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視頻標(biāo)簽：直角三角形,邊角關(guān)系

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章《直角三角形的邊角關(guān)系--回顧與思考》河南省 - 平頂山

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北師版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章
《直角三角形的邊角關(guān)系--回顧與思考》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、學(xué)生狀況分析
學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在本章以前，已經(jīng)掌握了直角三角形三邊之間的關(guān)系、三角之間的關(guān)系、以及有一銳角是30°的特殊直角三角形的邊角關(guān)系。而通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生才更多的認(rèn)識(shí)到一般直角三角形的邊角關(guān)系，掌握了特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值，并能用三角函數(shù)將直角三角形的邊與角聯(lián)系起來(lái)，也能利用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
   學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)特殊角三角函數(shù)值的探究及總結(jié)過(guò)程，嘗試了利用計(jì)算器進(jìn)行一般角的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的互換，也能把簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，學(xué)生能熟練使用計(jì)算器，并具備了一定的探究能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
二、教學(xué)任務(wù)分析
   本節(jié)是章末復(fù)習(xí)課，主要是讓學(xué)生復(fù)習(xí)并熟練一章知識(shí)點(diǎn)，并能站在新的高
度總結(jié)、梳理本章知識(shí)結(jié)構(gòu)；能夠運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)中繼續(xù)滲透“數(shù)形結(jié)合”、“數(shù)學(xué)建模”等思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。
由此，制定的教學(xué)目標(biāo)是：
1. 復(fù)習(xí)、梳理本章內(nèi)容，進(jìn)一步理解銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，理解各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系及本章與已學(xué)相關(guān)章節(jié)的深層聯(lián)系。
2. 熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形，解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用能力。
3. 經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)  思維品質(zhì)；經(jīng)歷對(duì)知識(shí)梳理、知識(shí)結(jié)構(gòu)重構(gòu)的過(guò)程，加深對(duì)三角形的邊、角及圖形的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新之美、模型之美。
三、教學(xué)過(guò)程
本節(jié)設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：了解課標(biāo)——復(fù)習(xí)概念——梳理知識(shí)——典型練習(xí)




                            ——總結(jié)思路——暢談收獲
環(huán)節(jié)（一）了解課標(biāo)
   教師帶領(lǐng)學(xué)生一起了解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)本章的要求： 1.了解銳角三角函數(shù)的概念；
2.掌握300，450，600角的三角函數(shù)值；
3.會(huì)使用計(jì)算器求三角函數(shù)值，或由三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)銳角；
4.會(huì)用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用三角函數(shù)解決有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解《課標(biāo)》要求，對(duì)接下來(lái)的學(xué)習(xí)有的放矢。

環(huán)節(jié)（二）復(fù)習(xí)概念
1.銳角三角函數(shù)的概念
在Rt ΔABC中，∠C=90°，則正弦 sinA=      余弦 cosA=     正切 tanA=


B
2、直角三角形的邊角關(guān)系
（1）三邊之間的關(guān)系：（2）兩銳角之間的關(guān)系：  （3）邊角之間的關(guān)系：    3、特殊角的三角函數(shù)值

思考：銳角A的正弦值、余弦值有無(wú)變化范圍？ 4、實(shí)際生活中的應(yīng)用：




                            仰角、俯角、坡度、坡角、方位角
設(shè)計(jì)意圖：回顧復(fù)習(xí)本章基礎(chǔ)概念，喚醒學(xué)生記憶，加深對(duì)概念的理解。

環(huán)節(jié)（三）梳理章節(jié)結(jié)構(gòu)
1. 同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)交流、完善自己的章節(jié)思維導(dǎo)圖（課前，學(xué)生梳理本章知識(shí)脈絡(luò),初步繪制思維導(dǎo)圖或章節(jié)結(jié)構(gòu)圖）。教師在班內(nèi)巡視指導(dǎo).  2.推選2個(gè)學(xué)生代表上臺(tái)展示,教師補(bǔ)充提升.  學(xué)生繪制的思維導(dǎo)圖舉例:




                            設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手畫(huà)思維導(dǎo)圖，對(duì)本章的知識(shí)進(jìn)行再加工創(chuàng)造。通過(guò)利用思維導(dǎo)圖的放射性思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理、對(duì)考點(diǎn)進(jìn)行歸納、對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，在這個(gè)過(guò)程中，進(jìn)一步鞏固本章知識(shí)，形成知識(shí)間的系統(tǒng)聯(lián)系，達(dá)到對(duì)本章乃至相關(guān)章節(jié)的知識(shí)重構(gòu)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。提升學(xué)生思維品質(zhì)。
環(huán)節(jié)（四）典型練習(xí)
１. 如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan A的值是（  ）
A
56     B 65     C 3102    D 20
103
  師生共同明確考查知識(shí)點(diǎn)和解答方法，即，求解三角函數(shù)需要構(gòu)造直角三角形。設(shè)計(jì)題圖：本題意在復(fù)習(xí)考察三角函數(shù)的概念。學(xué)生在求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)容易忽略“直角三角形”這一前提條件。通過(guò)典型例題為切入點(diǎn)，復(fù)習(xí)三角函數(shù)的概念，明確三角函數(shù)值是在直角三角形中定義的，但是三角函數(shù)值的大小只和角的大小有關(guān)，和它所在的三角形無(wú)關(guān)。
2.變式：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，tanA=5
6
,tan∠BCD=2, AC=30,求BD 的長(zhǎng)。

  (1) 首先學(xué)生獨(dú)立完成,教師在班內(nèi)巡視，指導(dǎo)學(xué)生并及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生做題過(guò)程中的問(wèn)題。
  (2) 挑選學(xué)生代表上臺(tái)講解分析.
(3) 反饋學(xué)生做題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，分析原因。
設(shè)計(jì)意圖：在例1的圖形和數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上進(jìn)行改編，從而復(fù)習(xí)考察解直角三角形這一知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)一題多變，提高復(fù)習(xí)效率。教師提供機(jī)會(huì)，讓學(xué)生展示不同思路，體會(huì)數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新之美。
3.推廣：如果把∠A，∠BCD變成任意角，AC長(zhǎng)不變，你還能求出BD嗎？學(xué)生動(dòng)手計(jì)算：設(shè)∠A=α,∠BCD=β，AC=a，求BD。設(shè)BD=x，則AD=
tanx，CD=
tanx
, B
A
C
D
B
A
C
D




                            由AD-CD=a,可列方程：

tanx-
tanx
=a
從中解出x的值。
（1）學(xué)生獨(dú)立完成（2）小組內(nèi)交流不同方法。
（3）教師用PPT出示一份學(xué)生作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書(shū)寫(xiě)過(guò)程，并注意解決方
法的多樣性。
教師點(diǎn)撥：（1）解出x的值后，便可繼續(xù)求出圖中任何一條線段。
          （2）利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，常用輔助線做法是構(gòu)造直角三角形。  設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這一活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊情形推廣到到一般情況，抽象出數(shù)學(xué)模型，歸納出一般方法，從而掌握解決這一類(lèi)問(wèn)題的技能，并為接下來(lái)的實(shí)際應(yīng)用打下基礎(chǔ)。同時(shí)利用“獨(dú)立完成--小組交流--班內(nèi)統(tǒng)一”的形式，在學(xué)生有充分體驗(yàn)和思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小范圍交流及班內(nèi)匯總，著眼于學(xué)生主體地位，注重思維的多樣性和課堂實(shí)效。
4.如圖所示，我國(guó)兩海監(jiān)船A、B在南海海域巡航，某一時(shí)刻，兩船同時(shí)收到指令，立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C.此時(shí)，B船在A船的正南方向5海里處，A船測(cè)得漁船C在其南偏東45°方向，B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里/小時(shí)，B船的航速為25海里/小時(shí)，問(wèn)C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援？
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
（1）選派一名學(xué)生演板，其他學(xué)生獨(dú)立完成，教師在教室內(nèi)巡視并指導(dǎo)。解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠CDA=90° 已知∠CAD=45°，設(shè)CD=x，
在Rt△ADC中AD=45tanx
=x，在Rt△BDC中，BD=53tanx




                            ∵BD=AD-AB=5x
∴53tanx
=5x
即x=53tan)5(x
解得201
3
434
5153tan53tan5

x ∴255
4
2053sin
CDBC
∵B船的航速為25海里/小時(shí) ∴至少需要航行1小時(shí)。
（2）教師帶領(lǐng)學(xué)生點(diǎn)評(píng)學(xué)生演板情況。
（3）總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)和注意事項(xiàng)。易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)算出錯(cuò)。注意事項(xiàng)：構(gòu)造直角三角形，并恰當(dāng)選擇三角函數(shù)。
設(shè)計(jì)意圖：本題為2017河南中考19題，考察三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。本題讓學(xué)生對(duì)總結(jié)的數(shù)學(xué)模型加以應(yīng)用和鞏固。并且用中考題讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際操練，對(duì)于九年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常必要，也有針對(duì)性。另外，在多個(gè)情境中培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決問(wèn)題，滲透數(shù)形結(jié)合思想和模型思想。
5. 高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題。   如圖所示，底座上A，B兩點(diǎn)間的距離為90cm．低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長(zhǎng)為155cm，高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長(zhǎng)為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°．求高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm）
參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

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