視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的奇偶性（1）》上海—劉
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上海—劉瑞雪—設計—函數的奇偶性（1）
函數的奇偶性(1) 教學設計說明
上海市上海中學 劉瑞雪
函數奇偶性的概念及證明.
（二）內容解析
本節課的內容選自上海教育出版社出版的普通高中教科書《數學》必修第一冊第五章第二節《函數的基本性質》，是“函數的奇偶性”的第1課時.
上海教育出版社出版的2020版普通高中教科書《數學》在保持原有上海“二期課改”教材特色的前提下，積極吸收融合全國其他教材的亮點，在“函數”單元的設計上呈現出以下兩個特色：第一，運算與函數相對獨立.將“冪、指數與對數”從函數中分離出來單獨作為一章(第三章)，如同后續教材將三角從三角函數中分離出來，強調“運算”和“函數”各自的特性.第二，將“從具體到抽象再回到具體，從特殊到一般再回到特殊”這種符合學生數學學習的心理體驗和認知規律的思想方法貫穿始終.“函數”單元的教學內容包括：①冪函數、指數函數與對數函數；②函數的概念、性質及應用；③三角函數.新教材將教學順序由原來的②①③調整為①②③，類似的編排設計在后續的“數列”單元中同樣有所體現.
本節課作為研究函數基本性質的起始課程，在“函數”單元的學習中有著承上啟下的重要作用.教材在“4.1冪函數”中，給出了“
的圖像關于
軸成軸對稱”這一結論的代數論證，為本節課能順利開展做好了鋪墊；在“5.1函數”中,教材展示了如何從已經學過的各種具體函數中歸納共性，抽象概括出函數的概念的方法，這種從形到數，從特殊到一般的重要思想在本節課中將同樣得以體現.函數的奇偶性把圖像的對稱性轉化為代數關系，并用嚴格的符號語言表述，實現了從定性到定量的轉化，其中涉及到的研究方法以及表達方式是極具代表性的，為學生規范地表達自己的思想提供了一個范例，也為后續研究函數的單調性等函數的其他重要性質做好了鋪墊.
本節課圍繞著核心目標“了解函數奇偶性概念的形成”展開.探究過程從具體的冪函數著手，由冪函數圖像的對稱性抽象概括出“函數的圖像關于
軸成軸對稱”這一條件的等價表達形式，并給出完整的探究過程，引導學生體驗從幾何直觀到數學符號語言的表述再到嚴格論證的過程，感受數學證明的嚴謹性和規范性，啟發學生在偶函數概念形成的示范下，經歷自主探究、小組討論等教學活動，歸納并表達出奇函數的概念，體會函數奇偶性概念定義的合理性.同時，借助微視頻向學生介紹函數奇偶性概念的形成與發展，通過數學史的融入助推教學目標，彰顯數學中的理性精神及德育價值，促進學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養的發展.
二、教學目標及其解析
（一）教學目標
1.理解偶函數與奇函數的概念與圖像特征，能借助函數奇偶性的概念解決簡單問題；
2.經歷觀察、分析、歸納、抽象等思維活動，了解偶函數與奇函數概念形成的思維線索，領悟從特殊到一般、從具體到抽象、數形結合、先猜后證的思想方法，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養；
3.體會合作學習，形成善于探索的思維品質，在感受數學對稱美的同時，認識數學的應用價值和文化價值.
教學重點：函數奇偶性概念的形成，偶函數與奇函數的圖像特征，函數奇偶性的證明.
教學難點：函數奇偶性概念的形成.
（二）目標解析
對于目標1，學生能基于函數奇偶性的概念，會通過函數的圖像判斷函數的奇偶性，能借助奇函數、偶函數的圖像特征繪制出函數的圖像.在簡單情形下，會用數學符號語言規范表達一個函數是奇函數或偶函數的證明過程.
對于目標2，引導學生在教學過程中“發現”數學概念.能從具體函數出發，借助冪函數的圖像將“函數的圖像關于
軸成軸對稱”和“函數的圖像關于原點成中心對稱”的概念抽象成代數表達形式，并將結論一般化，由“形”轉“數”，驗證猜想的正確性.能在函數奇偶性概念形成的過程中體會研究函數性質的基本思想和方法，并能將其遷移到與函數的奇偶性相類似的問題情境中，靈活解決相關問題.
對于目標3，為學生創造交流平臺，借助學生的多元思維構建“對話式”課堂.在探索過程中，小組成員分工協作完成指定任務，各小組之間互相評價研究結果，實現資源共享、思維碰撞，在積極的合作氛圍中提高學習效率，在不斷地自我追問、新舊知識的不斷碰撞中逐步完善知識結構，提升用數學的視角去觀察世界、思考世界、表達世界的能力.
三、學生學情分析
本節課的授課對象是上海市上海中學高一年級的學生，他們思維活躍，具備一定的直觀想象和邏輯推理能力.學生在初中已經建立起了圖形“軸對稱”“中心對稱”的概念，有一定數量的簡單函數的知識儲備，在高中階段學習了冪函數、指數函數與對數函數之后，函數知識又有了新的發展，從中積累的一些研究函數性質的方法為本節課的新知探索提供了認知基礎.但高一學生的數學思維發展仍處于由具體到抽象，由感性認識到理性表達的過渡時期，抽象概括能力較弱，難以用自己的語言進行嚴謹的數學表達.如何在不依賴于具體函數圖像的情形下，僅用符號語言精準地表達“函數的圖像關于
軸(原點)成軸(中心)對稱”這類性質？如何從實例中抽象歸納，發現函數圖像的對稱性的本質？如何將特殊情形中探究得到的規律推廣到一般情形中？這一系列的問題，對學生的抽象、歸納能力要求較高，需要師生在本節課中共同探討，尋求答案.
四、教學策略分析
根據本節課的教學內容與要求，圍繞著相應的教學目標，結合學生的認知能力和特點，本節課確定為以數學知識發生發展過程為載體，以問題為核心的方式構建課堂教學，圍繞著下述4個內容展開：①為什么要研究函數的性質；②什么是函數的奇偶性(核心內容)；③數學家是如何研究圖像的對稱性而形成偶函數和奇函數的概念；④函數的奇偶性有怎樣的作用與價值.整節課以數學活動為依托，引導學生經歷觀察、歸納、猜想、論證等過程，在探索發現、合作交流中自主構建知識結構體系，使其對函數性質的認知螺旋上升.基于此，本節課采用以下教學策略：
教學策略1 注重概念教學，開展深度學習
數學概念是數學學習的基礎，是數學思想與方法的載體.但高中階段的數學概念結構復雜，呈現方式靈活，抽象性強，學生在學習過程中容易出現重記憶輕理解，重應用輕推導等問題.因此，本節課中教師結合學生的認知需求與發展，在新舊知識的銜接處，通過問題鏈，搭建新概念的不同難度階梯，有目標、分層次地幫助學生理清知識的來龍去脈，深刻理解、精確表達概念.具體設計如下：
在數學概念的引入部分，通過設計學生課前活動1，幫助學生在收集素材的過程中獲得對圖像對稱性的感性認識，挖掘出數學中隱藏的趣味性、實用性，形成知識的表象.通過對情境共性的抽象，從事物的表象中概括出事物的本質特征，引出函數圖像的對稱性.然后借助學生課前活動2，引導學生復習冪函數的概念和圖像，根據“軸對稱”“中心對稱”的概念將冪函數
進行分類，其中
，啟發學生通過觀察分析、抽象歸納，發現規律，提出猜想，并進一步思考如何用符號語言表示“指數為正整數的冪函數的圖像關于
軸(原點)對稱”這一幾何特征，幫助學生發現初中從圖像出發得到的“軸對稱”“中心對稱”的概念其實是缺少便于用來進行代數檢驗的定義的，激發學生的求知欲，進而對函數奇偶性的概念展開探究性學習.
在數學概念的形成部分，通過探究“函數
，
的圖像關于
軸對稱”的等價表達形式，引導學生經歷“質疑—探疑—解疑—釋疑”的學習過程，將從圖像特征中得到的描述性語言自然而然地改進為數學符號語言，在循序漸進的體驗中實現思維的遞進.學生在充分參與偶函數概念形成的基礎上結合教師的板書示范，自主調動已有的學習經驗，通過深入細致的觀察、科學合理的類比、嚴謹完整的論證后給出奇函數用符號語言表示的定義，體會研究函數性質的一般方法，感悟類比的數學思想.在新概念形成之初，學生往往容易忽略兩個問題：一是概念中要求偶(奇)函數的定義域要關于原點對稱；二是探究中的“等價”二字意味著我們可以從“形”和“數”兩個不同的角度刻畫函數的奇偶性.教師通過強調“對任意的
均有
”以及追問“函數的圖像關于
軸(原點)對稱是函數為偶(奇)函數的什么條件?”引導學生精準把握函數奇偶性概念的本質，熟悉其表述，形成正確的認知結構.然后再借用信息技術將數學史融入課堂教學，引領學生再次經歷函數奇偶性概念發生、發展的過程，感受數學知識產生的背景，深化對數學概念的理解，把握函數的奇偶性概念的內涵、外延和價值，使學生能更好地運用高中數學概念教學中獲得的知識解決問題，增強自身的探索意識和創新精神.
教學策略2 關注問題轉化，提升遷移能力
遷移是數學學習過程的重要組成部分，是促進知識內化不可或缺的重要環節，數學核心素養中的六項基本內容均可以在遷移過程中得以體現，因此培養學生的學習遷移能力實則是在為不斷夯實學生的數學核心素養保駕護航.本節課在設計時力求通過合理運用遷移理論，讓學生在課堂教學中實現“知一隅，而以三隅反”的效果，能將在一個情境中獲得的概念學習策略遷移至相同類型甚至是不同類型的情境中去，促進學生提升個人從單一情境中抽象出一般的數學模型的能力，最終構建個人的數學生活，深化數學核心素養.具體設計如下：
在數學概念的應用環節，本節課作為函數奇偶性的起始課，在例題的設計上更關注學生對新概念的理解，強調解題的規范性與條理性.例1選自課本，兩道題目表面上看似簡單，實則暗藏玄機，函數的表達形式由概念中的“
”變成了只含字母“
”，借助這個巧妙的設計引導學生學會利用定義等價轉化問題，并使用準確的數學符號語言表述論證過程.然后通過追問“函數
是否為一個奇函數”以及“能否在不改變函數表達式的前提下，改變一個條件，使得函數
不是一個偶函數？”啟迪學生思維，歸納出“說明一個函數不是偶(奇)函數”的方法以及“函數的定義域關于原點對稱是函數為偶(奇)函數的必要非充分條件”這一結論，對函數奇偶性概念進行再認識，充分體會概念中“任意”二字的含義以及函數定義域的重要性.最后再通過課后練習，加深學生對課堂上獲得的知識、研究結果、思想方法的理解，使學生能將它們靈活地運用到各種具體情境中解決問題，最終形成穩定的、可遷移的數學思維模式.
教學策略3 滲透評價理念，重視課堂生成
教學評價是數學教學活動的重要組成部分，它既可以引導學生多思考、多創新、多參與，在評價中了解自己學習上的進步與存在的問題，調整自己的學習方法和思維習慣，也可以幫助教師了解學生對知識技能掌握的程度和學生的思維活動的特征，及時改進教師的教學行為，提高學生的學習積極性和緊迫性.本節課借助教學評價串聯教學活動，在評價理念的滲透過程中，著重體現了以下兩個特點：
一是評價主體多元化.在數學概念的形成部分和應用環節，自主探究、生生合作、師生合作三種學習模式相輔相成.學生在獨立思考、自主探究，合作學習、互相糾正，班級匯報、教師指導的學習模式中獲得自我評價、同伴評價、教師評價，借助評價信息發現不足，及時調整學習節奏和方式，形成正確的學習方法.
二是評價形式多樣化，在概念引入部分的設計上采用邊答邊評的形式，教師給予學生及時的點評和信息補充，提升學生的學習興趣、自信心，幫助學生完善知識體系，提升邏輯思維的縝密性；在例1的設計上采用比較評價的形式，教師將學生的書寫過程投屏展示，然后再板書示范，引導學生觀察比較，在對比中掌握論證表述的精準形式；在探究2的設計上采用答完再評的形式，教師借助延緩評價為學生搭建起一個自由發揮的空間，讓學生在課堂上有機會去充分探索新知、獲取新知，去分享自己的見解、解題思路，逐漸成長為既具獨立性、創造性，又有合作精神、基礎扎實的優秀學習者.而每個學生的回答又可以折射出不同的個性色彩，生成更具活力的數學課堂.
五、教學過程設計
學生課前活動1：生活中，具有對稱性的圖像無處不在.在建筑學中，簡單的結構因對稱的應用而恢宏穩定，給人一種平衡和諧的視覺感受，是中國建筑最大的特色之一；在品牌標志中，簡單的圖形因對稱的應用而紛繁美麗，有利于快速樹立品牌形象，打造知名度.請同學們課前搜索資料，將你熟悉的具有對稱性的建筑或品牌標志的圖片上傳到問卷星鏈接中：https://www.wjx.cn/vm/mq2TGAt.aspx#
中國建筑及中國企業品牌標志圖片展示：
學生課前活動2：請同學們復習冪函數的概念和圖像，作出
的圖像，其中
取
.
(一)巧設情境、引入新知
如果我們將圖1中廈門海滄隧道(世界十大跨海公路隧道)的雙連拱部分和圖2中中國移動綠色標識部分分別抽象成曲線，并按照圖3、圖4的方式建立平面直角坐標系，就會發現這兩條曲線對應的函數的圖像分別關于
軸和原點對稱.
圖1 廈門海滄隧道 圖2 中國移動 圖3 圖4
【
設計意圖】通過具有對稱性的中國建筑物和國產品牌標志的真實情境連接教學內容和現實生活，激發學習興趣，引出研究函數圖像的對稱性的必要性.學生在感受對稱性在生活中應用的普遍性和重要性的同時體會國力的強大，增強民族自豪感.
問題1：在冪函數
中，哪些函數的圖像關于
軸對稱？哪些函數的圖像關于原點對稱？
問題2：結合問題1的結果，你能否提出一個猜想？
預設結果：
為偶(奇)數時，冪函數的圖像關于
軸(原點)對稱.
問題3：以冪函數
為例，思考如何用符號語言表示“函數圖像關于
軸(原點)對稱”這一幾何特征？
思考：問題3中的結論能否作進一步的推廣？
【
設計意圖】借助冪函數圖像的對稱性，通過問題鏈的形式，啟迪學生思維，逐步引導學生發現初中從圖像出發得到的“軸對稱”“中心對稱”的概念缺少便于用來進行代數檢驗的定義，導出引入“函數的奇偶性”概念的必要性.
(二)形成概念、理解辨析
探究1：“函數
，
的圖像關于
軸對稱”的等價表達形式.
探究1包含：①從圖像對稱推出關系式；②從關系式推出圖像對稱.
【
設計意圖】在學生經過思考與討論，從形到數，逐漸接近甚至達到函數圖像對稱性的代數表達的精確形式時，借助探究1激發學生的批判性思維，引導學生意識到將特殊情形中探究得到的規律推廣到一般情形時需要進行嚴格證明，體會合理猜想與邏輯推理的辨證統一，逐步形成嚴謹的邏輯思維能力.
學生活動1：請結合①的推理路徑圖，思考如何證明②.
【推理路徑圖】
函數
圖像上任意一點關于
軸的對稱點也在該函數圖像上.
對任意給定的
都有
(①：黑色箭頭方向；②：紅色箭頭方向)
【推導過程】①：在函數
的圖像上任取一點
則
因為函數
的圖像關于
軸對稱，所以
關于
軸的對稱點
也在圖像上，即
即對任意給定的
都有
②：在函數
的圖像上任取一點
則
關于
軸的對稱點為
.因為
，所以
也在函數
的圖像上.即函數
的圖像關于
軸對稱
【
設計意圖】借助推理路徑圖，揭示思維過程，將問題解決的路徑可視化.鼓勵學生在①的推理路徑圖的基礎上作出②的推理路徑圖，將具體函數(冪函數)研究中得到的方法遷移到抽象函數中.引導學生發現探究中的“等價”二字意味著不僅要從圖像對稱推出關系式還需要從關系式推出圖像對稱，從“形”和“數”兩個不同的角度加深對偶函數定義的理解.使學生在循序漸進的活動體驗中，逐漸養成借助直觀理解概念，借助邏輯用語進行數學表達、推理論證的思維習慣，提升思維的靈活性、嚴謹性.
偶函數的定義：對于函數
如果對于其定義域
中任意給定的實數
，都有
并且
就稱函數
為偶函數.
偶函數的圖像特征：偶函數的圖像關于
軸對稱.
探究2：“函數
，
的圖像關于原點對稱”的等價表達形式.
學生活動2：請先自主完成探究2的證明過程，然后以小組為單位交流討論，互相檢查書寫過程是否完整、嚴謹，最后推選一名小組代表在班級層面匯報展示小組的探究結果.
【
設計意圖】借助已有的偶函數概念形成的探究經驗，引導學生將研究方法進行遷移，自主建構探究奇函數概念的研究方法、證明思路以及符號語言的精準表達方式.通過探究2為學生創設了思考、討論、類比、概括的良好氛圍，使所學知識成為學生經歷觀察、猜想、推理、論證而自然得出的結論，從中體會從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的方法，加深對定義的理解，提升數學表達能力和處理邏輯性問題的能力，培養團隊合作精神.
奇函數的定義：對于函數
如果對于其定義域
中任意給定的實數
，都有
并且
就稱函數
為奇函數.
奇函數的圖像特征：奇函數的圖像關原點對稱.
(三)應用舉例、鞏固新知
例1 (1)證明函數
是一個偶函數；
(2)證明函數
是一個奇函數.
【
設計意圖】在函數奇偶性的概念中，函數都是以“
”的形式出現，而這兩道題中卻只出現了字母“
”，這微妙的變化可能會給學生在表達上帶來阻礙.課堂教學中鼓勵學生先大膽嘗試獨立完成證明，再相互交流解題思路，充分調動學習的積極性，最后教師對學生中出現的
等論證表述給予指導、糾正，指出以
的形式呈現的函數對于奇偶性論證表述的影響，并與學生一起歸納出奇函數、偶函數的證明步驟，讓學生充分體會數學證明的嚴謹性和規范性.
變式1：請判斷函數
是否為一個奇函數？并說明理由.
變式2：請在不改變函數表達式的前提下，改變一個條件，使得函數
不是一個偶函數.
【
設計意圖】辨析偶函數和奇函數的概念，引導學生正確、靈活地應用概念解決數學問題.變式1旨在強調概念里“任意”二字的含義，根據概念可以通過舉例的方式說明一個等式不恒成立，從而得出一個函數不是奇(偶)函數.變式2旨在強調函數的定義域關于原點對稱是函數為偶函數或奇函數的必要非充分的條件.
（四）數學文化、學科德育
【設計意圖】通過微視頻向學生介紹函數的奇偶性研究的歷史演進過程.將數學家們的思維活動呈現給學生，使學生沉浸在對數學知識的期盼、探求的情景之中，增強學生對數學概念的認知，體會每一個數學概念的形成都是經過了無數數學家不斷地思考質疑、反復推敲才得以完善的，鼓勵學生在日常學習中也要學會發現問題、提出問題、合理猜想、嚴謹求證、最終解決問題，形成動態的數學觀.
（五）課堂小結、作業布置
課堂小結：
1.本節課學習了哪些主要知識？
2.在探究偶函數和奇函數概念的過程中，你學到了哪些重要的方法？
【設計意圖】引導學生積極主動地思考，將零散的知識進行歸納總結，掌握內在聯系，構建系統的知識模塊、完善的知識框架，從知識內容和數學方法與思想兩個方面形成思維導圖，強調從特殊到一般、從具體到抽象、從形到數、先猜后證的方法.
作業布置：
（I）基礎題
1.如圖1，已知函數
在
軸一側的圖像，分別作出
為偶函數和奇函數時的大致圖像.
圖1 圖1
2.以下3個命題中正確命題的序號有_________.（填所有正確命題的序號）
①奇函數的圖像一定過原點；
②偶函數的圖像不一定與
軸相交；
③若函數的圖像上存在無數對關于
軸對稱的點，則函數一定為偶函數.
（請同學們將第2題的答案上傳到問卷星鏈接中：https://tp.wjx.top/vj/h4Mp8nz.aspx）
3.證明：(1)函數
是一個偶函數；(2)函數
是一個奇函數.
4.是否存在既是奇函數又是偶函數的函數？若存在，請舉出一個例子，并思考滿足條件的函數是否唯一；若不存在，請說明理由.
【設計意圖】第1題讓學生體會函數奇偶性的應用價值，它為研究函數的圖像和性質帶來了便利.第2題引導學生對偶函數、奇函數圖像的某些細節作進一步的思考，本題將通過問卷星的形式回收結果并統計正確率，借助信息技術支持本節課的教學與評價.第3題考察學生能否從代數的角度研究函數的奇偶性以及能否用符號語言嚴格表述，體現邏輯推理素養要求.第4題改編自課本，此處沒有給出函數的表達式，給學生的分析、表達可能會帶來一定的挑戰，啟發學生在抽象的情境下從代數的角度解決問題，體現數學抽象素養要求.
（II）拓展題
5.已知函數
和函數
.
(1)請作出上述兩個函數的大致圖像并指出它們的對稱軸或對稱中心；
(2)請證明(1)中的結論；
(3)請嘗試將函數的奇偶性作進一步地推廣，分別探究定義域為
的函數的圖像關于直線
對稱和關于點
中心對稱的充要條件.
【設計意圖】學生需要獨立完成三項任務：一是結合圖像，觀察得出具體函數圖像的對稱軸、對稱中心；二是利用對稱性的定義，證明一個具體函數的圖像具有某條對稱軸或某個對稱中心；三是在(1)、(2)小問和本節課的教學內容的啟發下將結論一般化.考察學生是否掌握了研究函數奇偶性的邏輯推理表達段落，是否理解了其中所蘊含的數學思想.完成這三項任務的過程可以促進學生養成嚴謹、規范表達的習慣，提升遷移能力，發展邏輯推理、數學抽象素養.
6.請你結合本節課中播放的《奇函數、偶函數的形成與發展》視頻，查閱有關資料，了解偶函
數和奇函數概念發展的歷史，例如：形成過程、主要人物、關鍵事件、重要結果、應用價值等等，形成一份閱讀報告.
【設計意圖】本作業是一份長周期作業，建議用2~3周時間收集資料、撰寫閱讀報告，以小組為單位合作完成.在這項活動中，學生將進一步走進函數奇偶性的世界，通過搜索、閱讀、整理資料，提升自主學習和團隊合作等能力，通過經歷函數奇偶性的研究從粗糙走向精確，從稚嫩演變到成熟的發展過程，加深對概念的認識，體會數學在社會發展中的作用，感悟數學的價值.
【評價建議】以小組為單位，將組員的閱讀報告內容進行匯總整理，提煉核心內容制作成PPT，在課堂上進行小組匯報展示.對每位學生的評價由自我評價、組內互評、組組互評、教師評價結果綜合評定.前三種評價方式對應的標準由班級學生討論后統一制定.教師評價標準如下：
|
內容 |
等第 |
標準 |
|
小組匯報 |
優秀 |
PPT制作精美，匯報內容豐富，有充足的引證根據，表達正確且流暢. |
|
良好 |
PPT整潔，匯報內容較全面，缺乏引證根據，表達自然. |
|
合格 |
PPT制作簡單，僅圍繞部分內容撰寫，條理不夠清晰. |
|
須努力 |
表達不清楚，態度不端正. |
本節課通過關注學生的課堂活動表現和課后作業反饋相結合的形式檢測課堂教學目標的完成效果.
教師在課堂活動中先通過觀察、提問、隨堂練習等方法從學生的書面表達和語言表達中對部分學生的知識理解程度、方法掌握情況、探究能力水平進行第一次檢測.然后在課堂活動結束時回收學案，通過分析學生的課堂筆記、錯題訂正、課堂小結等內容，相對全面地了解每一位學生的學習態度以及學習方法、數學思維隨著教學過程的變化和發展情況，對教學目標進行第二次檢測.最后再通過作業的分層設計，區分出學生的學習能力和水平，關注不同學生在本節課中獲得的能力、思維發展情況，診斷學生學習過程中的優勢與不足，以便在下一階段的教學中改進教法和學法，促進學生數學學科核心素養的達成，完成第三次教學目標檢測.
附錄：上海教育出版社出版的2020版普通高中教科書《數學》中《5.2(1)函數的奇偶性》教學內容.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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