標準方程是怎樣的呢? 學生經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標軸就可以了，從而得到了焦點在Y軸上的橢圓的標
準方程：)0(122
22bab
xay 橢圓的標準方程⑵
它表示:① 橢圓的焦點在y軸
② 焦點是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ 2
2
2
bca（四）拓展引申，對比分析
（五）應用實例，鞏固練習
例２：橢圓的兩個焦點的坐標分別是（－２，0）（２，0），橢圓過點Ｐ（５
２,
３２
）求
橢圓的標準方程？且 ＰＦ１Ｆ２的周長是多少？。
（周長為4+2 ）
點評：求橢圓的標準方程的方法
（1）定位：焦點在x軸上，或是y軸上，確定方程形式
（2）定量：根據(jù)關(guān)系式2
22cab確定22ab和
練習1、已知橢圓
上一點P到橢圓的一個焦點F1的距離為3，則P到另一個焦
點F2的距離為(7),
2、求適合下列條件的橢圓的標準方程 (1)a= ,b=1,焦點在x軸上
(2)焦點為 , 且a=5. 思考：
如右圖所示，C(2,0)為圓A： 半徑上一點，M在圓上，作MC的中垂線交AM于P，當M在圓上運動時，P的軌跡為？ 學生可獨立完成也可以合作交流。 (提示)∵PC+PA=PM+PA= R >AC， ∴P點軌跡為橢圓。
演示《幾何畫板》得出軌跡為橢圓。并且由 c=2,a=3,可得
于是Ｐ的軌跡方程為
.
設(shè)計意圖著重培養(yǎng)學生分析、歸納等能力，用多媒體技術(shù)驗證軌跡，滲透信息技術(shù)的應用。設(shè)計意圖著重培養(yǎng)學生分析、歸納等能力，用多媒體技術(shù)驗證軌跡，滲透信息技術(shù)的應用。歸納小結(jié)，布置作業(yè)
（六）我的收獲：
（1）兩種類型的橢圓方程的比較（注意板書內(nèi)容） （2）總結(jié)判斷焦點位置的方法。（看大小） （3）求曲線方程的方法：坐標法及其步驟 （4）數(shù)形結(jié)合、類比、方程、轉(zhuǎn)化與化歸
（七）作業(yè) １、預習例２ ２、書面作業(yè)：
（１）課本４２面第２題 （２） Ｂ組第一題
３、查找生活的橢圓并利用信息技術(shù)知識探究與橢圓有關(guān)的知識 七、板書設(shè)計
九、教學反思
導入可以更加形象，利用視頻導入更能激發(fā)學生的積極性，教學中的例題可以采用學生易錯題來講解，盡量使用教學平臺，比如利用智學網(wǎng)上的統(tǒng)計結(jié)果，給教與學一個直觀建議。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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