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視頻標簽：橢圓,及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》河北省優課
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人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》河北省優課
橢圓的定義及標準方程
知識目標：
1、熟練掌握橢圓的定義。
2、熟練掌握橢圓的標準方程，會根據所給的條件畫出橢圓的草圖并確定橢圓的標準方程。 能力目標：
1、重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養；
2、啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題； 3、通過教師指導發現知識結論，培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力； 教學重點：橢圓的定義及標準方程。 教學難點：橢圓的定義及標準方程的推導。 教學過程：
創設情景 引入課題
教師：我們以前學習過圓，請同學們回憶一下圓的定義。 學生1：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡。
教師：我們怎么畫圓呢？同學們畫畫看。（課前教師要求學生每人準備一塊硬紙板，兩棵圖釘及一根定長繩子） 學生：（動手畫圓）
教師：：“圓是動點P到定點O的距離為常數的點的軌跡”說成“圓是動點P到定點O的來回距離之和為常數的點的軌跡”行不行？ 學生：（齊聲地）行
教師：現在把這根繩子的兩端分別系在兩顆圖釘上，并分別固定在兩個點上，并保持拉緊的狀態移動鉛筆，請你們畫一畫會是什么樣的曲線？ 學生：（動手畫橢圓） 教師：（演示課件作橢圓）
我們看到這個曲線是一個壓扁了的圓，我們稱為橢圓。 （黑板上板演課題：橢圓的定義及標準方程）
舉例：橢圓是常見的圖形，如：汽車油罐的橫截面，立體幾何中圓的直觀圖，天體中，行星繞太陽運行的軌道等等；計算機：動態演示行星運行的軌道。
（進一步使學生明確學習橢圓的重要性和必要性，借計算機形成生動的直觀，使學生印象加深，以便更好地掌握橢圓的形狀。）
研探新知 建構概念
一、橢圓的定義：
平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距（一般用2c表示） 常數一般用2a表示。（講解定義時要注意條件：022ca） 二：根據定義推導橢圓標準方程： 1：復習求軌跡方程的基本步驟：
橢圓的定義及標準方程 唐山二中 張志萍
yx
M
F1
OF2
A1
A2
B2
B1
y
x
M
F2
F1
2：推導：取過焦點21FF的直線為x軸，線段21FF的垂直平分線為y軸。 設P（x,y）為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是2c（c>0）. 則：)0,()0,(21cFcF，又設M與F1,F2距離之和等于2a（常數）
aPFPFPP221
221)(ycxPF又，
aycxycx2)()(2222化簡，得：
)()(22222222caayaxca，由定義ca22
022ca
令222bca代入，得：
222222bayaxb，兩邊同除22ba得：
12
2
22byax，此即為橢圓的標準方程。 3：（1）122
22b
yax（0ba）表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是)0,()0,(21cFcF，中心
在坐標原點的橢圓標準方程。其中222bca，其中：2a為橢圓上任意點到焦點的距離之和這個定值。
焦距2c，而由 cFF221
（2）橢圓的焦點在y軸上標準方程：122
22bxay（0ba）。如果（選取方式不同，調換
x,y軸）焦點則變成：),0(),0(21cFcF，只要將方程122
22byax中的x,y調換，即可得：
122
22b
xay。（推導中注意：1）結合已畫出的圖形建立坐標系，容易為學生所接受；2）在推導過程中，要抓住“怎樣消去方程中的根式”這一關鍵問題，演算雖較繁，也能迎刃而解；3）其中焦點為F1（c，0）、F2（c,0）,222cab；4）如果焦點在y軸上，焦點為F1（0，c）、F2（0,c），只要將方程中x，y互換就可得到它的方程） （3）方程的特點:
分母哪個大，焦點就在哪個軸上
橢圓的定義及標準方程 唐山二中 張志萍
小試牛刀 初步嘗試
例1：求適合下列條件的橢圓的標準方程 1.焦點坐標為（-4,0），（4,0），橢圓上的點到兩個焦點的距離為10 2.焦點坐標為（0，-4），（0，4），橢圓上的點到兩個焦點的距離為10 3.焦點坐標為（0，-4），（0，4）， P（3,5）為橢圓上的點 4.焦距為8，橢圓上的點到兩個焦點的距離為10 例2：定義的應用
1.如果橢圓136
1002
2yx上的一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一個焦點F2的距離是( ) 2.已知△ ABC的頂點B,C在橢圓11
32
2yx上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ ABC的周長是（ ）
3.已知M為橢圓
19
252
2yx上一點，F1為橢 圓的一個焦點，且|MF1|＝2，N為MF1的中點，則|ON|的長為________．
4.設F1，F2分別是橢圓
116
252
2yx的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為( )． A．4 B．3 C．2 D．5
課堂小結 點睛之筆
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