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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《弧度制》新疆—張
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新疆—張世武—設計—弧度制
《弧度制》教學設計
克州二中 張世武
一、教學內容解析.
1、內容解析.
本節課是人教 A 版《普通高中教科書·數學》必修一第五章“三角函數”第一節“任意角與弧度制”第2課時的內容.弧度制的本質是用線段（實數）度量角的大小，而角度制下三角函數的研究會因單位制不統一引發研究困難，同時函數概念中要求，函數必須是兩個實數集之間的對應關系，只有實數表達的三角函數才能在同一坐標系下進行函數間的相關運算.另外，生活中的很多周期現象的變量并非都是角度，比如歷法、潮汐現象等的自變量是時間，角度制在研究這類問題中出現了比較大的局限性，將角度與實數建立關系是解決這一問題的重要途徑.
本節課的核心學習任務是體會弧度制引入的必要性以及經歷弧度概念的生成過程.
2、蘊含的思想方法.
在思考角度與實數間對應關系時,通過具體的實踐操作，讓學生感受用長度度量角度的整個過程，感受特殊到一般的推理思想方法，通過1rad角的定義探究以及通過實物模型直觀感受1rad角的大小，體會以直代曲的思想方法.
3、知識上下位的關系.
義務教育階段學習的角度制，是生活中比較廣泛的角度的度量制，弧度制作為角的另外一種度量制度，在任意角的基礎上將角和實數建立了一一對應的關系，當前學習的主要目的是為解決三角函數中單位進制不同產生的困難，學習弧度制將為后續學習三角函數打好基礎.
4、育人價值.
從已有認知出發，從研究問題的便利與合理性出發創造新知識，讓學生體會一個新的單位制的研究路徑及其價值，落實“用數學的眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界”的素養理念.
二、教學目標設置
1、理解1rad角的定義，建立弧度制的概念，知道弧度制的本質是線段度量角度大小.掌握弧度與角度的互化，知道一些特殊角的弧度數，能通過弧度定義推導扇形弧長及面積公式.
2、經歷“發現問題--現實情境--動手實踐--產生不便--創造新知--感受創造發明的美好”的過程啟發思考，提高數學思維.
3、經歷“度量需要--尋找關系--制定單位--定量表示--單位換算”豐富學生的數學活動經驗.
重點：1rad角的定義，角度與弧度的互化.
難點：弧度制的產生過程和蘊含的思想方法.
-
學習條件.
有了任意角的基礎，利于弧度制概念生成過程中與實數的對應。
學習了函數定義以及角度制下扇形的面積公式、弧長公式等。
觀察、抽象、歸納、概括等學習策略和學習能力方面有了一定的基礎。
2、認知疑惑.
義務教育階段，角度制的度量方式深入人心，加上生活中廣泛的應用背景，引入弧度制的必要性如果不清楚，將很難引發學生共鳴，難以產生研究弧度制的興趣.
目前為止弧度制的介入仍然是純數學的角度，而且弧度制的應用前景主要將在后續學習中逐步滲透，特別是函數定義角度的變量統一，微積分創立之后公式的簡化，目前學生都是感受不到的.
從學生角度看，弧度制與現實生活匹配度較弱，因此弧度制的引入環境必須結合現實生活，從學生最近發展區，從最簡單的實例入手來引發共鳴.本節課采用首尾呼應的方式，在學生的自我探索中逐步感受弧度制引入的合理與方便之處，從而產生學而有用的直觀感受.
高一年級的學生對于“定義”一詞的理解還比較淺，對數學作為認清世界的工具，對于新定義的創造和探索的目的，對于創造單位制的便捷性認識不足，因此感受弧度制引入的必要性，新定義創造發明的目的至關重要.
四、教學策略分析.
結合以上分析以及概念課的特點，本節課采用啟發式、探索發現式的教學策略.
學法上主要是合作式、參與式、觀察分析、類比總結等.
課堂設計經歷四個場域“生活場--生命場--思維場--情感場”，以數學是認清世界的工具開頭，映射創造發明的根本意義，打開探索角的新度量方式的突破口.
以最貼近生活的現實情境引入，幫助學生感受弧度制產生的合理性、必要性.
通過親自動手測量，操作更加真實，過程更加豐富，印象更加深刻，注重學習過程中的經歷，注重教學的有效性和數學的本質.
發揮“先行組織者”的作用從“最近發展區”出發滲透學科核心素養,在動手實踐、直觀感知的前提下，從正比例函數一一對應的角度體會實數度量角的合理性；通過實物，切實感受1rad角的概念生成過程，加深概念理解突破難點。
五、教學過程設計.
引導語：學習今天的內容之前先問大家一個問題：“我們為什么要學習數學？人類為什么要創造數學？”.
問題預設：解決問題、計算、考試、生活需要、經商、買菜……
師：有這樣一句話“人類發展的歷史，就是人類認識世界的歷史.為了認清世界的本質，人類創造了很多工具，數學就是其中之一，為解決問題的方便，便創造了各種各樣的單位制.”例如：長度單位有哪些？（千米、米……）
師：生活中還有其它的度量單位嗎？
師生交流：（質量、面積、時間、溫度……）
上節課我們學習的是角，角的單位有哪些？并簡單介紹角度制的創造.
角度制在生活當中應用非常廣泛，也非常好用，但科學家們在研究一些三角類問題的時候發現了一些困難，比如：“公元6世紀，印度數學家阿耶波多在創新制作正弦表時發現了一個不好解釋的問題.如：
左右單位不統一，進制不統一.再如：
不能進行運算，怎么解決這個問題呢？角除了角度制的度量方式還能有其它的度量方式嗎？歷史上的科學家們開始研究這個問題，大家的想法是最好角度能和實數統一就好了.引入課題弧度制--
板書課題.
環節1：情境引入.
某地區為宣揚社會主義核心價值觀，需要生產一個和圖中一樣的扇形廣告宣傳牌，技術人員需要計算一下扇形的面積，用來測算需要原材料的量，若他手中只有一把鋼卷尺，能用現有的工具測算出扇形的大致面積嗎？
預設：初中學過的扇形面積公式是
,我們需要知道半徑和圓心角.
追問1:鋼卷尺可以量半徑,能測量圓心角嗎？ (不能)
追問2:鋼卷尺除了可以測量半徑還能測量什么? (弧長、半徑)
追問3：扇形弧長、半徑有了可以得出圓心角嗎？能想到什么關系？（弧長公式
）
設計意圖：從生活實際問題出發，引導學生思考在只有鋼卷尺的條件下，如何測量圓心角，這當中蘊含著弧度制的本質，也就是用長度來測量角度的方式，為下一步的實驗探究打好基礎，同時作為扇形的面積公式，因為轉換因子的存在，角度制下是相對復雜的，在這個具體的情景問題中，計算扇形面積需要的過程相對復雜，為后續建立弧度制后，扇形面積簡單的計算方式做好對照基礎.
環節2：合作探究、動手實踐.
器材：扇形教具、繩子、直尺.
要求：請各組同學相互協作，用手中現有的工具測量扇形的圓心角.
要求1：請各組同學測量手中扇形的弧長和半徑，并將測得的數據填入下表：
(圖1)
預設：每個小組測得的扇形弧長和半徑相等，或者幾乎相等.如有差距較大的情況，一定是測量有問題.在將扇形弧長和半徑的測量長度代入弧長公式后會發現圓心角的表示會因為轉換因子的存在顯得比較復雜.
設計意圖：合作探究的目的有三：1是增強學生團結協作的意識，雖然活動內容簡單，但不互相幫助，結果可能誤差較大.2是課前制作的扇形雖大小不一，但圓心角都是1弧度，通過親自測量發現弧長與半徑幾乎相等的特點，為后續1rad角的大小認識做好鋪墊.3是感受測量后如果代入計算，圓心角的結果會因為
這個轉換因子的存在而比較麻煩.
環節3：概念形成.
引導學生觀察弧長公式的變形，提出以下問題：
問題1：公式中的
是什么？
問題2：公式中的
又是什么？
預設：問題1（圓心角的角度值，單位是度）；問題2（弧長與半徑的比值，是個實數）
引導學生發現角度值
和
之間是一種正比例的關系，從而將實數和角度建立一一對應的關系，進而啟發學生用實數來表示角度.
問題3：在弧長公式的對應法則之下，角度值
構成的集合與
比值構成的集合之間有了一種一一對應的關系，我們可以用這個實數來表示這個角度嗎？
預設：能，這樣我們就找到了另外一種可以表示角的量.
在找到量以后順其自然，我們需要一個單位.
問題4：在長度單位等其它單位制中的一個單位是什么？比如米的1個單位？
問題5：在這個
的比值中1個單位如何定義？什么時候它會等于1？
預設：當弧長和半徑相等的時候為1.
板書1rad角的定義，并簡單說明單位的來歷，同時引出1rad角大小的直觀認識.
問題6:1rad的角到底有多大呢？
將各小組的扇形教具合到一起，觀察發現所有扇形的圓心角都是一樣大的，而且從數據上來看，各組剛剛測得的弧長和半徑都相等或者幾乎相等.按照1rad角的定義，這個扇形的圓心角應該就是1rad.
問題7：觀察圖形，是不是半徑越大，圓心角就越大？是不是弧長越長圓心角就越大？
回歸探究過程，實物展示，加深對1rad角定義的直觀認識，按照1rad角的定義，各小組剛剛所測的角就是1rad的角，并對學生所測數據進行點評.
問題8:直觀感受一下，1rad的角大概是多少度呢？
預設：比60度小一點.同時如果將弧長近似的看作一條直線，扇形就可以類比為一個等邊三角形，當中體現以直代曲的思想，幫助學生直觀上預測1rad角在角度制中的大小.
以上述1rad角的定義為基礎，進行快速練習，通過歸納總結得出弧度制的定量表示：
，體現從特殊到一般的思想.同時以弧長為
倍半徑的圓心角對應弧度數為
得到
rad這個轉換橋梁，為下一步單位換算做好鋪墊.
問題9：弧度制是否可以度量任意角？
引導學生從任意角的定義出發，在師生交流中得出正角、零角、負角與正數、零、負數的一一對應.
環節4：弧度制的發展.
在弧度制的定義探討結束后，對弧度制的發展史進行簡單交流，增強學生對弧度制發展史的了解，感受弧度制的發展歷程，體會弧度制建立的必要性，滲透數學文化.
環節5：概念深化.
我們常常需要在兩種單位制之間進行轉化，像1m=10dm就是長度單位轉換中的其中一個橋梁，那弧度和角度的轉化能找到橋梁嗎？
師生活動：在定量表示時為單位換算埋下伏筆，
rad化簡后的結果
rad即為角度與弧度的轉換橋梁，進一步單位化可以得到轉換公式：
設計意圖：同一研究對象關于換算公式的探究，關鍵是要找到轉換的橋梁，在前面弧度的定量表示中，已經從圓的周長和半徑的比值得到圓心角角度與其弧度數的關系，培養學生對數學對象研究的思考.
環節6：學以致用.
例4：（1）按照下列要求，把
化成弧度：
①精確值; ②精確到0.001的近似值.
（2）將3.14rad換算成角度（用度數表示，精確到0.001）
師生活動：提醒學生單位換算的關鍵是利用
，轉換中教師板書提供示范，第二問教師用計算器演示求近似值，如下圖所示：
設計意圖：熟悉角度與弧度的互化，熟悉互化轉換因子，學習正確的書寫方法.
小試牛刀：特殊角角度與弧度的互化.
（圖2）
師生活動：引導學生觀察特殊角，找到特殊角之間的倍數關系，從而可以以較快的速度填好如上表格，同時強調在后續的學習過程中，特殊角的轉化是需要記住的.
例題6：利用弧度制證明下列關于扇形的公式.
(1)
; (2)
; (3)
.
其中
是圓的半徑，
為圓心角，
是扇形的弧長，
是扇形的面積.
師生活動：教師引導學生思考并進行板演.
情景再現：在前述情景問題中，角度制下的面積表達因為轉換因子的存在顯得比較復雜，在應用弧度制進行轉換后，面積的表達公式從形式上和內容上都比較簡單，引導學生感受弧度制發明的其中一個意義—簡化公式.
環節7：目標檢測評價.
檢測：把下列角度化成弧度.
-
；
；
.
-
；
；
.
-
用弧度制表示終邊在x軸上的角的集合.
設計意圖：鞏固角度與弧度的互化，對學習重點內容進行當堂檢測，并以（3）
為例引導學生注意角度制與弧度制不能混合使用.
環節8：課堂小結.
教師引導進行學習過程回顧，問題導向進行小結：
-
回顧本節課我們怎么想到需要角的另一種度量方式的？
-
怎么找到實數和角度對應關系的？
-
你覺得弧度制度量角的本質是什么？
-
你覺得學習弧度制的好處在哪里？
師生活動：教師引導學生自主回顧，點撥提煉觀點. （圖3）
設計意圖：通過上述4個問題，以問題為導向促進學生思考本節課學習弧度制的過程，從發現問題-現實情境-實驗探究-產生不便-創造新知-感受創造發明的美好等角度展開總結，引導學生感受新的單位制的研究路徑：度量需要-尋找關系-制定單位-定量表示-單位換算，豐富學生的數學活動經驗.
課后作業設計：體現本節課的教學重點，題目中涉及弧度角度互化以及扇形弧長面積公式的應用，增強學生對重點內容的鞏固理解.
板書設計：
（圖4)
課后反思：
在準備這節課的過程中，通過學習課標和教材后，知道體會弧度制引入的必要性是本節課的重點內容，培養學生關注數學本質，新度量制的創造背景、路徑、價值是重中之中。
我認為的教學亮點是通過1rad實物模型展示、親自動手測量、操作真實、過程豐富、印象深刻、貫穿始終。情景問題貼合現實，內涵本質，首尾呼應，體現弧度制意義。在查閱了相關文獻課例等內容后，最終選擇了這樣的一種設計方式。從學生的課堂反映和作業反饋上來看，基本上完成了本節課的教學目標任務。
但在課堂實施過程中，確實留有諸多遺憾，特別是對于合作探究環節中的測量結果展示和分析不夠充分；整堂課還是存在學生展示不足，沒能很好的將群體互動和個人展示相結合，對以學生為主體的課堂表達還不夠充分。
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