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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《指數(shù)》山西—陳
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山西—陳紅贊—設(shè)計(jì)—指數(shù)
4.1 指 數(shù)
教學(xué)設(shè)計(jì)（兩個(gè)課時(shí)）
臨猗中學(xué) 陳紅贊
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
指數(shù)，包括n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪和它們的運(yùn)算性質(zhì)．
本單元需2課時(shí)，第1個(gè)課時(shí)，從n次方根、根式到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，將整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理數(shù)指數(shù)冪；第2課時(shí)，無理數(shù)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)．
2.內(nèi)容解析
從數(shù)學(xué)內(nèi)部看指數(shù)函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)
的
次方
，從“個(gè)
相乘之積”的原始意義出發(fā)，得到其運(yùn)算性質(zhì)：
.
再逐步推廣，使得
對任意實(shí)數(shù)
都有意義，這樣就得到了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系： 
把這個(gè)對應(yīng)關(guān)系作為一個(gè)函數(shù)，記為
稱為以為底的指數(shù)函數(shù).
由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，自然地就有指數(shù)函數(shù)的如下性質(zhì)：
同時(shí)，只要一個(gè)函數(shù)滿足上式，那么它就是一個(gè)指數(shù)函數(shù)
所以，指數(shù)函數(shù)是與指數(shù)運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì)緊密關(guān)聯(lián)的一個(gè)函數(shù)，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)在“教學(xué)提示”中強(qiáng)調(diào)“指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律”的緣由．
從上述分析可見，從數(shù)學(xué)角度看，指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)．
在初中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)系已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，但指數(shù)冪的定義只推廣到整數(shù)指數(shù)冪，本單元的任務(wù)就是要把指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．
指數(shù)冪的推廣實(shí)質(zhì)上是將指數(shù)的范圍進(jìn)行逐步推廣，使其對任意實(shí)數(shù)都有意義，推廣的思想方法與數(shù)系擴(kuò)充的思想基本一致，就是將的指數(shù)的范圍逐步推廣到全體實(shí)數(shù)，而在推廣過程中要使指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到保持，其具體過程是從自然數(shù)的乘方是自然數(shù)自相乘的縮寫出發(fā)，逐步解決幾個(gè)“關(guān)節(jié)點(diǎn)”問題．
設(shè)
是個(gè)相乘之積，所以自然有
(1)0和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義
這一步與引進(jìn)0和的相反數(shù)
從而將自然數(shù)系擴(kuò)充到整數(shù)系的想法有些類似．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的定義
聯(lián)系平方根、立方根具有的性質(zhì)，即
，首先把根式的定義推廣到次根式，把使
成立的叫做的次方根，其中
且
.當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，用符號
表示．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)，寫成
，負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0.記作
.上述得到根式定義和性質(zhì)的過程具有完備性，對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維很有用，特別是在歸納定義的過程中，可以有效地培養(yǎng)思維的邏輯性．
接下來我們?nèi)绾窝芯糠謹(jǐn)?shù)指數(shù)冪呢？一脈相承地，我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用.當(dāng)根式的被開方數(shù)(看成冪的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，利用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
，學(xué)生將
(
)與
()分別寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，這就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)(看成冪的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)的形式是合理的，
那么當(dāng)根指數(shù)不能整除被開方數(shù)的指數(shù)時(shí)，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢？在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)知道正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù)c=
也可記作
，那么它的合理性在什么地方呢？以此為切入點(diǎn)，可以想象對于
而言，一定存在
，使得使得
=
，則
=
=
(
)
從上述推導(dǎo)過程可以看出：
合理性的前提是整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
這種兼容性為運(yùn)算帶來極大的方便，同時(shí)也說明了次方根表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的合理性.至此，關(guān)于正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
就順理成章了.
與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，可規(guī)定
；與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，可規(guī)定0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)冪中指數(shù)的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)．
整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)
均有運(yùn)算性質(zhì)：
①
②
③
（證明過程略，學(xué)有余力的學(xué)生可以嘗試證明）
事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識的完備過程和途徑并不是唯一的，我們也可以從另外一個(gè)角度出發(fā)，由
可見,規(guī)定
是合理的,進(jìn)而規(guī)定也是自然的.這個(gè)思路放在最后課堂小結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生思考.
(3)無理數(shù)指數(shù)冪的定義
這里需要解決的問題仍然是：當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，的意義是什么，它是否為一個(gè)確定的數(shù)？如果是，它有什么運(yùn)算性質(zhì)？解決的方法是，利用初中學(xué)習(xí)中借助有理數(shù)認(rèn)識無理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過有理數(shù)指數(shù)冪認(rèn)識無理指數(shù)冪，需要用有理數(shù)指數(shù)冪夾逼無理數(shù)指數(shù)冪．
總之，指數(shù)冪的推廣是數(shù)系擴(kuò)充的一部分，主要是明確指數(shù)冪的意義及其運(yùn)算的性質(zhì)．實(shí)際上，指數(shù)冪，除為正整數(shù)外，它的意義不明顯．與對有理數(shù)、無理數(shù)的研究重點(diǎn)有所不同，對指數(shù)冪，我們不太關(guān)心
到底是多少，重點(diǎn)是對它有什么“與眾不同”的性質(zhì)進(jìn)行考察．的最重要的性質(zhì)是
，再加上
等少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)，就完全確定了．
3.教學(xué)重點(diǎn)
指數(shù)冪的推廣，實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及其性質(zhì)．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）通過對有理數(shù)指數(shù)冪
、實(shí)數(shù)指數(shù)冪
含義的認(rèn)識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并通過初步應(yīng)用提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．
（2）通過類比無理數(shù)的形成過程，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義．
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
(1)經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，能說出的次方根的意義，能說出
等符號的意義以及它們之間的邏輯關(guān)系，能說出0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．
(2)能說出有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，能用有理數(shù)指數(shù)冪的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的化簡、求值.
(3)通過具體實(shí)例，感受用一對有理數(shù)指數(shù)冪左右夾逼無理數(shù)指數(shù)冪的過程，認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪的含義，能說出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
三、教學(xué)問題診斷分析
1.問題診斷
學(xué)生在初中階段經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推廣過程，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，積累了一定的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，為本單元的學(xué)習(xí)奠定了一定基礎(chǔ)．但學(xué)生往往把注意力集中在具體運(yùn)算上，對數(shù)系擴(kuò)充的原則，指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì)等缺乏必要的關(guān)注，而本單元的內(nèi)容主要是“定規(guī)則”，著力點(diǎn)在指數(shù)冪的指數(shù)的范圍擴(kuò)充后的意義，不僅抽象而且邏輯性強(qiáng)，所以存在較大困難．
首先，學(xué)生不清楚從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪推廣的整體架構(gòu)．這樣，他們對從哪里入手推廣、按怎樣的邏輯順序展開、每個(gè)環(huán)節(jié)如何實(shí)施才能做到邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)榷紩容^茫然．也就是說，學(xué)生對該做什么和如何做都不太清楚，從而造成被動學(xué)習(xí)．為了解決這個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生回顧從有理數(shù)到實(shí)數(shù)(主要是平方根和立方根)、正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推廣過程，通過適當(dāng)?shù)闹v解，為學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)哪_手架，使他們在適當(dāng)?shù)念惐葘ο笙抡归_學(xué)習(xí)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動性．
其次，從根式的意義到有理數(shù)指數(shù)冪的含義的理解，其中涉及數(shù)學(xué)符號表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換要滿足等價(jià)性，其抽象性，邏輯性都很強(qiáng)，需要較強(qiáng)的代數(shù)思維和邏輯推理能力，這對學(xué)生具有挑戰(zhàn)性．教學(xué)中，要注意通過類比數(shù)系的擴(kuò)充過程，通過具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解定義
的合理性，并按照數(shù)學(xué)定義的完備性要求給出完整的有理數(shù)指數(shù)冪的定義，從而建立起理解有理數(shù)指數(shù)冪含義的基礎(chǔ)．
第三，因?yàn)閷W(xué)生的運(yùn)算技能、代數(shù)思維等方面的欠缺，他們在進(jìn)行根式，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算等過程中經(jīng)常會出現(xiàn)錯(cuò)誤．教學(xué)中要注意發(fā)揮這個(gè)內(nèi)容在提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的作用，讓學(xué)生充分經(jīng)歷從具體實(shí)例到運(yùn)算法則的歸納過程，使他們在理解根式的意義、有理數(shù)指數(shù)冪的含義基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)膹母降椒謹(jǐn)?shù)指數(shù)冪的解題訓(xùn)練，形成較好的運(yùn)算技能．
第四，無理數(shù)指數(shù)冪的含義涉及數(shù)列的極限，具有構(gòu)造性，也是本單元的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)．教學(xué)時(shí)要注意借鑒初中階段用有理數(shù)夾逼無理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過信息技術(shù)手段提供直觀理解的支持，幫助學(xué)生更好地體驗(yàn)無理數(shù)指數(shù)冪的唯一確定性．
2.教學(xué)難點(diǎn)
(1)建立指數(shù)冪推廣的整體架構(gòu)；根式性質(zhì)的理解；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及無理數(shù)指數(shù)冪的意義．
(2)對無理數(shù)指數(shù)冪的理解:用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪．
四、教學(xué)支持條件分析
PPT課件，GGB課件
通過計(jì)算工具計(jì)算、展示
等的不足近似值、過剩近似值夾逼
，
的過程，并在數(shù)軸上進(jìn)行動態(tài)演示．
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
4.1.1 n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
（第一課時(shí)）
引導(dǎo)語 在第三章我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)，并初步應(yīng)用它研究了“冪函數(shù)”，大千世界中很多的現(xiàn)象、規(guī)律都可以用函數(shù)刻畫，從本章開始，我們將利用上一章的知識、方法和經(jīng)驗(yàn)研究幾個(gè)具體的函數(shù)．
環(huán)節(jié)一 了解背景，整體把握
請同學(xué)們先閱讀課本第103頁的章頭圖和章引言.
問題1：本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？涉及到哪些函數(shù)？可以解決哪些現(xiàn)實(shí)問題？
師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀、思考并回答，教師予以點(diǎn)撥，并揭示課題．
本章學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這兩類基本初等函數(shù)及其基本性質(zhì)和應(yīng)用。細(xì)胞分裂、人口增長、放射物質(zhì)的衰減、測定遺址的年代等現(xiàn)實(shí)問題都可以利用這兩類函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來刻畫它們的變化規(guī)律。
追問：為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù)．初中已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪，類比數(shù)域的擴(kuò)充，你覺得指數(shù)冪的推廣路徑是什么？擴(kuò)充的原則是什么？
師生活動：學(xué)生類比思考，得出.
推廣路徑：將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，然后推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.（板書推廣路徑）
擴(kuò)充的原則是新的數(shù)域中原來的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立，即滿足相容性.
教師講解：類比數(shù)域的擴(kuò)充，將指數(shù)的范圍從整數(shù)拓展到有理數(shù)，我們首先要解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)指數(shù)冪.在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，我們把正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù)c=記作.像
分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪，其意義是什么呢？下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究.
環(huán)節(jié)二 類比歸納，探究新知
問題2： 初中階段我們學(xué)過平方根、立方根的概念，你能回憶出這些概念嗎？請舉例說明．
若
，則叫做的_______，記作：__________，例如_________________.
若
，則叫做的_______，記作：__________，例如_________________.
師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成．可能出現(xiàn)的問題是：的平方根只寫正的，不寫負(fù)的.這是本單元的易錯(cuò)點(diǎn)，教師要及時(shí)指出，并讓學(xué)生思考如何才能不出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤．
追問1：類比平方根、立方根，你能給出4次方根，5次方根，……次方根的定義嗎？
若________，則叫做的4次方根，記作：__________，例如___________.
若________，則叫做的5次方根，記作：__________，例如___________.
……
若________，則叫做的次方根，其中
且.
師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，然后進(jìn)行小組交流，教師進(jìn)行點(diǎn)評的基礎(chǔ)上，給出完整的定義．
學(xué)生閱讀課本104頁之后，默寫根式的定義：我們把式子稱為根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
教師要注意學(xué)生在寫的4次方根時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤．此外，要收集整理不同類型的例子，為追問2的解決做鋪墊，如：
，則
則
，則
； 
，則
等．
追問2：一個(gè)實(shí)數(shù)的次方根一定存在嗎？舉例說明。
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考、作答。之后在互動交流的基礎(chǔ)上，閱讀課本第104頁的相關(guān)內(nèi)容，然后以小組為單位梳理出一個(gè)表格，如下表所示．
 |
||
|
為奇數(shù) |
為偶數(shù) |
|
|
|
存在，有一個(gè)，是正數(shù) |
存在，有連個(gè)，互為相反數(shù) |
 |
存在，有一個(gè)，是負(fù)數(shù) |
不存在 |
 |
 |
|
次方根的定義，再通過具體實(shí)例，辨析一個(gè)實(shí)數(shù)的次方根的存在性。
（2）
= （4）
= 
= 
時(shí)的特例．類比練習(xí)1說說符號
的意義，并化簡.其中蘊(yùn)含了什么數(shù)學(xué)思想？次方根的定義出發(fā)，我們得到了它的性質(zhì)
；為奇數(shù)時(shí)，
= 為偶數(shù)時(shí)，=
=
的次方根的表示，并將數(shù)的次方根推廣到式．通過求解具體的根式求值問題，初步理解根式的意義，并觀察運(yùn)算中的規(guī)律，抽象根式的性質(zhì)．同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生類比研究的能力，分類討論的思維習(xí)慣．
(2)
(3)
(5) (6)
次方根的概念，以及前面探究得到的關(guān)于
的性質(zhì).培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在解題中消滅易錯(cuò)點(diǎn)，并為后續(xù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)做鋪墊．
次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，例1(5)(6)可以分別寫為
()
()次方根表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中，核心思想是利用了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
.那么當(dāng)根指數(shù)不能整除被開方數(shù)的指數(shù)時(shí)，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢？例如：
可以記作，那么它的合理性在什么地方呢？
，一定存在一個(gè)數(shù)，使得 =,(為了方便研究，不妨先設(shè) 
),== ()合理性的前提是整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)這種兼容性為運(yùn)算帶來極大的方便，同時(shí)也說明了次方根表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的合理性.（
.
（.的次方根定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，將冪中的指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到了有理數(shù)．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)及
，均有運(yùn)算性質(zhì)： 
（2）
（3）
(4) 
(2)
-
)
次方根的互相轉(zhuǎn)化，特別是把次方根轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算，把結(jié)果表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；次方根、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，以及式的加減乘除等進(jìn)行運(yùn)算，目的式鞏固有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。
= _____________ 
+
+-
+
.,你能利用根式的性質(zhì)給出的含義嗎?(這里
)的限定下,
.定義,那么
,于是有
次方根的基礎(chǔ)上,直接定義,這樣也可以給出有理數(shù)指數(shù)冪的定義,可以促進(jìn)學(xué)生對有理數(shù)指數(shù)冪含義的理解。
＞0)中指數(shù)
的取值范圍從整數(shù)拓展到了有理數(shù)．按照上節(jié)課問題規(guī)劃的研究路徑（再現(xiàn)研究路徑），接下來我們將
中的指數(shù)
的取值范圍從有理數(shù)繼續(xù)推廣到無理數(shù)，那么，當(dāng)指數(shù)是無理數(shù)時(shí)，
的意義是什么？它是一個(gè)確定的數(shù)嗎？如果是，那么它有什么運(yùn)算性質(zhì)呢？
，得出它的近似值，并說明它是無限不循環(huán)小數(shù). 類似的，我們也可以通過有理數(shù)指數(shù)冪來認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪．的發(fā)現(xiàn)過程，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案解釋
的意義.的意義提出方法。
，
的近似值，觀察它們的變化趨勢，你有什么發(fā)現(xiàn)？，的近似值，小組討論
的不足近似值（有理數(shù)）和過剩近似值
（有理數(shù)），利用計(jì)算工具計(jì)算相應(yīng)的，的近似值，并填入表1．|
的不足近似值x |
 的近似值 |
的過剩近似值y |
 的近似值 |
| 1.4 | 9.518 269 693 | 1.5 | 11.180 339 887 |
| 1.41 | 9.672 699 728 | 1.42 | 9.829 635 328 |
| 1.414 | 9.735 171 039 | 1.415 | 9.750 851 807 |
| 1.414 2 | 9.738 305 174 | 1.414 3 | 9.739 872 620 |
| 1.414 21 | 9.738 461 907 | 1.414 22 | 9.738 618 643 |
| 1.414 213 | 9.738 508 927 | 1.414 214 | 9.738 524 601 |
| 1.414 213 5 | 9.738 516 764 | 1.414 213 6 | 9.738 518 332 |
| 1.414 213 56 | 9.738 517 705 | 1.414 213 57 | 9.738 517 861 |
| 1.414 213 562 | 9.738 517 736 | 1.414 213 563 | 9.738 517 752 |
| … | … | … | … |
是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．
追問2：通過表1可以看出，當(dāng)的不足近似值x和過剩近似值y逐漸逼近時(shí)，和都趨向于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是．也就是說是一串逐漸增大的有理數(shù)指數(shù)冪和另一串逐漸減小的有理數(shù)指數(shù)冪逐步逼近的結(jié)果，它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．那么這個(gè)逐漸逼近的過程在數(shù)軸上是怎么體現(xiàn)的呢？是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．利用GGB動畫演示，加深學(xué)生對于無理數(shù)指數(shù)冪的理解，由此讓學(xué)生體會其中的極限思想，并從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識到是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，進(jìn)而理解無理數(shù)指數(shù)冪，達(dá)到提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的目的．
，設(shè)計(jì)一個(gè)方案來說明它也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)嗎？從中你學(xué)到了什么方法？體會到數(shù)學(xué)中研究問題的什么思想？
(
＞0，
為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．這樣，我們就將＞0)中指數(shù)的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù)．實(shí)數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．中，為什么通常要限定＞0？=0，那么指數(shù)就不能為0或負(fù)數(shù)，否則就沒有意義；同樣地，如果這里的底數(shù)＜0，那么指數(shù)就不能為
(其中n為整數(shù))，否則仍然沒有意義．因此我們限定＞0這個(gè)條件．＞0，保證后續(xù)的指數(shù)函數(shù)y=對任意實(shí)數(shù)都有意義，為后續(xù)的課程作鋪墊．中指數(shù)的取值范圍就從有理數(shù)拓展到了實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，即對于任意實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)．
；
；
．
； （2）
； （3）
．
；
；
； （2）
．取負(fù)實(shí)數(shù)，使得||的值逐漸增大并趨向于無窮大，計(jì)算相應(yīng)的
(x∈R)的值，觀察變化趨勢．取正實(shí)數(shù)，使得的值逐漸增大并趨向于無窮大，計(jì)算相應(yīng)的
（x∈R）的值，觀察變化趨勢．的研究作鋪墊．
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