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視頻標簽：橢圓及其,標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》甘肅
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人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》甘肅省- 高臺
《橢圓及其標準方程》教學設計
一、教材分析
《橢圓及其標準方程》是普通高中新課程標準實驗教科書人教A版數學選修2-1第二章第二節2.2.1中的內容，是在學生學習了直線和圓的方程的基礎上，運用 “曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實例．從知識上說，它是對前面所學的求曲線的方程的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它為我們后面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎．因此，這節內容有承前啟后的作用．《橢圓及其標準方程》分兩課時完成．第一課時講解橢圓的定義，橢圓的標準方程，求橢圓標準方程的兩種基本方法，即待定系數法和定義法；第二課時講解運用中間變量法求動點軌跡方程的基本思路．本節課是第一課時，是本章和本節的重點內容之一． 二、學情分析
在學習《橢圓及其標準方程》前，學生已學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經驗，用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識．但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學生思維上存在障礙，在學習過程中難免會遇到困難．如：根據圓的定義類比猜想，學生對含有兩個根式之和等式化簡的運算還比較生疏，因此去根式的策略選擇不當等是導致“標準方程的推導”成為學習難點的直接原因． 三、課型 新授課 四、教學目標
1．知識與技能：
（1）了解橢圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．
（2）掌握橢圓的定義、標準方程． 2．過程與方法：
（1）經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，培養學生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力．
2
（2）通過對橢圓的認識及其方程的推導，加強用坐標法解決圓錐曲線問題的能力，進一步體會數形結合的思想．
3．情感態度與價值觀：
（1）通過情景導入，激發學生學習數學的興趣，增強學生的數學應用意識、創新意識，并讓學生受到愛國主義思想的教育．
（2）通過主動探究、合作學習，相互交流，感受探索的樂趣和成功的喜悅，形成嚴謹求實的科學態度，養成契而不舍的鉆研精神。．
（3）通過已知幾何圖形建立直角坐標系的原則及引入參數b的意義，培養學生用對稱的美學思維來體現數學的簡潔美、和諧美． 五、教學重點與難點
重點：掌握橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想． 難點：橢圓標準方程推導與化簡，坐標法的應用． 六、教學策略選擇與設計
1．教法設計：啟發式教學．
在課堂教學中堅持以教師為主導，學生為主體，思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則．
2．學法設計：自主探究，合作交流．
鼓勵學生大膽類比，動手實驗，自主探究，抽象出橢圓定義．課堂上合作交流，用坐標法探究橢圓的標準方程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程．
3．教學手段：多媒體輔助教學．
借助微課視頻、實物投影、PPT課件、幾何畫板演示，有利于引起學生的學習興趣，激發學生的學習熱情，增大知識信息的容量，使內容充實、形象、直觀，提高教學效率和教學質量． 七、教學資源與工具設計
1．多媒體教室． 2．視頻、幾何畫板九、教學過程 教學 環節 教學內容 教師活動 學生活動 設計意圖 （一） 情境 引入， 展示 目標
神州十號載人飛船
發射及與我國的第一個空間實驗室天宮一號的對接視頻，橢圓的實物圖片，展示學習目標．
教師播放
視頻，PPT課件展示橢圓
的實物圖片，引入新課，展示學習目標，觀看視頻，結合課前查閱的資料回
答“神州十號”繞地運
行的軌道．觀
關注現代科技發展，緊貼教學內容。不僅激發了學生學習數學的熱情，勉勵學生
初步應用，強化理解
自我評價，反饋提高 歸納總結，提煉升華 布置作業，延伸課堂 合作探究，推導方程 歸納概括，方程特征 動手實驗，親身體會
交流展示，形成概念
情境引入，展示目標
回顧舊知，類比猜想
4
板書課題． 看實物圖片，從感性上認識橢圓．
勤奮學習，而且讓學生體驗到數學的價值，受到愛國主義思想的教育，建立正確的價值觀。讓學生從感性上認識橢圓，學會用數學眼光觀察生活，發現生活中數學信息．
（二） 回顧 舊知， 類比 猜想
回顧舊知：取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，
拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是什么圖形？
類比猜想：改變圓定
義中的某些條件，問動點的軌跡是什么？
教師強調圓定義中的條件．
教師明確
類比的方法，鼓勵學生大膽類比猜想，提出問題．
學生回顧圓的定義．
學生大膽類比猜想． 關注基礎知識，便于學生溫故而知新，強調圓定義中的條件，為類比猜想做好鋪墊．通過類比猜想開拓學生
的思路，從而創造性地提出問題、解決問題，培養學生的發散性思維和創新意識．
活動1: 取一條定長的細繩，把細繩的兩教師指導學生完成學生小組合作動手實通過學生小
組合作動手實
5
（三） 動手
實驗， 親身 體會
端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 問題1：在運動過程
中，哪些量沒有變？哪些量改變了？你能說出動點滿足的幾何條件嗎?
實驗．
學生展示成果后利用
幾何畫板演示橢圓的形成過程，同時，提出問題1．
驗，完成后小組選出代表，展示成果．
學生帶著問題1觀看老師動畫演示，回答問題1．
驗，調動學生的積極性和主動性，培養了學生動手能力與合作學習的
能力．通過展示成果，幫助學生體驗成功，建立自信．利用幾何畫板動態演示動點生成軌跡的全過程，一是驗證實驗結論，二是幫助學生找到畫出橢圓的條件，進而讓學生歸納橢圓概念．
（四）交流 展示、形成 概念
問題2：結合實驗，請同學們思考：橢圓怎樣定義？
橢圓的定義：平面內與兩個定點12,FF的距離的和等于常數（大于
12FF）的點的軌跡叫
做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓焦教師提出問題２，引導學生歸納橢圓的定義，用PPT課件給出橢圓的定義，并介紹焦點、焦距的定義．
學生歸納橢圓定義的文字語言表
述，給出定義的數學符號語言表述．
通過學生歸納橢圓概念的文字語言表述和數學符號語言表述，讓學生從感性認識自然過渡到理性認識，培養學生的觀察、歸納、概． 3．細繩、圖釘、彩筆、圖板． 八、教學基本流程 距．
微課視頻《定義解讀》：
（1）平面內（這是大前提）
（2）常數2a大于焦距2c．當常數等于
12FF時，軌跡是線段12FF；當常數小于
12FF時，這樣的點不存在．
教師引導學生分析定義的條件，設問后播放微課視頻《定義解讀》．
學生觀看微課視頻《定義解讀》．
括能力以及應用數學語言的能力．通過設問、使學生養成反思質疑的學習習慣．播放微課視頻，加深學生對橢圓定義中的關鍵詞匯的理解，認識本質，真正使學生理解定義的內涵和外延．同時體會數學的嚴謹性，逐漸養成嚴謹的科學態度．
(五) 合作
探究， 推導 方程
問題3：如何求橢圓的方程?
活動２：觀察橢圓的
形狀，你認為怎樣建立直角坐標系？ 方案一：
教師提出問題３，引導學生提出新的問題：如何建系？
教師將各組學生的討論方案歸納起來評議，選定方案． 教師采用
學生回憶求曲線方程的一般步驟．
小組合作
探究，完成建
系后各小組選出一個代表，和大家一起分享成果．
通過引導學
生推導橢圓的標準方程，使學生進一步熟悉用坐標法，滲透數形結合的數學思想． 采用“公平”的原則，
選擇建系方案，將現代社
7
方案二：
活動３：怎樣化簡方案一中方程
2
2
2
2
(2）（）xcyxcya
問題４：先借助圖形來找出方程中a、c的
關系，在圖中你能找出表示,,abc的線段嗎？
問題５：方案二中的橢圓方程又是什么呢？
啟發式提問，完成設點、列式．
教師適時
指導學生完成方程化簡，引導學生推導出了橢圓的標準方程．
教師引導學生回答，理
解,,abc等量關系及不等
關系．
教師提出問題５，引導學生觀察方
學生小組合作完成方程化簡，展示化簡過程，生
生互動交流，答疑解難．
學生回答．
學生提出方案二中求解的橢圓方會和道德提倡的“公平”應用到數學中，滲透社會主義核心價值觀。
初步了解含有兩個化根號的等式化簡方法，提高數據
處理能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學的簡潔美、對稱美． 通過數形結合，幫助理解b的選取雖然是為了方程形式簡潔與和諧，但也有實際的幾何意義．
培養了學生形式推理能力，避免重復
8
焦點在y軸上的橢圓的標準方程
2
2
221yx
ab
0ab
案二中列出的式子與方案一列出的
式子的區別和聯系，推導
焦點在y軸上的橢圓的標準方程．結合圖形建立
,,abc的幾何
意義．
程的方法． 觀察方案二中列出的式子與方案一列出的式子的區別和聯系，得焦點在
y軸上的橢
圓的標準方程．
勞動．
(六) 歸納 概括，方程 特征
問題６：橢圓的標準方程有什么特征？
（1）橢圓標準方程對應的橢圓中心在原點，以焦點所在軸為坐標軸；
（2）橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1； （3）橢圓標準方程中,,abc的關系：
0ab,222cab；
（4）橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定，誰的分母大焦點就在哪個軸上．
教師提出問題６，對學
生討論的結
果進行點評． 學生觀察
橢圓圖形及其標準方程，合作交流，總結歸納．
通過對比總
結，焦點分別在x軸和y軸
上的橢圓的標準方程的異同點，從而深化學生對橢圓標準方程的理解，培養學生的觀察、歸納、概括能力．（七） 初步 運用，強化 理解
焦點的坐標分別是12,0F，22,0F，
并且經過點53,22M
，求它的標準方程．
方法一：用待定系數
法求解．
方法二：由橢圓的定義及給出的條件，容易求出,,abc．
生分析條件． 板書方法二的完整解答
過程．引導學生比較兩種
方法．
決問題的方法．
學掌握通性通法——待定系數法，體會橢圓定義在解題中的重要作用．利用橢圓的定義解題會使解題較簡單，初步給學生一個印象，為雙曲線和拋物線的相關問題提供解決途徑，提高解題能力．二是加強對知識的記憶，提醒學生在解題時先要根據焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程，體現先定“位”，在定“量”的思想，為以后處理問題做好準備．
(八) 自我 評價，反饋 提高
活動4：請同學們完成下面的練習看誰又快又準？
1．動點P到定點F1（－5，0），F2（5，0）
讓學生自己練習，核對答案．
學生獨立完成．
加深學生對所學知識的理解和運用，使學生掌握基礎知識．同時，
10
的距離的和是10，則動點P的軌跡為（ ）
A橢圓 B線段F1F2 C直線F1F2 D不能確定
2．橢圓22
1
10036
xy上一點P到焦點F1的距離等于6，則點P到另一個焦點F2的距離是 ．
檢測學生對橢圓的定義及其標準方程的掌握情況，及時反饋，強化知識點的學習，以求達到教學目標，為下節課內容的學習打好基礎．
(九)
歸納 總結，提煉 升華
１．一個概念：
122MFMFa
122aFF．
２．兩種方程：
2
2
2210xy
abab；22
22
10yxabab． ３．三個意識：求美意識，求簡意識，猜想意識．
讓學生歸納總結，教師加以補充，PPT課件展示．
學生回顧
本節課內容，思考交流，歸納總結．
關注學生學
習的主動性，將課堂還給學生，既是對一節課的簡單回顧與梳理，也是對所學內容的再次鞏固。采用“一個概念、兩種方程、三個意識”的方式，目標明確，重點清晰，易于掌握所學內容，構建知識鏈．
(十) 布置
作業， 延伸
作業1.課本習題2.1 A組第1題，第2題第（1）小題. 作業2.課后探究
教師布置作業，說明要
求．
學生獨立完成作業1, 學有余力的學生可合作
體現分層教學的思想，使各層次的學生都找到各自的學習
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課堂
題：將推導橢圓方程過程中得到的方程a2－cx=a22)(ycx變
形為
a
cxc
aycx
2
2
2)(后觀察式子的幾何意義，提出合理猜想．
交流完成作業2．
區，進一步完善教學目標的實現。體現作業的鞏固性和發展
性原則。
九、板書設計
§2.2.1橢圓及其標準方程 1. 橢圓定義 2. 橢圓的標準方程 圖形
,,abc的關系
標準方程 焦點坐標
橢圓標準方程的推導
例題分析
例題解答
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