視頻簡介：
視頻標簽：湖北好課堂,橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《橢圓及其標準方程》黃梅
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《橢圓及其標準方程》黃梅
2.2.1《橢圓及其標準方程》教學設計
黃梅五中------顏采霞
一、教學內容解析
《橢圓及其標準方程》是人教A版普通高中課程選修2-1第二章第二節的內容，是繼學習圓以后運用“曲線與方程”理論解決的二次曲線的又一實例，也是圓錐曲線這一章的一節入門課。從知識上說，它是對前面所學的運用坐標法通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說， 它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種曲線提供了基本模式和理論基礎。因此，這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點。另外，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應起來，體現了函數與方程、數形結合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中階段的數學學習。
二、教學目標分析
1．知識與技能
（1）掌握橢圓的定義，理解橢圓標準方程的推導；
（2）通過橢圓標準方程，能夠判斷焦點位置，及a,b,c的值；
（3）會根據題意利用恰當方法求相應橢圓標準方程.
2．過程與方法
通過引導學生親自動手嘗試畫橢圓，讓學生發現橢圓的形成過程進而歸納出橢圓的定義 , 培養學生的動手能力、分析、概括等邏輯思維能力．讓學生經歷橢圓標準方程的推導過程，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，提高學生運用坐標法解決幾何問題的能力，并滲透數形結合和等價轉化的數學思想方法。
3．情感態度與價值觀
（1）通過探究橢圓定義的實驗，激發學生探索數學的興趣，培養學生團隊協作能力，勇于探索的精神.
（2）通過橢圓標準方程的推導培養學生求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔美”.
三、學生學情分析
我任教的學校是鄉村的普通高中，學生各方面的能力與基礎相對較弱。
1、學生已有認知基礎：學生已經學習了圓的概念及其方程，還有曲線與方程，初步認識了解析幾何課程的特征，即是一門借助坐標法研究幾何的學科，并且已經初步體驗到了數形結合的基本思想；學生有動手體驗和探究的興趣，有一定的觀察分析和邏輯推理的能力。
2、達成目標所需認知基礎：解析法的數形結合思想和求曲線方程的步驟。
3、已有基礎與需要基礎之間的差異：關于橢圓概念的獲得，學生容易通過幾何圖形發現軌跡上的點的特征。但學生不容易形成概念體系并用精準的語言描述。在概括橢圓的定義時，需要教師作適當的啟發，然后再用數學語言進行精確的描述。在推導橢圓標準方程時，如何化簡方程使其最簡潔，學生已有的知識與計算能力不能完全勝任獨立解決的要求，需要教師作適當的講解。
根據以上對教材及學情的分析，確定橢圓的定義及其標準方程為本課的教學重點；橢圓標準方程的推導與化簡為本課的難點。
突破難點策略：首先分析含一個根式的等式的化簡，再者通過學生合作探究，分組討論含有兩個根式的等式的化簡，比較不同方法的優缺點配合多媒體演示，再提煉總結。
四、教學策略分析
（一）教學方法：
主要采取探究式教學法和講授發現法，把教學內容與教具及現代教育手段合理整合，具體做法如下：
1、學生對橢圓的認識比較淺，故用ppt展示實物模型導入新課，目的是激發學生學習數學的興趣，使學生體會到數學來源于生活。從感官上為學習橢圓做準備。
2、前面已經學習了圓的定義，學生通過做實驗，觀察橢圓的形成，有能力通過合作探究得出橢圓定義，教師完善定義及提醒注意事項。
3、學生剛學完曲線與方程的知識，對探究推導橢圓方程有一定難度，特別是對含有兩個根式的等式的化簡，因此在這一過程中主要是教師引導學生共同推出橢圓標準方程，并總結方程特點，多媒體展示。
（二）教具準備：多媒體課件，投影儀和自制教具：繪圖板、圖釘、細繩．
五、教學過程設計
（一）創設情境，認識橢圓．
材料1:對橢圓的感性認識.通過演示課前準備的生活中有關橢圓的實物和圖片，讓學生從感性上認識橢圓.
材料2:“天宮一號與神八對接”模擬軌道圖．請問：天宮一號與神八的運行軌道是什么？（課件演示軌道圖）
引入課題：橢圓及其標準方程．
（設計意圖：利用多媒體，展示學生常見的橢圓形狀的物品及“天宮一號與神八對接”的軌道圖片，激發學生興趣，使學生體會到數學來源于生活，培養愛國思想.）
（二）動手實驗，親身體會．
1．學生分組試驗
(1)取一條長為6cm的細繩；
(2)把細繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點 、 ；
(3)用鉛筆尖（ ）把細繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形是什么？
注意觀察:橢圓形成過程中繩長與兩定點的距離的大小關系，及筆尖滿足的幾何條件.
（教師巡視指導，展示學生成果）
2.分析實驗，得出規律．
(1)在畫圖過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？
(2)在這一過程中，繩子長度變化了嗎？說明了什么？
(3)若記繩長為2a，你能說出在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件嗎？
（設計意圖：在本環節中并不是急于向學生交待橢圓的定義，而是設計一個實驗，讓學生動手操作、合作交流，調動學生學習的積極性。）
（三）總結歸納，形成概念．
學生總結規律： 點M軌跡為橢圓；
點M軌跡為線段F1F2；
點M軌跡不存在．
定義：平面內，到兩個定點 、 的距離之和等于常數（大于 ）的點的軌跡叫做橢圓．
（在歸納橢圓定義的過程中，教師根據學生回答的情況，不斷引導他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導中突出體現“常數”及“常數”的范圍等關鍵詞與相應的特征.）
（設計意圖：通過學生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數學語言的表達能力.）
（四）合理建系，推導方程．
1.復習求曲線的方程的基本步驟：⑴建系、設點；⑵找等量關系；⑶列方程式；⑷化簡；（5）檢驗.（由學生回答，不正確的教師給予糾正．）
（設計意圖：為后面推導橢圓標準方程作知識鋪墊.）
2.如何選取坐標系？
教師提示學生類比圓，學生觀察橢圓的幾何特征（對稱性），如何建系能使方程更簡潔？
（設計意圖：學生已經掌握建坐標系的原則，并且知道可以有多種建系方法，類比圓的方程的推導，直接得出方案．）
3．推導標準方程．
選取建系方案,教師引導學生并共同完成橢圓標準方程的推導.
按方案：以過 、 的直線為 軸，線段 的垂直平分線為 軸，建立平面直角坐標系．設 ，點 為橢圓上任意一點，
則 （稱此式為幾何條件），
∴ 得 （實現幾何條件代數化）.
（想一想：下面怎樣化簡？）
（１）教師為突破難點，進行引導設問：
我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？根據學生提供的方案，對比直接平方與移項后再平方的運算情況，再總結化簡技巧.
經化簡，得 ．
（2） 的引入．
由橢圓的定義可知， , ∴ ．
讓點 運動到 軸正半軸上（如圖2），由學生觀察圖形直觀獲得 ， 的幾何意義，進而自然引進 ，此時設 ，于是得 ， 兩邊同時除以 ，得到方程： （稱為橢圓的標準方程）．
(設計意圖：讓學生明白b有明確的幾何意義.)
（3）建立焦點在 軸上的橢圓的標準方程．
要建立焦點在 軸上的橢圓的標準方程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程，如何做？
方法：按步驟列出方程，利用兩方程結構的異同（結構相同，只是字母 ， 交換了位置），直接得到方程．讓學生課后自主探究.
（設計意圖：對于普高學生來說，橢圓的標準方程的推導與化簡是個難點，如果是學生自主探究，時間上是很難把控的，因此是師生共同推導，教師協從指導．利用類比，化歸的思想得出焦點在y軸上的標準方程，避免重復的繁雜計算．）
4．歸納概括，掌握特征．
（1）橢圓標準方程形式：它們都是二元二次方程，左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；
（2）橢圓標準方程中三個參數 , , 的關系： ；
（3）橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定.
學生填表，投影結果
（設計意圖：有利于學生進一步掌握橢圓標準方程的形式及意義，為后面的例題做知識鋪墊。）
（五）嘗試應用，范例教學．
例1、判斷下列橢圓的焦點在哪個坐標軸上？寫出焦點坐標．
注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然．
（設計意圖：進一步鞏固對橢圓標準方程形式的掌握.）
例2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點的坐標分別是 、 ，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于10.
變式：將上題焦點改為 、 ，結果如何？
(設計意圖：提醒學生區別兩種形式的橢圓標準方程。)
例3、 橢圓的兩個焦點的坐標分別是F1(-4，0),F2(4，0)，橢圓經過點M（ ），求該橢圓的標準方程.
（先和學生一起簡單分析條件中蘊涵的信息，再由學生自己動手完成．教師巡視，學生演板．一起討論總結．）
解題思路1：利用橢圓定義橢圓上的點M（ ）到兩個焦點F1、F2的距離之和為常數2 ,求出 值，再結合已知條件和 、 、 間的關系求出 的值，進而寫出標準方程．
（設計意圖：使學生體會橢圓定義在解題中的重要作用.）
解題思路2：先根據已知條件設出焦點在 軸上的橢圓方程的標準方程 ，再將橢圓上點M（ ）代入此方程，并結合 、 、 間的關系求出 、 的值，從而得到橢圓的標準方程為 ．
(設計意圖：類比前面求圓的標準方程的方法，利用待定系數法求橢圓的標準方程.)
（六）回顧反思，歸納提煉.
1.橢圓定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(大于│F1F2│)的點的軌跡，叫做橢圓.其中兩個定點叫橢圓的焦點，兩定點之間的距離叫焦距.
2.橢圓標準方程
(1)、 橢圓焦點在x軸上： ；
(2)、 橢圓焦點在y軸上： .
3.求解橢圓標準方程的解題方法及數學思想方法.
（七）課后作業，鞏固提高．
課本練習1、2及課后習題2.2A組2.
六、板書設計：
§2.2.1橢圓及其標準方程
一．橢圓的定義
定點F1,F2 , |F1F2|=2c 三.例題
定值 四.小結
二．橢圓的標準方程 ( a2=b2+c2 )
焦點在 軸上: 五.作業
焦點在 軸上:
七、教學反思
①學生通過自主探究得到橢圓的圖形，很有成就感，積極性很高。②在總結橢圓定義時易忽略常數的限制條件，需要老師引導補充。③在推導橢圓標準方程過程中，學生自主推導比較費時，特別是化簡的過程，因此采取老師引導為主的教學方法。④在例3中，學生采用代入點的坐標解方程組的待定系數法求橢圓標準方程，計算量大，學生容易出錯。因此，在以后教學中要多注意學生的計算問題，提高計算能力。
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