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視頻標簽：橢圓,及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-1第二章2.2.1橢圓及其標準方程（1）海南省 - 瓊海
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2.2.1橢圓及其標準方程（1）
一、教材分析
本節課是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》選修2-1中的第二章第二節第一課時的內容，其主要內容是研究橢圓的定義及其標準方程，屬于概念性知識。
從知識上講，本節課是在數學必修二中直線和圓的基礎上，對解析法的又一次實際運用，同時也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上講，為進一步研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎；從教材編排上講，三種圓錐曲線獨編為一章，體現橢圓的重要地位。解析幾何的意義主要表現在數形結合的思想上，在研究橢圓定義和方程的過程中，幾何直觀觀察和代數嚴格推導相互結合，同時要借助圓作類比，用類比的思想為學生的思維搭橋鋪路。因此本節課內容起到了承上啟下的重要作用，是本章和本節的重點。
二、學生學情分析
學生已經學習了圓的概念及其方程，初步認識了解析幾何課程的特征，并且已經初步體驗到了數形結合的基本思想；學生有動手體驗和探究的興趣，有一定的觀察分析和邏輯推理的能力；學生有建立圓的概念和方程的經歷。
學生容易通過幾何圖形發現軌跡上的點的特征，但學生不容易形成概念體系并用精準的語言描述。在概括橢圓的定義時，需要教師作適當的啟發，然后再用數學語言進行精確的描述。推導橢圓標準方程時會遇到兩個困難，首先是坐標系如何建立才能使橢圓方程更簡單，需要學生回顧建系原則 ，根據橢圓的對稱性建立直角坐標系。其次是如何化簡含有兩個根號的方程，學生已有的知識與能力不能完全勝任獨立解決的要求，需要教師作適當的講解。本節課采用啟發探究式的教學方式。在啟發探究式教學過程中，以問題引導學生的思維活動，教學中結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高。
三、教學目標
1.知識與技能：1.通過用細繩畫橢圓的實驗，類比圓的定義，能用自己的語言敘
述橢圓的定義
2.能選擇適當的直角坐標系建立橢圓的方程 3.能簡單判斷橢圓焦點的位置
4.會運用定義和待定系數法求橢圓的標準方程
2.過程與方法：通過自我探究、實驗、數學思想(類比、坐標法、數形結合)的運
用等，從而提高實際動手、合作學習以及運用知識解決實際問題的能力。
3.情感態度與價值觀：通過橢圓知識的學習，體會類比思想、數形結合思想和坐
標法；在教學中充分揭示“數”與“形”的內在聯系，體會形數美的統一，激發學習數學的興趣，培養勇于探索，勇于創新的精神。
四、教學重點難點
重點：掌握橢圓的定義及標準方程，理解坐標法的基本思想 難點：橢圓標準方程的建立和推導化簡
五、教學過程
1.創設情境、引出新知
學生觀察生活中橢圓的例子，引出本節課題《2.2.1橢圓及其標準方程（1）》
回顧如何畫圓，思考圓上的點滿足什么條件？引出問題：如何畫橢圓，橢圓上的點都滿足什么條件？
2．嘗試實驗，探究定義
請學生拿出事先準備好的自制教具：硬紙、細繩、圖釘、鉛筆，同桌同學一起合作按要求做實驗。請兩位同學上臺給大家演示實驗過程，在實驗過程中引導學生思考：移動的筆尖（動點）滿足什么條件？
回顧圓的定義，類比圓的定義，引導學生用自己的語言給出橢圓的定義。教師總結完善橢圓定義，強調動點到兩定點距離和為常數，常數大于||21FF，并引導學生思考：常數等于或小于||21FF時形成什么軌跡圖形？
3．探究建系，推導方程
引導學生思考回答以下問題：
（1）求動點軌跡方程第一步是什么？
（2）建系原則是什么？如何建系才能使方程更加簡單？ （3）如何建系才能使橢圓的方程簡單？ 以經過橢圓兩焦點的直線為x軸，以兩個焦點連線的中點為原點，建立直角坐標系。設出動點的坐標，寫出動點滿足的條件，把動點條件坐標化。引導學生
思考如何化簡含有兩個根號的方程，化簡得到方程 12
2
2
22cayax 。引導學生在橢圓上找出22,,acac表示的線段，理解引入22cab的必要性及幾何意
義，體會解析幾何的數形結合思想。最后得到橢圓的標準方程)0(122
22bab
yax 4.拓展引申，對比分析
提出問題：我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如果橢圓的焦點在y軸上，橢圓的標準方程是怎樣的呢？
學生經過觀察思考會發現，只要交換坐標軸就可以了，從而得到了焦點在y
軸上的橢圓的標準方程：122
22b
xay （a＞0,b＞0）。教師從方程推導過程和圖
像變換給學生展示坐標軸交換緣由，加深學生的理解。
接下來，讓學生對兩種方程進行對比分析，說出相同點和不同點，強化對橢圓兩種標準方程的理解。
5.當堂訓練，鞏固知識
（1）寫出下列橢圓方程的cba,,的值以及焦點坐標
6
23116914411625222
22
2yxyxyx
學生上臺演算，總結考察知識點：222.1bca，2.如何判斷焦點坐標
（2）已知橢圓的兩個焦點坐標分別為)0,2(),0,2(21FF，并且經過點)2
3
,25(M，
求它的標準方程。
教師分析引導學生給出兩種解答方法：定義法，待定系數法，兩位學生上臺用不同方法解答。
6.歸納小結
定義
不 同 點
圖形
標準方程
焦點坐標
相 同 點
cba,,的
關系
焦點位置的判斷
六、教學反思
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