視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的極值與導數》四川—魏
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四川—魏靜—設計—函數的極值與導數
第十一屆高中青年數學教師課例展示活動
1.3.2函數的極值與導數
四川省南充高級中學 魏靜
2022年11月
授課課題：
函數的極值與導數
教材：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）選修2-2
授課教師：四川省南充高級中學 魏靜
一、教學內容解析
（一）知識結構圖
（二）教學內容解析
《函數的極值與導數》是人教 A 版選修2-2第一章第三節的第二小節，屬于“導數在研究函數中的應用”單元第2課時，其主要內容包括極值的概念；借助導數研究函數的極值.本節課是繼 “函數的單調性與導數”之后，對導數研究函數的再次應用，是對前面所學導數概念、運算、利用導數研究函數的單調性等內容的延續和深化，同時為其后利用導數研究可導函數的最值以及導數的實際應用做好鋪墊工作.
函數極值的內涵是局部范圍內的最大（小）值，中學階段對應單調性的轉折.必修一通過圖象和定義研究了基本初等函數的單調性，但遇到基本初等函數的四則運算或者復合函數，函數的單調性就很難用定義法解決.對于連續可導函數而言，導數能定量地刻畫函數的局部變化規律，是研究函數的基本工具.有了導數以后，可將函數單調性問題轉化為導數的正負性判斷問題,將函數的極值點判斷轉化為導數的變號零點判斷.本節內容所蘊含的基本思想是轉化與化歸，運用徐利治先生提出的關系—映射—反演(RMI)原理的方法把原函數的極值點的問題通過單調性“搭橋”轉化為導函數變號零點的判斷問題，并利用結果反演解釋原函數的極值.
其思維模式為：
縱觀本單元教學內容，研究路徑可以歸結為：導數的正負→函數的單調性→函數的極值→函數的最大（小）值→函數的綜合問題.因此利用導數研究函數的單調性成為“導數在研究函數中的應用”單元的教學重點，且一以貫之的思想方法是轉化與化歸，體現了數學思想的一致性和研究方法的一般性.讓學生在掌握基礎知識、基本技能的同時，領悟基本思想，積累基本活動經驗，切實體驗到“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”，使發展學生數學學科核心素養有了具體抓手.
本節課利用圖象“起伏”特征，促進學生感悟“人生中的起起伏伏”，借助函數的局部性質“極值”對比函數的整體性質“最值”，培養學生嚴謹的求學態度，樹立全局觀、全面看待問題的世界觀.
基于以上分析，確定本節課的教學重點.
【教學重點】函數極值的概念、用導數的方法求函數的極值
二、教學目標解析
（一）單元教學目標
《普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）要求如下：
一般地，在高中階段研究與導數有關的問題中，涉及的函數都是可導函數.
①結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性；對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間.
②借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值；體會導數與單調性、極值、最大 （小）值的關系.
選修A類課程中，要求會利用導數討論函數的極值問題，利用幾何圖形說明一個點是極值點的必要條件與充分條件 （不要求數學證明）；要考慮高中學生的接受能力，重視課程內容的實際背景，關注數學內容的直觀理解，培養學生的數學抽象、數學運算、數學建模和邏輯推理素養，為進一步學習大學數學課程奠定基礎.
（二）課時教學目標
①學生能借助函數圖象的變化感知“波峰波谷”、“單調性的轉折點”，生成極值概念；體會類比、數形結合思想；發展學生的數學抽象、數學建模核心素養.
②通過三次多項式函數的極值判斷，通過師生共同規范板書解答過程，學生能夠歸納利用導數求函數極值的方法和步驟，領悟函數與方程、轉化與化歸思想，發展學生數學運算、邏輯推理核心素養.
③通過判斷函數
是否有極值，運用導數工具或者數形結合方法，理解函數在某點處取得極值的必要條件和充分條件，發展學生邏輯推理、直觀想象核心素養.
④通過具體實例感受導數在研究函數中的作用，體會導數的意義.通過群山起伏建立“勇攀頂峰”的信心；通過“遠近高低各不同”樹立全面看待事物的世界觀；通過“只緣身在此山中”體會極值與最值、局部與整體的關系，培養學生“全局觀”，落實“立德樹人”目標.
三、問題診斷分析
（一）已具備的認知基礎
授課對象是四川省南充高級中學高二學生，具備較好的觀察分析、抽象概括能力.
學生已經學習了導數的概念與基本運算，導數的幾何意義，函數的單調性與導數的關系，為本節利用導數來研究函數的極值奠定了基礎，為學生在活動中自主探究并抽象出極值的概念，發現極值和導數的關系，得出取得極值的條件提供可能；學生初步具備運用導數的基本思想去分析和解決函數問題的意識，本節課將繼續加強這方面的意識和能力培養.
（二）可能出現的障礙
學生雖然學習了導數的概念，但對于極限和導數的學習十分有限，雖然函數的連續性、可導性、極值概念中的“附近”即“鄰域”等高等數學知識在高中階段不要求學生掌握，但不能為學生后續的學習造成知識的“負遷移”，在授課時說明在高中階段研究與導數有關的問題中，涉及的函數都是可導函數. 但“可導函數極值點的導數特征”仍無法進行嚴格的證明.因此內容本身的強理論性對學習本節極值概念、極值與導數的關系增加了難度.另外，學生雖然有通過幾何直觀概括函數性質和利用導數研究函數單調性的經驗，但要將函數的極值點的幾何特征深刻到符號化水平去定性地刻畫，從圖形語言轉化到符號語言，仍然不太容易.
基于以上分析，確定本節課的教學難點.
【教學難點】函數的極值概念、函數的極值與導數的關系
（三）難點突破策略
通過學生“單調性與導數”的課后實踐作業引入課題，引導學生經歷“極值”的發生、發展過程，采用“畫圈”操作驗證，幫助學生理解概念中的“附近”，得出端點不是極值點、極值是函數的局部性質等結論，把高等數學中非連續可導函數的極值判斷、定義解讀放到課后作業的拓展閱讀部分，既不影響主體知識建構，又使學有余力的學生得到進一步發展.
以三次多項式函數為載體，引導學生將問題轉化，回歸定義，通過連續追問和層層展開的探討去激活學生“最近發展區”，使新問題極值與舊知單調性、導數等相練習，自然合理引出導數研究函數極值，通過幾何畫板作出原函數和導函數圖象，讓學生“看得見”也“說得出”，再通過教師示范，學生程序化步驟總結，理解函數的極值與導數關系.
四、教學支持條件
（一）教學策略分析
采用
問題探究式教學法，以恰當的問題為紐帶，給學生創設自主探究、合作交流的空間，體驗“試錯—轉化—驗證—結論”的學習過程.教學中始終遵循
“教師為主導，學生為主體，知識為主線，發展思維為主旨”的“四主”原則．
教師為主導：問題引導 明確方向
通過“從單調性的變化來看，哪些點位置比較特殊？這些點有什么共同特點？”引導學生借助圖象變化，形成“局部最值”的直觀感受，得出極值概念；在回歸定義確認研究函數極值可以先判斷單調性后，通過“研究函數的單調性有一個非常重要的工具是？”自然合理引出用導數研究函數的極值.整個教學過程中，營造和諧的教學氛圍，通過課堂巡視，個別輔導，使不同的學生在數學上得到不同的發展.
學生為主體：自主探究 合作交流
在概念辨析、借助導數求函數極值、探究導數與極值的關系等環節，學生積極參與，充分展示自我，通過師生互動，生生互動，設疑探討，確認答疑，讓學生在參與中獲取知識，發展思維，感悟數學．
知識為主線:極值是什么？怎么求極值？為什么借助導數研究函數極值？
通過實踐作業成果展示，抽象出函數圖像，借助幾何直觀，形成極值概念；通過基本初等函數鞏固圖像判斷極值，通過三次多項式函數例題設計，回歸定義，引出導數判斷極值；通過目標檢測，掌握函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.
思維為主旨：轉化與化歸
通過將原函數的極值點對應到求導函數的變號零點，滲透轉化與化歸，突出本節教學主題，用導數研究函數.
在“設疑答疑”過程中掌握函數的極值點對應導函數的變號零點的基礎知識、會用導數的方法求極值的基本技能，領悟轉化與化歸的基本思想，積累基本數學探究活動經驗.
（二）教學媒體分析
黑板：板書教學流程和用導數求三次多項式函數的解答過程和基本步驟.
教育一體機、101教育ppt軟件、幾何畫板軟件：借助一體機，播放視頻、圖片，幫助學生形成“極值”幾何直觀感受，借助ppt將“附近”通過“畫圈”形象地刻畫，幫助學生理解極值概念，借助幾何畫板動態演示原函數圖象和導函數圖象的變化，幫助學生直觀理解函數單調性、函數的極值與導數關系.
五、教學過程設計
（一）教學環節
（二）教學過程
1、創設情境 提出問題
【
數學情境1】2022北京冬奧會中，蘇翊鳴奪得男子單板滑雪大跳臺的冠軍，讓我們一起回顧他的精彩瞬間.通過下滑、起跳、落地滑行，運動員的運動軌跡實現了減-增-減的過程.
【數學情境2】上節課中全紅嬋高臺跳水經典案例，從起跳到最高點，圖象上升，函數單調遞增；從最高點到入水，圖象下降，函數單調遞減.
【數學情境3】第八小組提交這張美麗的照片，他們通過預習，結合教材探究圖，聯想到游學活動的群山，山峰的起伏對應著函數的增減.
師生活動：教師展示學生上節課函數的單調性與導數課后實踐作業成果.引導學生從具體實例中抽象出函數圖象，觀察并思考，曲線的單調性變化.
教師引言（1）：生活中處處是數學，我們要學會用數學的眼光觀察世界.
設計意圖：尊重教材又創造性地使用教材，結合教材“探究”圖，借助學生作業成果，創設高臺跳水、滑雪大跳臺等情境引入課題，緊跟時代熱點，引起學生興趣，激發學生愛國情懷.
2、生成概念 內涵辨析
【問題1】觀察以上圖象并思考，從單調性的變化來看，圖中哪些位置比較特殊？為什么？
師生活動：觀察歸納得出結論：A、B、C這些點都是單調性發生變化的轉折點，在這些點附近要么左增右減，要么左減右增.
【追問】這些位置的函數值有什么共同特點？
探究發現1： 探究發現2：
師生活動：以“二次函數”和“滑雪曲線”為例，放大“波峰”、“波谷”附近圖象，發現共同特點，這些點的函數值是附近最大或附近最小，是“局部最值”.
設計意圖：通過將圖形放大，學生形成更直觀的感受，即函數的極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，通過對比函數的最值，引發學生的認知沖突，從而引出極值的概念，體現從特殊到一般的思想，發展學生直觀想象、邏輯推理核心素養.
教師引言（2）：正所謂“橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同”，當我們所站的位置不同，看待事物的角度不同，可能結果就不一樣.
設計意圖：通過古詩總結，一是更加形象直觀地表達“局部最值”，二是幫助學生樹立正確的世界觀，學會全面看待事物，落實“立德樹人”育人目標.
師生活動：教師板書課題—函數的極值，學生借助圖象，類比極小值概念，歸納概括極大值概念.
極小值概念：
函數
在點
處的函數值
比它在點
附近其他點的函數值都小，我們把點
叫做函數
的極小值點，
叫做函數的極小值.
極大值概念：
函數
在點
處的函數值
比它在點
附近其他點的函數值都大，我們把點
叫做函數
的極大值點，
叫做函數的極大值.
【說明】
（1）極小值點、極大值點統稱為極值點；
（2）極小值和極大值統稱為極值；
（3）極值點是自變量（
橫坐標）；極值是函數值（
縱坐標）.
設計意圖：極值概念的完備性（包括非連續可導函數）高中不要求掌握，但不能為學生后續的學習造成知識的“負遷移”，在授課時說明在高中階段研究與導數有關的問題中，涉及的函數都是可導函數，把高等數學中非連續可導函數的極值判斷以及定義解讀放到課后作業的拓展閱讀部分.引導學生從特殊到一般，借助幾何直觀，經歷“極值”概念的生成過程，積累從實例中抽象數學概念的數學活動經驗，體現類比思想，發展學生數學抽象、直觀想象核心素養.
問題2：如圖，函數定義在閉區間
上，請回答：圖中哪些是極大值點？哪些是極小值點？
追問1：
的函數值比它附近其他點的函數值都大，
是不是極大值點？
師生活動：學生小組合作，分享交流、質疑探討、師生合作，確認釋疑.
結論：極值概念中的“附近”要求極值點左右有鄰居，
端點不是極值點.
追問2：
是不是極大值點？
如圖（圓圈較小），
的函數值比它附近其他點的函數值都大，將
附近圓圈擴大；
如圖（圓圈較大），此時
的函數值不滿足比它附近其他點的函數值都大.
師生活動：教師追問，學生思考，交流討論.
結論：“附近”體現了極值是函數的局部性質. “附近”不是“任意”，而是“存在”.
設計意圖：引導學生以“群山曲線”為載體，通過小組合作、討論交流，通過“畫圈”幫助學生進一步理解極值概念中“附近”的含義，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，幫助學生充分理解極值作為函數的“局部性質”的內涵.發展學生直觀想象核心素養.突出本節教學重點，突破難點.
教師引言（3）：極大值對應“波峰”，極小值對應“波谷”，此情此景，你能聯想到一個成語嗎？
（登峰造極）
設計意圖：通過成語“登峰造極”，幫助學生理解極值的圖形語言.
問題3：極大值一定大于極小值嗎？
結論：
極大值與極小值沒有必然的大小關系.
問題4：函數的極大值和極小值唯一嗎？
結論：函數的極值可以有多個，也可能沒有.
設計意圖：通過幾何直觀，觀察得出結論，體現“極值”的局部性質，為整體性質“最值”的學習積累經驗，發展學生
直觀想象核心素養.
教師引言（4）：大自然尚且起起落落，更何況是人呢？人生的低谷總是難免的，我們要不懼低谷，勇攀頂峰！
設計意圖：借助幾何直觀，鼓勵學生不懼低谷，勇于攀登，實現“立德樹人”育人目標.
3、鞏固拓展 概念應用
例1：判斷下列函數是否有極值，如果有，求出極值，如果沒有，請說明理由.
師生活動：教師展示課件，呈現例題，學生結合極值概念和函數圖象，快速做出判斷.
設計意圖：例1設置學生熟悉的基本初等函數，借助函數圖象，鞏固極值概念，學生快速判斷函數極值，獲得發展所必需的
基礎知識和基本技能，體現
數形結合思想，培養學生
直觀想象核心素養.
例2：判斷函數
是否有極值，如果有，求出極值.
師生活動：快速獲取圖象遇到困難，學生思考，討論交流.
設計意圖：例2設置三次多項式函數判斷極值，學生快速獲取圖象困難，“逼迫”學生另尋他法，從而回歸極值概念.
師生活動：師生共同合作完成，回歸極值概念，從單調性的角度判斷取得極值的充分性和必要性，并借助幾何直觀，得出結論左增右減極大值；左減右增極小值.
問題5：判斷函數的單調性，有一個非常重要的工具是？
結論：原函數左增右減——導函數左正右負；原函數左減右增——導函數左負右正.
追問：極值點處的導數值等于多少？怎么判斷？
結論：極值點處的導數值為0.
思路1：極值點是單調性變化的分界點，左正右負或者左負右正，中間狀態為0.
思路2：導數的幾何意義，在極值點處的切線水平，斜率為0，導數值為0.
設計意圖：通過連續的追問，層層展開的探討，激活學生思維的“最近發展區”，引導學生主動將新問題與原認知結構中函數的單調性與導數知識相聯系，從而循序漸進，自然合理引出導數來判斷極值，體現轉化與化歸思想，發展學生邏輯推理核心素養.
師生活動：教師借助幾何畫板，同時作出原函數圖象和導函數圖象，對比形成幾何直觀，并得出結論：原函數的極值點對應導函數的變號零點.
原函數的極值點 導函數的變號零點
設計意圖：極值點的導數特征結論無法進行嚴格的證明，借助幾何畫板，讓學生“看得見”“說得出”性質，對于直觀結果，引導學生從圖象角度、單調性角度、導數角度判斷極大值和極小值，培養學生會用數學的語言（文字語言、圖形語言、符號語言）表達世界，突破本節課的難點.發展學生直觀想象、邏輯推理核心素養.
一般地，求函數
的極值的方法是：
解方程
.當
時：
-
如果在
附近的左側
，右側
，那么
是極大值；
-
如果在附近的左側，右側，那么是極小值.
例2：判斷函數
是否有極值.如果有，求出極值.
解：定義域為
令
，解得
或
.
（1）當
即
或
時；
（2）當
即
時.
當
變化時，
的變化情況如下表：
當
時，
有極大值，并且極大值為
當
時，
有極小值，并且極小值為
師生活動：教師板書規范解答過程，學生歸納利用導數求函數極值的步驟.
解題步驟： 定義域優先 1函數求導；2方程求根；3列表判號；4求出極值.
解題思路：
設計意圖：通過教師規范板書，學生總結，程序化答題步驟，加深對導數概念的理解，強化對重點知識的鞏固. 一方面提升學生的解題能力，另一方面對學生規范作答起到引領示范作用.發展數學運算、邏輯推理核心素養.
師生活動：引導學生畫出函數大致圖象，對比展示，教師幾何畫板操作確認函數圖象.
設計意圖：經歷“研究函數性質—圖象獲取困難—借助導數工具—判斷基本性質—作出大致圖象—驗證函數性質”的過程，讓學生體會到借助導數研究函數問題的工具性和優越性，鞏固用導數研究函數的單調性，也為下一節利用導數研究函數的最值積累數學活動經驗，夯實學生的基礎知識和基本技能.體現數形結合、化歸與轉化思想，發展直觀想象核心素養.
4、目標檢測 檢驗效果
目標檢測1：判斷下列函數是否有極值，如果有，求出極值，如果沒有，請說明理由.
檢測目標：（1）檢測學生對用導數判斷函數極值的方法的掌握情況和答題規范情況，測評學生運用函數與方程思想進行運算求解的能力；（2）測評學生對函數極值概念的掌握情況.
師生活動：請學生上臺演算問題（1），其余學生動手解答，教師巡視，并對答題不規范現象加以糾正.引導學生借助圖象和導數完成問題（2），引出教材思考并作出結論.
思考：導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？
結論： 是函數在
取得極值的
必要不充分條件.
設計意圖：目標檢測（1）通過對教師板演的模仿和總結，使學生鞏固利用導數判斷函數極值的方法，對問題的解決能夠形成基本方法和步驟；目標檢測（2）通過函數
的極值判斷，反向說明導數值為0是取得函數極值的必要條件，突破本節難點，體現數形結合思想，發展邏輯推理核心素養.
目標檢測2：如圖是導函數
的圖象，試找出函數
的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點.
檢測目標：本題主要檢測學生對函數極值概念、函數在某點取極值的充分條件和必要條件的掌握情況.測評學生運用數形結合思想進行直觀想象的能力.
設計意圖：來源于教材課后練習1，根據課堂教學作為“靈活處理”檢測題，是對極值概念的鞏固訓練，通過原函數圖象和導函數圖象之間的關系，深刻理解極值概念.
5、課堂小結 形成系統
教師引言（5）：好的總結，是為了更好的進步，談談你在本節課的收獲？
師生活動：用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，學生分享、教師總結，并完成本節教學思維導圖.
①知識層面 ：什么是極值？ （文字語言、圖形語言、符號語言）
②方法層面：怎么求極值？（借助圖象、借助導數）
③思想層面：為什么借助導數求極值？轉化與化歸、函數與方程、數形結合、類比歸納
④情感層面：
“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”
——不同的視角看問題
“不識廬山真面目，只緣身在此山中”
——做人做事要有全局觀
設計意圖：知識的學習是提升學生思維和能力的必經之路，而能力的提升是我們學習知識的終極目標.引導學生從知識、方法、思想和情感四個層面進行小結，理清知識結構，提煉數學方法和領悟數學思想.通過極值的學習，進一步體會“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”所蘊含的人生哲理，學會從不同的視角看待問題；“不識廬山真面目，只緣身在此山中”引導學生做人做事要有全局觀，區別于本節函數的局部性質，體現函數的整體性質，為下節課的最值學習埋下伏筆.
6、作業布置 分層提高
課本作業：
教材課后練習題2.
實踐作業：
請同學們以學習小組為單位，查閱與“極值”有關的實例.
拓展閱讀：
判斷函數是否有極值
更多極值定義問題，感興趣的同學查閱：
《談談人教版教材中函數極值的定義》《把握概念內涵 優化教學設計—函數極值的概念》
設計意圖：為了使“不同的人在數學上得到不同的發展”.設置課本作業、實踐作業、拓展閱讀.課本作業意在重視教材，重視基礎，鞏固極值概念和用導數求極值的方法；實踐作業意在提高學生學習數學的興趣，學會用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界，用數學的思維思考世界，為下節課函數的最值與導數做鋪墊；拓展閱讀作業意在滿足數學水平層次較高學生的發展.
六、教學設計說明
（一）整合教材、挖掘內涵
奧蘇貝爾曾說“影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么.要探明這一點，并應據此進行教學.”高中數學在學生沒有學極限連續可導鄰域等概念的基礎上，進行極值的學習，教材中所選取的函數均是連續可導的函數，函數圖象成“波峰”“波谷”的形狀，但這不利于學生把握極值概念的本質屬性，考慮到學生的認知基礎和能力，參考《課程標準》要求，努力實現好教材的編寫意圖，在課前明確本節研究的函數均為連續可導函數，并尋找合適的認知根源：用單調性實踐作業中具有代表性的成果創設情境引入新課→對函數圖像進行“畫圈搜索”局部最值點→尋找波峰波谷（連續函數單調性的轉折點）→導數值等于0的點（連續可導函數的駐點）→導函數的變號零點（極值點）.借助于圖像的幾何直觀，把數學知識的學術形態轉化為數學課堂的教學形態.把高等數學中非連續可導函數的極值判斷以及定義解讀放到課后作業拓展閱讀部分，既不影響主體知識建構，又能使學有余力的學生得到進一步的發展.
（二）貼近生活、立德樹人
結合教材“探究”中的函數圖象和學生實踐作業成果，緊跟時代熱點，創造適合情境，借助信息技術輔助教學，創設機會和空間，讓學生通過合作討論、分享交流，充分展示自我，經歷“極值”的發生、發展的探究過程，在課堂中通過“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”、“登峰造極”、“群山起伏，不懼低谷”等情境，不斷激發學生的學習興趣，對學生展示的小組成果給予充分肯定，對小組疑惑適時加以引導，學生在和諧歡快的數學課堂中，收獲知識和信心，樹立正確的世界觀，落實“立德樹人”育人目標.
（三）滲透思想、提升素養
單元教學要在理解內容所蘊含的數學思想和方法上下狠功夫，因此本節課“極值”只是教學的載體，解決問題所運用的徐利治先生提出的關系—映射—反演(RMI)原理的方法，滲透的轉化與化歸的思想才是本節課的靈魂.通過將原函數極值問題轉化為導函數變號零點判斷，再將結果反演解釋原函數極值的過程，發展學生運算求解、邏輯思維等關鍵能力，從單調性到極值再到最值，體會單元教學的根本遵循“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”，使數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養落地生根.
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