視頻簡介：
高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《正方體截面的探究》山東—?jiǎng)?/p>
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山東—劉曉曉—設(shè)計(jì)—正方體截面的探究
“正方體截面的探究”教學(xué)設(shè)計(jì)
劉曉曉
（山東省日照第一中學(xué)）
一．教學(xué)內(nèi)容解析
數(shù)學(xué)探究活動是《標(biāo)準(zhǔn)》特別安排和提倡的一種學(xué)習(xí)形式.數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個(gè)具體的教學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.
作幾何體的截面是立體幾何教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和動手操作能力．正確判斷幾何體被一個(gè)平面所截的截面形狀,關(guān)鍵在于弄清這個(gè)平面與幾何體的面的相交線的形狀和位置．此類問題對于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力,深入理解直線和平面的有關(guān)性質(zhì),有效地形成空間概念具有很重要的作用.
“正方體截面的探究”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》附錄中的數(shù)學(xué)探究活動案例11.此案例讓學(xué)生在熟悉的正方體中，綜合利用基本圖形的結(jié)構(gòu)特征、基本圖形位置關(guān)系中的結(jié)論、定理，進(jìn)一步全面準(zhǔn)確地認(rèn)識一個(gè)空間幾何體.通過教師精心設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生有目的地分組開展探究活動，提高學(xué)生參與度.讓學(xué)生經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)。
二．教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1.通過自主實(shí)驗(yàn)探究，借助實(shí)物模型的直觀和信息技術(shù)的運(yùn)用，掌握正方體截面的形狀、大小等的變化規(guī)律，理解分類原理，提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；
2.融合實(shí)驗(yàn)探究和數(shù)學(xué)理性思維，理解并證明正方體截面的性質(zhì)，通過作截面加深對其性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力，增強(qiáng)學(xué)生的知識融合能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的提高；
3.引導(dǎo)學(xué)生從模仿到自主，從局部到整體，讓學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)與提出、分析和解決的過程，體會數(shù)學(xué)探究的一般流程，積累獨(dú)立思考和合作交流的經(jīng)驗(yàn)，形成解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的科學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)融合的水平.
三．學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對象為山東省日照第一中學(xué)東校區(qū)的學(xué)生，他們思維活躍，能熟練應(yīng)用信息技術(shù)工具輔助學(xué)習(xí)，并且有豐富的探究活動經(jīng)驗(yàn).
1.學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“立體幾何初步”，了解了簡單幾何體的基本特性；對空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系有了一定的理解，并掌握了一些相關(guān)性質(zhì)和定理，具備一定的空間想象能力和推理論證和運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力.
2.達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所具備的認(rèn)知基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)探究是從數(shù)學(xué)視角對事物進(jìn)行觀察、思考，發(fā)現(xiàn)結(jié)論與規(guī)律的創(chuàng)新認(rèn)知過程，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探究、合作探究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.
3.已有的基礎(chǔ)和需要的基礎(chǔ)之間的差距
正方體截面的探究是一個(gè)典型的結(jié)構(gòu)不良問題，對學(xué)生提出了更高得要求，但是學(xué)生沒有形成將所學(xué)知識融合起來分析問題的思路，學(xué)生分析和解決復(fù)雜實(shí)際問題的能力有待提高，需要教師的設(shè)計(jì)、指導(dǎo)和幫助.
4.教學(xué)難點(diǎn)及其突破策略
教學(xué)難點(diǎn)：正方體截面的性質(zhì)及研究方法.
突破策略：教師提供教學(xué)資源，組織教學(xué)活動，以問題為引領(lǐng)，信息技術(shù)為輔，讓學(xué)生以小組合作的方式完成數(shù)學(xué)探究活動.
1.鼓勵(lì)主動參與探究活動，加強(qiáng)學(xué)生的操作活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力。讓學(xué)生都能夠分享在探究活動中的收獲，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題有真知灼見。鼓勵(lì)學(xué)生通過語言表達(dá)或是圖文表達(dá)進(jìn)行交流，表達(dá)自己對探究問題的理解，從而提高自身的數(shù)學(xué)探究能力.
2.深入挖掘案例中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)切實(shí)可行的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以問題為引領(lǐng)，開發(fā)教學(xué)案例.通過問題分析來展開思路，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步地思考，尋找出自己的思路和解決方法.
3.將從“現(xiàn)象到理性”的“做中學(xué)”的思想貫穿于整個(gè)探究活動中，應(yīng)用和發(fā)展學(xué)生的分類與討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.
4.注重培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)處理能力，讓學(xué)生更加熟練應(yīng)用當(dāng)前的信息處理手段，提高數(shù)學(xué)探究的有效性.
此探究活動分為選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)，安排了6個(gè)課時(shí)。學(xué)生選題開題各1課時(shí)，做題環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為3課時(shí)，最后1個(gè)課時(shí)是學(xué)生撰寫研究報(bào)告，總結(jié)探究過程的收獲與感悟.
此探究活動的做題階段的第一課時(shí)，借助導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)的問題引領(lǐng)，讓學(xué)生回顧相關(guān)知識，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、模型操作或借助信息技術(shù)的直觀呈現(xiàn)，自主探究截面的類型，形成猜想并推理驗(yàn)證.第二課時(shí)整理匯總實(shí)驗(yàn)結(jié)果，完善求證結(jié)論，繼續(xù)深入探究截面形狀的類型和性質(zhì).第三課時(shí)設(shè)置了正方體截面的周長和面積的最值的探究活動.讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)思維方式探究正方體截面的探究過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.
本節(jié)課是做題階段的第二課時(shí)，是數(shù)學(xué)探究活動做題部分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，旨在讓學(xué)生獲得一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗(yàn)，并在下一課時(shí)應(yīng)用.本節(jié)課首先匯報(bào)開題報(bào)告中的現(xiàn)實(shí)背景及在教材中的探尋，讓學(xué)生正確理解截面，體會從空間到平面的降維轉(zhuǎn)化思想。然后從學(xué)生展示的探究成果出發(fā)，讓學(xué)生了解正方體不同截面的變化情況、啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.
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選題開題
在實(shí)施此探究活動前，學(xué)生并不了解數(shù)學(xué)探究活動的基本信息，所以教師精選中學(xué)數(shù)學(xué)建模論文，組織學(xué)生研讀，培訓(xùn)基本的信息技術(shù)操作方法.
在選題開題環(huán)節(jié)，分小組討論本小組的開題報(bào)告，討論截面問題的現(xiàn)實(shí)意義、解決問題的思路、研究計(jì)劃、預(yù)期結(jié)果.在此過程中教師需要精心設(shè)計(jì)方案，提出所要研究的主要問題及其要求，提高數(shù)學(xué)探究活動的效率.
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做題之實(shí)驗(yàn)探究
教師設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，指導(dǎo)學(xué)生首先回顧截面相關(guān)的基本知識，然后通過切土豆、正方體容器注水、信息技術(shù)模擬這三個(gè)方案分組來實(shí)施，最后通過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，初步探究正方體截面的性質(zhì).
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做題之課堂探究
【發(fā)現(xiàn)截面】
研究正方體截面的相關(guān)問題，首先要解決問題是如何理解截面。在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會用合適的截面來研究幾何體.下面請同學(xué)們展示你們小組收集的截面實(shí)例及在課本中尋找到的截面的蹤跡.
學(xué)生活動1：播放視頻醫(yī)學(xué)中的CT技術(shù)，把X射線掃描到的人體結(jié)構(gòu)信息，經(jīng)過一層層的電子計(jì)算，最終生成醫(yī)生們一下子就看得懂的橫斷層面影像.
三維打印的設(shè)計(jì)過程是：先通過計(jì)算機(jī)建模軟件建模，再將建成的三維模型“分區(qū)”成逐層的截面，即切片，打印機(jī)通過讀取文件中的橫截面信息，用液體狀、粉狀或片狀的材料將這些截面逐層地打印出來，再將各層截面以各種方式粘合起來從而制造出一個(gè)實(shí)體.
建筑物的框架都是鋼結(jié)構(gòu)，鋼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)直接影響工程的質(zhì)量.鋼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要考慮四類截面，根據(jù)不同截面的特性，應(yīng)用到鋼結(jié)構(gòu)工程中.
斷面是反映汽車關(guān)鍵部位結(jié)構(gòu)狀態(tài)的截面，它是用來約束造型與工程化設(shè)計(jì)的重要工程語言。斷面設(shè)計(jì)是轎車設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié)，是工程化設(shè)計(jì)前對車身只要結(jié)構(gòu)零件的可行性進(jìn)行布置和分析的重要手段.
農(nóng)學(xué)中的土壤學(xué)通過研究土壤剖面，是指從地面向下挖掘所裸露的一段垂直切面，深度一般在兩米以內(nèi).土壤垂直斷面中土層(可包括母巖)序列的總和.通常由人工挖掘而成，供觀察和研究土壤形態(tài)特征用.
師： 感謝同學(xué)們的分享.截面研究是現(xiàn)實(shí)生活中空間問題平面化的一個(gè)重要方法.將現(xiàn)實(shí)生活中的物體抽象，得到了空間幾何體.在立體幾何的學(xué)習(xí)中，也需要對一些空間幾何體進(jìn)行截面研究，下面請同學(xué)展示，本小組在教材中尋覓到的截面的蹤跡.
學(xué)生活動2：展示小組的研究成果.
1.必修四在多面體與棱柱中，給出了截面的定義；
2.必修四第十一章棱錐與棱臺中，利用截面定義棱臺；
3.必修四旋轉(zhuǎn)體中，用截面研究圓錐和圓柱；
4.必修四祖暅原理與幾何體的體積中，利用截面面積研究體積；
5.必修四的一節(jié)課的結(jié)尾和課后題，多處建議用Geogebra軟件觀察幾何體的截面。
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，截面是很多現(xiàn)實(shí)問題的載體. 在日常的生產(chǎn)和生活中尋找截面，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.讓學(xué)生在教材中尋找截面，既能回顧相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，又能認(rèn)識到截面問題不是陌生的，加強(qiáng)學(xué)生的直觀感知能力.從現(xiàn)實(shí)生活和高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識到研究截面問題的必要性，同時(shí)讓學(xué)生體會用一個(gè)平面去截空間幾何體，形成截面問題，是空間問題平面化的一個(gè)比較常用的方法.
【理解截面】
師： 感謝田鴻雅同學(xué)的分享。原來截面并不陌生，你能回憶起截面的準(zhǔn)確定義了嗎？
生：截面的定義是一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形（包含它的內(nèi)部）.
師：我們一起來看下面三張圖，這些圖中的陰影部分能作為相應(yīng)幾何體的截面嗎？
生：圖1-圖3均不能作為空間幾何體的截面，圖1中的陰影部分是三棱錐的表面，不是截面；圖2中的陰影部分的線段
AC不在正方體的表面上，不是截面；圖3中陰影部分的線段
AB，
AC都不在圓柱的表面上，不是截面.
師：結(jié)合上面的例子，你能總結(jié)一下什么樣的圖形才能作為幾何體的截面呢？
生：找出截面與幾何體表面的交線，交線圍成的圖形就是截面.
師：你能在圖2中找出正確的截面嗎？
設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)圖形和老師的不斷追問，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解截面的定義，強(qiáng)化概念，研究截面問題轉(zhuǎn)化為研究交線問題，用線研究面，為后面的探究活動打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
【研究截面】
師：秦岐同學(xué)給我們一個(gè)啟發(fā)，研究截面問題，可以轉(zhuǎn)化為研究交線問題.
帶著對截面新的認(rèn)識和理解，我們來重新審視上一節(jié)課的實(shí)驗(yàn)探究，思考交線在探究正方體這個(gè)特殊的幾何體的截面時(shí)，起到了哪些作用.
上一節(jié)課大家做了正方體截面實(shí)驗(yàn)探究，現(xiàn)在請不同小組來展示探究成果.
學(xué)生活動3：課前同學(xué)們以小組為單位，將有顏色的液體注入透明正方體容器，觀察不同擺放位置，不同液體量時(shí)，平靜的液體表面的形狀；從不同角度切割土豆正方體塊，觀察截面形狀；利用信息技術(shù)，模擬不同角度、不同位置的截面，觀察截面形狀。課堂上學(xué)生分組展示探究成果.
師：在切土豆的過程中，哪些截面圖形比較難切.
生：三角形和四邊形較為容易，五邊形和六邊形比較難切.
師：你是如何解決的?
生：通過多次橫切，豎切，斜切，很容易得到三角形截面和四邊形截面，多次嘗試也沒有得到五邊形和六邊形.我們小組成員通過討論，證明了可以有五邊形和六邊形的.我們就先在草稿紙上畫出正方體的五邊形和六邊形截面，然后按照圖紙切出來的.
師：你們小組完整的經(jīng)歷了一個(gè)觀察——猜想——操作——論證——檢驗(yàn)的過程.感謝你的分享.
剛才前兩位同學(xué)的展示中，都提到了具體操作中一些困難，說明教具實(shí)驗(yàn)確實(shí)有客觀局限性.為了更清晰地模擬出正方體截面的形狀,下面請利用信息技術(shù)展示.
設(shè)計(jì)意圖：通過多種探究形式，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、創(chuàng)新能力；通過觀察和匯總探究結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力.
師：大家分別用小組設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案成功的完成了正方體截面形狀的類型探究，即從邊的數(shù)量上進(jìn)行了簡單的分類.但是觀察不能代替證明，依然有很多性質(zhì)需要通過理性的推證，嚴(yán)格的證明.下面請不同小組展示已經(jīng)證明了的有關(guān)正方體截面的性質(zhì)，及證明中用到的數(shù)學(xué)原理.
學(xué)生活動4：
結(jié)論1：在正方體的截面中，不存在邊數(shù)超過6的多邊形截面.
在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去接幾何體的得到的平面圖形.其中，截面的邊界線是幾何體與平面的交線，即截面的邊界線一定在幾何體的表面上.而正方體只有6個(gè)表面，所以截面與正方體最多6條交線，不可能出現(xiàn)超過6的多邊形截面.
結(jié)論2：我們小組發(fā)現(xiàn)截面是三角形時(shí)，都是銳角三角形.
證明過程如下：
設(shè)
，則
所以
為銳角，同理可證
也是銳角。所以
是銳角三角形.
師：還有別的證明方法嗎？（給其他同學(xué)更充分的展示機(jī)會）
師：當(dāng)截面圖形是三角形時(shí)，其他小組還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？
生：我們小組得到了等邊三角形和一般的等腰三角形.
師：怎樣截取能夠使得截面多邊形是等腰三角形和等邊三角形？只能截取一個(gè)等邊三角形嗎？
生：用信息技術(shù)展示等腰三角形和等邊三角形的確定方法.
結(jié)論3：我們小組發(fā)現(xiàn)四邊形截面可以是正方形、矩形、菱形、一般平行四邊形、等腰梯形、一般梯形。
證明過程如下：
由于截面為四邊形，截面與正方體的四個(gè)表面相交.由于正方體的六個(gè)平面有三組相互平行的平面，截面至少與一組平行平面相交.根據(jù)平行平面的性質(zhì)，兩平行平面被第三個(gè)平面相交，兩交線互相平行.所以截面為四邊形的平面至少有一組對邊互相平行.截面可以是梯形，平行四邊形，根據(jù)角與邊的關(guān)系，梯形只能是等腰梯形和一般梯形，平行四邊形可以是菱形、矩形和正方形.
師：當(dāng)截面圖形是四邊形時(shí)，其他小組還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？
生：截面不可能是直角梯形.證明如下：
截面不可能是直角梯形.不妨假設(shè)
CB⊥
AB，AB不垂直于
AD.
因?yàn)?em>EF⊥面
BCF,
,所以
EF⊥
BC.
又因?yàn)?em>AB∩
EF=
A,
AB,EF⊂面
ABF,所以
BC⊥面
ABF.
又因?yàn)?em>FG⊥面
ABF，所以
BC∥
FG;
因?yàn)?em> BC
面
ADGF,
FG⊂面
ADGF,所以
BC∥面
ADGF;
又因?yàn)?em>BC
⊂面ABCD，面
ABCD∩面
ADGF=
AD,所以
AD∥BC .
這與截面是梯形相矛盾.所以截面不可能是直角梯形.
師：還有其他的證明方法，讓同學(xué)們充分展示.
結(jié)論3：截面五邊形不可能是正五邊形。
證明如下：
由于正方體的表面是三組相互平行的面，如果所截得的截面如果是五邊形，那么截面至少與兩組平形平面相交.根據(jù)平行平面的性質(zhì)，兩平行平面被第三個(gè)平面相交，兩交線互相平行。所以截面為五邊形的平面有兩組對邊互相平行.正五邊形中沒有相互平行的一對邊，與正五邊形的圖形特征不相符，所以可以截取一般的五邊形，但是不可能截取正五邊形.
結(jié)論4：截面六邊形三組對邊兩兩平行.
師：同學(xué)們的探究非常精彩!
【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關(guān)系來研究截面的性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷“確定對象——探究性質(zhì)——論證判斷”的研究過程，學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和常規(guī)思路，加深對截面實(shí)質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證的能力，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗(yàn).
【小結(jié)收獲 繼續(xù)探究】
1.說一說本節(jié)課探究的收獲
知識：截面的準(zhǔn)確含義，正方體截面的形狀特征與性質(zhì)；
文化：截面在生活中的廣泛應(yīng)用；
思想與方法：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論，特殊與一般；
探究思路：
2.作業(yè)：（1）把今天的實(shí)驗(yàn)探究形成學(xué)習(xí)報(bào)告；
（2）下一步準(zhǔn)備探究正方體截面的哪些問題.
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