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高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《圓與橢圓性質(zhì)類比》山西—?jiǎng)?/p>
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山西—劉國(guó)玲—設(shè)計(jì)—圓與橢圓性質(zhì)類比
數(shù)學(xué)探究：圓和橢圓性質(zhì)的類比
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】
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內(nèi)容
圓和橢圓性質(zhì)的類比，回顧圓的性質(zhì)，推廣到橢圓中，發(fā)現(xiàn)和證明橢圓的其他性質(zhì)．
這個(gè)活動(dòng)包含的內(nèi)容比較多，除了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)所需的必要流程外，還需要完成以下內(nèi)容：
（1） 研究范例：圓與橢圓性質(zhì)類比之“垂徑定理”的范例．
（2）對(duì)于學(xué)生所選的方向，如何在一般觀念，一般研究套路的指導(dǎo)下展開研究，需要給出一些建議．
（3）學(xué)習(xí)GGB軟件的使用,包括手機(jī)版，網(wǎng)頁(yè)版．
（4）由于疫情期間，學(xué)生居家學(xué)習(xí)，部分成果匯報(bào)是在網(wǎng)上完成的，學(xué)生還要自學(xué)視頻錄制的一些操作.
基于以上原因，本單元內(nèi)容建議課內(nèi)分為3課時(shí)以及課下活動(dòng)：
課下活動(dòng)：（1）學(xué)生先自主探索，梳理圓和橢圓的性質(zhì)，通過類比，發(fā)現(xiàn)有關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，并說明理由，小組合作探索，以組為單位書寫報(bào)告. (2)課代表統(tǒng)籌安排各組研究?jī)?nèi)容.
第一課時(shí)
：分析圓錐曲線“垂徑定理”范例，介紹幾何對(duì)象研究的一般套路，在一般觀念的指導(dǎo)下，指出研究思路，明確研究任務(wù)，完成上述(1)（2）內(nèi)容．
課下活動(dòng)：學(xué)生先自主探索，小組合作探索，教師給予指導(dǎo)．發(fā)現(xiàn)、提出有價(jià)值問題，探究解決．
第二課時(shí)：中期匯報(bào)．分小組展示發(fā)現(xiàn)、提出問題的脈絡(luò)，分享探究過程，交流經(jīng)驗(yàn)開拓思路，完善論證過程，也可提出研究過程中新的猜想以及探究的瓶頸．
課下活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)一步探索，互幫互助，完善修正探究成果．
第三課時(shí)，結(jié)題交流．全面展示探究成果，完成研究報(bào)告，并撰寫論文．
上述內(nèi)容（3）（4），學(xué)生上網(wǎng)查找操作方式，自己解決，沒有統(tǒng)一安排時(shí)間.
（由于疫情影響，學(xué)校兩次放假，第一，三課時(shí)在網(wǎng)上交流完成）
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內(nèi)容解析
圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘，人們非常喜歡這種簡(jiǎn)樸而完美的曲線，像歐幾里得（Euclid，前325-前265）、阿基米德、阿波羅尼奧斯等幾何學(xué)大師都醉心于圓錐曲線的研究。當(dāng)時(shí)人們是以純粹的幾何學(xué)觀點(diǎn)來研究這種與圓密切相關(guān)的曲線的。是一種純理念的探索，取得了非常輝煌的研究成果，其中以阿波羅尼奧斯的（圓錐曲線論）為代表。直到十六、十七世紀(jì)之交，開普勒（J．Kepler，1571-1630）發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)三大定律，才知道行星是繞著以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的。開普勒三大定律是近代科學(xué)開天辟地的重大突破，它不僅開創(chuàng)了天文學(xué)的新紀(jì)元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。所以，圓錐曲線不僅是幾何學(xué)中的完美對(duì)象，而且“也是大自然的基本規(guī)律中所自然選用的精要之一”，讓我們感慨于數(shù)學(xué)與大自然居然有這樣的“心靈相通”，由衷地贊嘆數(shù)學(xué)與大自然的和諧之美。所以，圓錐曲線的學(xué)習(xí)，不僅僅是讓學(xué)生又多掌握了一些非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，同樣重要的是可以讓學(xué)生從中充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，把理性思維、科學(xué)精神的培養(yǎng)落在實(shí)處，
橢圓是圓錐曲線的代表性內(nèi)容，雙曲線、拋物線的內(nèi)容與它同構(gòu)。“橢圓”的內(nèi)容架構(gòu)、研究過程和思想方法與“圓的方程”基本一致，首先是從具體情境中抽象橢圓的幾何特征，再根據(jù)幾何特征建立標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用方程、通過代數(shù)方法進(jìn)一步研究它的性質(zhì)以及與直線的位置關(guān)系。自然的，對(duì)橢圓的研究，坐標(biāo)法是根本大法，數(shù)形結(jié)合是根本思想，這里充分體現(xiàn)出“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”的特征。
橢圓是高中階段學(xué)習(xí)的第一種全新曲線，可以為學(xué)生利用圓的方程中積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，自主歸納和概括數(shù)學(xué)結(jié)論，并學(xué)會(huì)有效地用于解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題等提供理思載體。與圓的定義一樣，橢圓的定義是基于運(yùn)動(dòng)軌跡的，其要點(diǎn)是“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”；表現(xiàn)出高度的簡(jiǎn)潔、和諧之美。再把拋物線定義的要點(diǎn)“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)與到一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡”放到一起，可以發(fā)現(xiàn)它們是幾何學(xué)本質(zhì)的直接體現(xiàn)-“幾何的本質(zhì)在于度量，度量的本質(zhì)在于長(zhǎng)度”。通過基本運(yùn)算給出距離（長(zhǎng)度）間的確定關(guān)系，進(jìn)而得到圓錐曲線的定義，讓學(xué)生體驗(yàn)這些定義所蘊(yùn)含的完美的數(shù)形結(jié)合思想，可以全面提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，形成新的數(shù)學(xué)學(xué)科視角，提高數(shù)學(xué)表達(dá)的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
數(shù)學(xué)探究是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論．圓與橢圓都是封閉二次曲線，有很多相似的性質(zhì)，這樣的問題探究有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析解決問題、解決問題的能力。探究過程中鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，合作探究學(xué)習(xí)，解決問題。
此次探究活動(dòng)，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)對(duì)圓的性質(zhì)比較熟悉，在類比遷移中容易展開。采用各組選方向，分組探究，制作PPT匯報(bào)，寫論文實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，能夠使學(xué)生在做中學(xué)、在學(xué)中做，從中體會(huì)數(shù)學(xué)研究的樂趣，并且展現(xiàn)個(gè)性，嘗試創(chuàng)新。
本單元例要求學(xué)生完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，掌握數(shù)學(xué)探究的基本方法與步驟，提高“四能”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究興趣，提升數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析，直觀想象等素養(yǎng).
3. 教學(xué)重點(diǎn)
經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究過程，掌握數(shù)學(xué)探究的一般方法與步驟，體會(huì)每一個(gè)環(huán)節(jié)的必要性和完整性，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的全過程。
【目標(biāo)和目標(biāo)解析】
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單元目標(biāo)
（1）運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，通過類比圓與橢圓的性質(zhì)，提高邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
（2）通過數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，歸納與掌握數(shù)學(xué)探究的一般方法與步驟，理解數(shù)學(xué)探究的多樣性，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析，直觀想象等素養(yǎng).
2. 目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）學(xué)生通過分組、合作等形式， 總結(jié)圓的性質(zhì)，類比橢圓的性質(zhì)，制作出PPT.
(2)學(xué)生能回答“你怎么發(fā)現(xiàn)的這個(gè)問題，提出了怎么樣的問題，怎么分析得，如何解決得”；歸納與掌握數(shù)探究的一般步驟，能提出或理解數(shù)學(xué)探究的多樣性.
【學(xué)生學(xué)情分析】
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學(xué)生學(xué)情
在這個(gè)部分我從兩個(gè)方面分析：
一.學(xué)生方面
學(xué)生現(xiàn)在學(xué)段是高三的一輪復(fù)習(xí)階段，他們已掌握了圓錐曲線的基本性質(zhì)，也曾對(duì)自己感興趣的問題深入研究過，但還未經(jīng)歷過數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的全過程。數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們總是習(xí)慣于讓學(xué)生做現(xiàn)成的，條件封閉的題目，對(duì)于這樣相對(duì)開放的探究活動(dòng)孩子們是興奮的，但也是迷茫的，不知該探究什么.
基于以上分析，我對(duì)學(xué)生的初步探究作了一些預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)把一些常見的圓和橢圓性質(zhì)點(diǎn)狀得羅列，畢竟學(xué)生對(duì)做題方面還是熟悉的，寫出的是一些離散的、不連貫的碎片化知識(shí)（事實(shí)上正是如此）。
二.教師方面
高三復(fù)習(xí)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師備課更多考慮的是，知識(shí)點(diǎn)是否復(fù)習(xí)到位，學(xué)生訓(xùn)練的題型全不全，我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)計(jì)好了一切。 教師利用數(shù)學(xué)探究的教學(xué)方式復(fù)習(xí)，是比較陌生的，雖然我們經(jīng)常學(xué)習(xí)這方面的理論知識(shí)，但缺乏實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，尤其是如何引導(dǎo)學(xué)生展開探究還需要學(xué)習(xí)相關(guān)的理論知識(shí)。
2. 教學(xué)難點(diǎn)
在一般觀念指導(dǎo)下，用研究幾何圖像的一般套路探究所選內(nèi)容.
【教學(xué)策略分析】
我們知道，新教材的不同章節(jié)中，研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容和具體方法都會(huì)發(fā)生變化，但整體框架和研究路徑是基本相同的。以此作為每一章教材“謀篇布局”的指導(dǎo)思想，不僅可以使教材體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，而且能使學(xué)生通過一個(gè)個(gè)具體對(duì)象的學(xué)習(xí)，逐步明了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本框架和路徑，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性思維也有至關(guān)重要的作用。在此過程中，可以使學(xué)生更深入地體驗(yàn)“數(shù)學(xué)的方式”，明確學(xué)習(xí)方向和學(xué)習(xí)重點(diǎn)，更加有的放矢地展開學(xué)習(xí)，從而有力地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和效益。
所以我決定從研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路為主線，引導(dǎo)學(xué)生用有效的研究思路和方法，展開獨(dú)立思考，合作探究。最后希望學(xué)生將他們所研究的碎片化的問題串在一起，建構(gòu)所研究?jī)?nèi)容體系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性；加強(qiáng)一般觀念的指導(dǎo)，提升教學(xué)的思想性，發(fā)展學(xué)生的理性思維。
在研究過程中，還要注意充分利用“運(yùn)算”的紐帶作用形成學(xué)習(xí)進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生先用幾何的眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決，通過“運(yùn)算”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有效借助運(yùn)算方法解決問題，通過運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，進(jìn)而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。在此過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)也就得到了提升。
【教學(xué)方式設(shè)計(jì)】
在教師的帶領(lǐng)下，以課題研究的方式進(jìn)行．
【數(shù)學(xué)探究規(guī)劃】
教師先以引導(dǎo)的方式，設(shè)計(jì)“問題串”，將圓錐曲線的“垂徑定理”的研究過程，完整地呈現(xiàn)出來，先給學(xué)生以完整的數(shù)學(xué)探究過程。這一環(huán)節(jié)，是學(xué)生思維從“做數(shù)學(xué)題”到“ 數(shù)學(xué)探究 ”的一個(gè)過渡，幫助學(xué)生在思想上從“做數(shù)學(xué)題”轉(zhuǎn)變到“數(shù)學(xué)探究”。
之后，教師以引導(dǎo)和啟發(fā)為主，設(shè)計(jì)“問題串”，幫助學(xué)生通過類比的方式， 接下來，再讓學(xué)生按照要求開展小組合作的方式自行選擇研究?jī)?nèi)容。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)包括課內(nèi)活動(dòng)和課下活動(dòng)兩部分。課下活動(dòng)以學(xué)生的組內(nèi)合作研究為主，教師指導(dǎo)為輔。課內(nèi)活動(dòng)包括課題示范、中期交流和成果展示，以各組學(xué)生展示交流為主，教師點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)為輔。這一環(huán)節(jié)是本單元教學(xué)的主要內(nèi)容，能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，真正讓學(xué)生“在做中學(xué)”，體會(huì)“做數(shù)學(xué)”的味道。
在整個(gè)的探究學(xué)習(xí)的過程中，需要對(duì)學(xué)生的各探究階段進(jìn)行階段性評(píng)價(jià)。在成果展示后，需要對(duì)各組進(jìn)行評(píng)價(jià)。以達(dá)到對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反饋的目的。
另外，考慮到學(xué)生對(duì)GeoGebra軟件不夠熟悉，需要給學(xué)生提供以下資料，讓學(xué)生學(xué)習(xí)GeoGebra軟件，幫助學(xué)生的研究過程。
1. 《GeoGebra與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，包括R軟件的下載、安裝.
2. 探究活動(dòng)各階段所需的文檔模板，包括：《課題準(zhǔn)備工作》（附件1）、《課題準(zhǔn)備工作評(píng)價(jià)》（附件2）、《課題中期報(bào)告》（附件3）、《課題中期報(bào)告評(píng)價(jià)》（附件4）、《課題成果公報(bào)》（附件5）、《課題評(píng)分表》（附件6）．
建議課上使用3課時(shí)．課下給學(xué)生充足的探究時(shí)間．
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
課下活動(dòng)
1、情境與問題
高中解析幾何包括四種二次曲線，分別是圓、橢圓、雙曲線和拋物線。有的教材將這四種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線，也有的教材定義后三種才是圓錐曲線，還有的教材“折中”地將圓作為橢圓的一個(gè)特例看待。但無論怎么規(guī)定，它們同為二次曲線的“血緣關(guān)系”都無法否認(rèn)，也就是說這四種曲線的性質(zhì)應(yīng)該存在著某些共同點(diǎn)。
那么，它們的共同點(diǎn)是什么呢？
這個(gè)問題好像一時(shí)回答不清楚，究其原因，主要是我們對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線的性質(zhì)了解得不全面、不透徹，無法從全局直接看出這四者的共同點(diǎn)。我們不妨換個(gè)角度來考慮，學(xué)生在初中階段比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過圓的知識(shí)，對(duì)圓的性質(zhì)了解得比較透徹，如果我們對(duì)圓的性質(zhì)逐一嘗試，并且發(fā)現(xiàn)其中某些性質(zhì)能推廣到其他三種曲線，那么我們就找到了四種曲線性質(zhì)的共同點(diǎn)。本著這個(gè)想法，考慮到橢圓和圓的相似度較高，對(duì)于圓的每個(gè)性質(zhì)，可以先考察它在橢圓中是否成立，本次探究先讓學(xué)生研究圓與橢圓兩種比較相似的圖形。下面我們就依照這個(gè)思路來探究圓與橢圓性質(zhì)的共同點(diǎn).
2、試著做一做
請(qǐng)列出圓的性質(zhì)，然后檢驗(yàn)這些性質(zhì)在概圓中是否仍然適用。
3、教師對(duì)學(xué)生的探究流程提出如下要求：
完成任務(wù)：(1) 學(xué)生先自主探索，梳理圓和橢圓的性質(zhì)，通過類比，發(fā)現(xiàn)有關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，并說明理由，再小組合作探索，以組為單位上交.（一周時(shí)間）
(2)姜焱（數(shù)學(xué)課代表）匯總各組研究?jī)?nèi)容，與各組組長(zhǎng)協(xié)商初步確定各組感興趣的研究方向.
設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生已經(jīng)是高三的一輪復(fù)習(xí)階段，給出個(gè)人和小組任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí)圓和橢圓性質(zhì)，為后續(xù)探究做好準(zhǔn)備.
第1課時(shí) 了解研究方法 確定探究任務(wù)
【教學(xué)內(nèi)容】
回復(fù)習(xí)圓中垂徑定理，類比到圓錐曲線中，探究圓錐曲線的“垂徑定理”.
【教學(xué)目標(biāo)】
（1）通過復(fù)習(xí)圓的垂徑定理，積累橢圓一個(gè)性質(zhì)研究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；
（2）通過經(jīng)歷圓與橢圓“垂徑定理”的類比過程，明確研究思路，體會(huì)“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理，論證和求解”的基本思路.
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】
（1）教學(xué)重點(diǎn)
體會(huì)“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理，論證和求解”的基本思路.
（2）教學(xué)難點(diǎn)
用幾何的眼光觀察，即對(duì)“幾何要素”的分析。.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
引導(dǎo)語(yǔ)
環(huán)節(jié)一 復(fù)習(xí)性質(zhì)，按幾何元素關(guān)系分類
問題1:你能說出圓和橢圓的類似性質(zhì)，他們的共性是什么？涉及哪些幾何要素？
追問1：你能說出圓和橢圓的類似性質(zhì)，他們的共性是什么？
追問2：涉及哪些幾何要素？
師生活動(dòng)：復(fù)習(xí)圓與橢圓幾何性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生按幾何要素關(guān)系歸類，如定義涉及長(zhǎng)度度量，垂徑定理涉及角度.
環(huán)節(jié)二 圓中垂徑定理
問題1 回憶圓中垂徑定理，你能說出它的內(nèi)容嗎？
追問：圓中還有那些類似的性質(zhì)？
預(yù)設(shè)回答：垂徑定理及其推論.
垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。
追問2：你還能想到哪些有關(guān)垂直的性質(zhì)？
預(yù)設(shè)回答：直徑所對(duì)圓周角為直角，切線與圓心與切點(diǎn)相連的線垂直.
追問3：你能說一說他們的聯(lián)系嗎？它們的共性是什么？從統(tǒng)一的眼光看，那些是極端情形呢？
預(yù)設(shè)回答：（1）切線是弦的極限情形
（2）垂徑定理的垂直和直徑所對(duì)圓周角是直角的聯(lián)系：如上圖中 , 是中位線的關(guān)系.
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)垂徑定理，以及有關(guān)垂直性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生初中學(xué)過這些性質(zhì)，但沒有從統(tǒng)一，動(dòng)態(tài)的角度將其聯(lián)系起來，故需
從圓的垂徑定理，發(fā)散到所有與之相似的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用統(tǒng)一的角度歸類，體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化的思維，有助于學(xué)生探究后續(xù)內(nèi)容，也即從幾何圖形研究的一般套路出發(fā)，分析幾何圖像的幾何要素，學(xué)會(huì)用幾何的眼光觀察，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的思維，抓住垂直這一幾何關(guān)系，厘清他們之間的關(guān)系，初步體會(huì)研究一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)的探究思路和方法.提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，形成新的數(shù)學(xué)學(xué)科視角，提高數(shù)學(xué)表達(dá)的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
環(huán)節(jié)三 類比到橢圓中
問題1：在橢圓中有類似的性質(zhì)嗎？試類比橢圓，說出你的猜想.，用GeoGebra驗(yàn)證.
追問1：你還能說出橢圓哪些性質(zhì)？如何證明？
預(yù)設(shè)回答：
追問2：你能證明這些性質(zhì)嗎？
師生活動(dòng)：用坐標(biāo)法證明性質(zhì)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想。
設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生已經(jīng)是高三復(fù)習(xí)階段，橢圓這些性質(zhì)并不陌生，只是沒有系統(tǒng)的歸納過，用圓作類比，能將知識(shí)融合，同時(shí)也感受到圓與橢圓性質(zhì)類比非常有必要的，通過類比能很好理解代數(shù)關(guān)系的幾何意義.
環(huán)節(jié)三 確定研究思路
探究任務(wù) 以上我們梳理了圓與橢圓的一些性質(zhì)，知道了用運(yùn)動(dòng)變化的思維將其歸納，合理類比，信息技術(shù)驗(yàn)證，再用坐標(biāo)法證明，這一研究思路．那么以圓與橢圓為研究對(duì)象，按其幾何元素關(guān)系分類，用向坐標(biāo)法對(duì)性質(zhì)進(jìn)行再研究，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？證明你的發(fā)現(xiàn)，并闡述你的發(fā)現(xiàn)過程．
實(shí)施要求與建議：
（1）組建小組，每組成員原則上不超過六人．
（2）在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，小組集體討論探究方案，確定研究思路．之后小組成員各自展開獨(dú)立探究，并以專題作業(yè)的形式撰寫研究報(bào)告．小組內(nèi)進(jìn)行交流討論，完善研究成果，并形成一份小組研究報(bào)告，在全班進(jìn)行成果交流、評(píng)價(jià)．
（3）充分利用信息技術(shù)手段（如：GeoGebra軟件等），可能會(huì)有更加豐富的成果．
（4）注意留存過程性記錄，重要活動(dòng)與討論都要有文字與圖片記錄．
師生活動(dòng) 學(xué)生課下完成．
設(shè)計(jì)意圖 以終為始，用明確的任務(wù)和要求指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng).
課下 自主開展探究，小組合作推進(jìn)
該環(huán)節(jié)是利用課余時(shí)間進(jìn)行的，建議給學(xué)生1周時(shí)間，學(xué)生只有在課下進(jìn)行了充分探究，才能確保課上深入的思維交流互動(dòng)．
在教師的鼓勵(lì)與指導(dǎo)下，學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考，完成探究作業(yè)．教師或?qū)W生可根據(jù)學(xué)生的研究方向，然后開展小組內(nèi)合作探究．教師及時(shí)掌握并督促小組活動(dòng)，批閱小組探究作業(yè)，收集學(xué)生在活動(dòng)中產(chǎn)生的問題，并及時(shí)給予指導(dǎo)．在活動(dòng)過程中鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)開展探究．
學(xué)生可能遇到的問題及教師指導(dǎo)建議：
1.大多學(xué)生容易把數(shù)學(xué)探究活動(dòng)誤認(rèn)為習(xí)題課，實(shí)際操作中可能會(huì)將以往在解題中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，或直接查閱資料獲得的結(jié)論，逐一羅列，再加以證明．教師應(yīng)及時(shí)追問這些結(jié)論是如何被發(fā)現(xiàn)的（習(xí)題是如何被設(shè)計(jì)出來的），引導(dǎo)學(xué)生探究其背后的原因，用“ 坐標(biāo)法”展開探究．
2.部分學(xué)生在探究過程中會(huì)利用查閱資料得到的一些結(jié)論，“執(zhí)果索因”探索來源，這樣容易造成各個(gè)結(jié)論之間彼此孤立，探究成果雜亂無章．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，借助邏輯鏈條有序串聯(lián)，進(jìn)一步理清探究發(fā)現(xiàn)的路徑，雙向遞進(jìn)．
3.部分學(xué)生在探究過程中喜歡查閱網(wǎng)上的傳統(tǒng)幾何方法推理論證，不愿利用坐標(biāo)法，不會(huì)自覺地優(yōu)化算法（如齊次聯(lián)立，換元技巧等）， 應(yīng)用坐標(biāo)法發(fā)現(xiàn)新的數(shù)量關(guān)系（如2022年全國(guó)乙卷21題的數(shù)量關(guān)系）。對(duì)傳統(tǒng)幾何法感興趣的同學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn) 傳統(tǒng)幾何和坐標(biāo)法兩種探究方式，再數(shù)形結(jié)合，融會(huì)貫通，并在運(yùn)算的過程中提取有價(jià)值的數(shù)量表達(dá)式（如定值問題）．同時(shí)進(jìn)一步指出坐標(biāo)法具備運(yùn)算與推理兩兼的雙刃優(yōu)勢(shì)，結(jié)合GeoGebra軟件驗(yàn)證，強(qiáng)化樹立“運(yùn)算”工具的優(yōu)越性．
4.教師指導(dǎo)學(xué)生按照不同的探究路徑梳理自己的探究成果，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的認(rèn)知，針對(duì)學(xué)生在探究過程遇到的問題與障礙，篩選收集示范展示案例，按照一定的邏輯關(guān)系，對(duì)學(xué)生探究獲得的結(jié)論進(jìn)行排序，指導(dǎo)學(xué)生為第2課時(shí)展示交流做好準(zhǔn)備．具體內(nèi)容見第2課時(shí)的展示．
第2課時(shí) 交流初探成果，指導(dǎo)探究方法
【教學(xué)內(nèi)容】
展示與交流問題發(fā)現(xiàn)、提出的過程，進(jìn)一步明確探究活動(dòng)的發(fā)現(xiàn)路徑．
【教學(xué)目標(biāo)】
（1）通過展示與交流學(xué)生小組探究成果，分享體會(huì)問題發(fā)現(xiàn)、提出的過程，相互借鑒和學(xué)習(xí)，積累“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理，論證和求解”的經(jīng)驗(yàn)．
（2）能通過質(zhì)疑、辯論、評(píng)價(jià)，梳理發(fā)現(xiàn)和提出問題的脈絡(luò)，為進(jìn)一步的探究奠基．
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】
1．教學(xué)重點(diǎn)：展示本組探究問題的發(fā)現(xiàn)與提出過程．
2．教學(xué)難點(diǎn)：梳理發(fā)現(xiàn)、提出問題的脈絡(luò)，形成以一貫之的探究發(fā)現(xiàn)路徑．
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
環(huán)節(jié)一 總結(jié)探究活動(dòng)本質(zhì)
引導(dǎo)語(yǔ) 通過近一周內(nèi)多次課下活動(dòng)，我們對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)又有了更深入的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題課，它是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容．
數(shù)學(xué)探究的基本程序及對(duì)應(yīng)的行為是：
|
數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)猜想→解決思路和方案→ 數(shù)學(xué)結(jié)論
發(fā)現(xiàn)提出→ 猜測(cè) → 提出 →自主探索與合作研究
|
設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的本質(zhì)，形成主動(dòng)探究意識(shí)，積累探究經(jīng)驗(yàn)，梳理出以一貫之的探究發(fā)現(xiàn)路徑．
環(huán)節(jié)二 展示成果，梳理探究路徑
展示任務(wù) 經(jīng)過前期的小組探究，大家都收獲了一些成果，也遇到了一些困難，同時(shí)深切的感受到提出一個(gè)有價(jià)值的問題，要比論證一個(gè)已有的結(jié)論困難的多．因此我們把本次中期匯報(bào)的重點(diǎn)確定為展示并交流“發(fā)現(xiàn)、提出問題的脈絡(luò)”．下面有請(qǐng)各小組進(jìn)行展示，其他小組的同學(xué)認(rèn)真聆聽，作好記錄，稍后提出困惑，做出評(píng)價(jià)．
師生活動(dòng) 學(xué)生梳理課下探究成果，重點(diǎn)展示本組探究問題的發(fā)現(xiàn)與提出過程，也可以展示部分探究成果，或提出困惑，小組間展開互評(píng)．教師可給予評(píng)價(jià)，也可以進(jìn)行恰當(dāng)引導(dǎo)．
成果展示
學(xué)生展示1 橢圓與圓基本性質(zhì)的比較
1.定義
橢圓：上平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線。
圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
2方程
3.頂點(diǎn)
4.有界性
5.離心率 圓：認(rèn)為離心率為0的橢圓
6.參數(shù)方程：
圓： 參數(shù)方程：
橢圓： 參數(shù)方程：
橢圓： 參數(shù)方程：
應(yīng)用：
例1.M(x,y)是橢圓 上的點(diǎn)，求 的取值范圍
解：設(shè)點(diǎn)M(cosx,2sinx)
則 所以
教師點(diǎn)評(píng)：從最基本的性質(zhì)出發(fā)，類比圓與橢圓,你們給后面的性質(zhì)研究奠定了基礎(chǔ).
學(xué)生展示2 有關(guān)垂直的園與橢圓性質(zhì)類比
在圓x²+y²=r²中過圓心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ，則D的軌跡為x²+y²=r²/2
圓與橢圓本自同根生，那么這樣做在橢圓中是如何呢？
在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ
利用信息技術(shù)（GeoGebra）直觀了解
點(diǎn)D的軌跡仍是一個(gè)圓
由此猜測(cè)：在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ，點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)圓
下面來證明
證明：設(shè)
結(jié)論:
在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ，連接PQ，
過O作垂線OD⊥PQ，點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)半徑是a²b²/(a²+b²)的圓
應(yīng)用：
例.(2007天津22)如圖所示， 為橢圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
,過O作直線 的垂線OD。求點(diǎn)D的軌跡方程.
分析：點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)圓，且半徑為2b²/3，上述研究其實(shí)也是此題的背景。
教師點(diǎn)評(píng)：能從幾何元素的關(guān)系歸類，研究問題背后的一般規(guī)律，很好，在證明時(shí)用得不是常規(guī)的坐標(biāo)法，巧設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，其實(shí)用了類似極坐標(biāo)的方法來證明的，可以試著用常規(guī)坐標(biāo)法再證明。
學(xué)生展示三：仿射變換在圓錐曲線中的起源，性質(zhì)與應(yīng)用
眾所周知，圓具有很好的幾何性質(zhì)，橢圓與圓可謂是同宗同源，于是我們猜想，有沒有一種方法可以實(shí)現(xiàn)這種圓與橢圓的互化？我們由此引出本文的重點(diǎn)：仿射變換
在平面幾何中，橢圓很像一個(gè)“擠壓”過的圓，那么我們可以適當(dāng)對(duì)橢圓進(jìn)行“拉升”，從而將橢圓變成圓。放到平面直角坐標(biāo)系成為坐標(biāo)系的伸縮變換。
→
在橢圓轉(zhuǎn)化為圓后，可以通過研究圓的性質(zhì)來研究橢圓的性質(zhì)，此處可以適當(dāng)結(jié)合
平面幾何的知識(shí)。
一．仿射變換的具體操作：
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓 C :
令x`= ,y`= ,經(jīng)變換后橢圓方程C`變?yōu)?br />
此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)變換后橢圓終于變成了一個(gè)單位圓，這意味著我們終于能用圓的性質(zhì)來解決一些圓錐曲線的問題。（注意：經(jīng)變換得出結(jié)果后仍需變換回原來的坐標(biāo)單位）
二．仿射變換后的性質(zhì)
接下來我們來探究一些仿射變換后的性質(zhì)
1.直線與曲線的位置關(guān)系
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓 C : 直線 l :
聯(lián)立方程，消去y，得出 =
對(duì)原直角坐標(biāo)系進(jìn)行伸縮變換
（橢）圓C` : 直線l` :
聯(lián)立方程，消去y，得出 =
（很明顯 沒有發(fā)生變化，說明直線與曲線的位置關(guān)系（如相交，相切等）沒有改變）
由此我們得出，經(jīng)過仿射變換后的直線與曲線位置關(guān)系不變
2.變換前后直線斜率的變化
設(shè)直線 l : 經(jīng)仿射變換，得l`：
易得直線斜率變?yōu)樵瓉淼?br />
3.變換后的圖形面積的變化
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓 C : ，顯然橢圓外接矩形面積為4ab
圓的外接矩形面積為4
→
仿射變換后，對(duì)應(yīng)圖形面積變?yōu)樵瓉淼?br />
推廣 標(biāo)準(zhǔn)變換后，對(duì)應(yīng)圖形的面積變?yōu)樵瓉淼?nbsp; 。在
平面直角坐標(biāo)系中，圖形的面積可理解作是 kxy ，其中 k 為常量。
三．仿射變換的應(yīng)用
有了仿射變換這一研究圓錐曲線的工具，接下來我們不妨對(duì)其進(jìn)行應(yīng)用，將圓的性質(zhì)推廣到圓錐曲線的性質(zhì)
-
直徑所對(duì)圓周角為直角，設(shè)橢圓 C :
對(duì)原直角坐標(biāo)系進(jìn)行伸縮變換，（橢）圓C` :
變換后 ，所以變換前
-
垂徑定理
→
變換后 ，所以變換前
3.仿射變換在一些題目中的應(yīng)用
已知橢圓 ,記橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為 ，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），A 的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，求△ABC面積的最大值。
解：令x`= , y`=y
橢圓方程C變?yōu)镃`： ,
由圓的幾何性質(zhì)可得 ABC恒為
ABC ，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得最大值
此時(shí) =1
將坐標(biāo)系變換為原坐標(biāo)系后，得出 的最大值為
仿射的深入分析
一.深入分析
-
橢圓垂徑定理的推導(dǎo)
2.橢圓垂徑定理的三種形式
(1)基本形式
-
特殊形式
3.橢圓中的切線的性質(zhì)
我們現(xiàn)在利用仿射進(jìn)行證明：
設(shè)圓（x²+y²=1）的一個(gè)切點(diǎn)為M(m,n)，該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的切線l為mx+ny=1，則該圓經(jīng)過仿射變換后的橢圓（ + =1）的切點(diǎn)M'(am,bn)，切線l'為 + =1。
根據(jù)仿射后的點(diǎn)M'與切線l'可以分別得出直線O'M'的斜率為 ，直線l'的斜率為- 。
所以我們得出 × =- 。
二.典例示范
例.
橢圓C： + =1的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則三角形ABF的面積的最大值為？
法一：常規(guī)方法
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=-kx，代入圓的方程得（1+2k²）x²=8，
∴x=± ，y=± ∴A( ， )，B(- ，- )
< =4
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0， = ×2b×c=4
綜上， ABF的面積的最大值為4。
法二.仿射變換
建立新的坐標(biāo)系使得x'= ，y'= ，則在新坐標(biāo)系中，由于仿射變換的性質(zhì)， ABF面積取到最大值的位置與原坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)。
在單位圓中， A'B'F'取到最大，即A'B'⊥O'F'時(shí)，即為過原點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)。
則 的最大值為4。
教師點(diǎn)評(píng)：仿射變換，揭示了圓與橢圓的內(nèi)在聯(lián)立，也搭建起了兩者之間互化的橋梁，此次探究也為我們第一課時(shí)的類比找到了內(nèi)因，很有價(jià)值.
展示三：定點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)與猜想
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，叫電腦在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，
-
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
-
若直線l:y=kx+m與橢圓C相交與A,B兩點(diǎn)（A,B不是左右頂點(diǎn)）,q且以A,B為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過頂點(diǎn)，并求該頂點(diǎn)的坐標(biāo).
分析：（1） （2）過頂點(diǎn)（ ，0）
類比圓中：
直徑所對(duì)的圓周角為直角
觀察發(fā)現(xiàn)：直徑過圓心這個(gè)定點(diǎn)，且兩圖都有直角 ，以上與題目相似.
提出猜想： 一般的橢圓，直線與橢圓交于P,Q,點(diǎn)P,Q分別與右頂點(diǎn)A的兩條連線垂直,那么在橢圓中是不是有一定點(diǎn)過PQ的呢？
證明：（齊次聯(lián)立）
，
橢圓方程可變形為： ，即為
設(shè)直線PQ：
齊次聯(lián)立，得
即：
同除以 得
所以 ，得 帶入直線PQ方程得：
PQ： ，所以直線PQ過定點(diǎn) .
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性繼續(xù)猜想：A為左頂點(diǎn),也應(yīng)該過定點(diǎn).用信息技術(shù)驗(yàn)證，確實(shí)如此.
既然左右頂點(diǎn)都有定點(diǎn)，那么上下定點(diǎn)呢？
現(xiàn)在對(duì)上頂點(diǎn)證明：
即
令 =x， =y-b
得 ，即
設(shè)
齊次化聯(lián)立得：
即
即 =0
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 ，所以 ，代入直線方程得: =1
換元化簡(jiǎn)得 ，其中
所以可見直角頂點(diǎn)在上頂點(diǎn)時(shí)也有定點(diǎn)，為
同樣根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：
上頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為(0,-bc²/(a²+b²)) 下頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為 (0,bc²/(a²+b²))
推廣到一般：
現(xiàn)在我們得到了四個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的定點(diǎn):
結(jié)論：
直角頂點(diǎn)為左頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為（-a（a²-b²）/(a²+b²),0)
直角頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為(0,-b（a²-b²）/(a²+b²))
直角頂點(diǎn)為下頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為 (0,b（a²-b²）/(a²+b²))
（注：這里取消了 ）的條件，所以 不成立，變?yōu)橐陨闲问剑?br />
那么考慮非頂點(diǎn)時(shí)的情況，將問題中的點(diǎn)A在橢圓上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)是會(huì)是什么情況呢？
再用GeoGebra觀察時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)現(xiàn)象：當(dāng)直角頂點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該定點(diǎn)集合為橢圓.
用坐標(biāo)法證明:
這里采用第四象限的點(diǎn)
通過以上證明我們可以發(fā)現(xiàn)這些定點(diǎn)在(c²/(a²+b²））倍的原橢圓上，
我們還得到了原橢圓上的點(diǎn)與相對(duì)應(yīng)定點(diǎn)之間的關(guān)系。
最終結(jié)論：（1）直角頂點(diǎn)為左頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為（-a（a²-b²）/(a²+b²),0)
為上頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為(0,-b（a²-b²）/(a²+b²))
為下頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)為 (0,b（a²-b²）/(a²+b²))
（注：這里取消了 ）的條件，所以 不成立，變?yōu)橐陨闲问剑?br />
（2）直角頂點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，“定點(diǎn)”軌跡為橢圓,這些”定點(diǎn)”在(c²/(a²+b²））倍的原橢圓上。
教師點(diǎn)評(píng) 上述探究過程邏輯鏈條清晰，成果豐富，是很好的一個(gè)探究方向．
定點(diǎn)問題二
教師點(diǎn)評(píng)：從一個(gè)小問題出發(fā)，研究其一般規(guī)律，可以學(xué)習(xí)上一個(gè)定點(diǎn)問題研究的思路，繼續(xù)探究.
學(xué)生展示四：圓與橢圓中的蝴蝶定理，帕斯卡定理，極點(diǎn)極線類比
在對(duì)蝴蝶定理進(jìn)行研究時(shí)，我們得到如下成果：
（1）蝴蝶定理新式證明方法：
求證：設(shè)P為圓內(nèi)弦l的中點(diǎn)，過P作弦AB和CD。設(shè)AD 和BC各相交l于點(diǎn)E和F，則P是EF的中點(diǎn)。
（2）蝴蝶定理在橢圓中仍然成立。
（3）A,B為橢圓上的兩點(diǎn)，直線AM,BN與橢圓C交于M,N，直線AM,BN的斜率分別為k₁,k₂,若該形式滿足蝴蝶模型且k₁=λk₂，則直線MN過定點(diǎn)，反之，若MN過定點(diǎn)，則k
1=λk
2
我們對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行說明：
1作弦l的平行線BB’
作PMʹ┴BB’
∴PB=PB’
∠FPB=∠PBB’=∠PB’B=∠EPB’
由圖知∠CBA=∠CDA
在內(nèi)接四邊形ABB’D中
∠ABB’+∠ADB’=180°
∴∠EPB’+∠EDB’=180°
∴P,E,D,B’四點(diǎn)共圓
∴∠PB’E=∠PDE
∴△FPB≌△EPB’
∴PF=PE
在該證法中，我們利用較少的輔助線和較為簡(jiǎn)便的算法得出了結(jié)論，而對(duì)比蝴蝶定理的其它證法，比如霍納證法要更為簡(jiǎn)潔。
2為了計(jì)算方便，我們讓平分弦PQ落在x軸上
橢圓一般式：A x²+B y²+C xy+D x+E y+F =0
P,Q在橢圓上
∴A a²+D a+F =0
A a²-D a+F =0
∴A a²+F =0,D =0
∴ A x²+B y²+C xy+E y+F =0
設(shè)A（x₁,y₁） B（x₂,y₂） C（x₃,y₃） D（x₄,y₄）
直線AB:y=k₁x 直線CD:y=k₂x
直線AD:y-y₁=k(x-x₁) (兩點(diǎn)式）
∵k=
∴ =
令y=0，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)
記 =t
∴EM=│ │ 同理得:FM=│ │
∵A（x₁,y₁） B（x₂,y₂）在橢圓上 直線AB:y=k₁x 直線CD:y=k₂x
∴ +(B + )y²+E y+F =0
由韋達(dá)定理得: =- 同理得， + =-
∴ + = + ∴ - = - ∴EM=FM
（3）橢圓C的方程為x²/4+y²/3=1,A,B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線AM,BN與橢圓C交于M,N，直線AM,BN的斜率分別為k₁,k₂,若k₁=2k₂。求證:直線MN過定點(diǎn)。
觀察該題不難發(fā)現(xiàn)，此題符合蝴蝶定理模型，下面是解題方法：
設(shè)直線MN交x軸于D(m,0),過點(diǎn)D作XY⊥x軸，交AM,BN于點(diǎn)X,Y,交橢圓C與點(diǎn)P,Q
∴點(diǎn)D為PQ的中點(diǎn)
設(shè)X(m,y) Y(m,-y)
由蝴蝶定理，有:D為XY的中點(diǎn)，直線AM的方程: y=k₁(x+2)
將X(m,y)代入得: y=k₁(m+2) ，同理有-y=k₂(m-2)∴k₁(m+2)=-k₂(m-2)
且k₁=2k₂∴得m=- ∴直線MN過定點(diǎn)(- ,0)
下面是反向應(yīng)用蝴蝶定理的一道題：
（2022年全國(guó)甲卷）
例2.設(shè)拋物線C: =2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0),過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),│MF│=3.
（1）求C的方程；（y²=4x）
（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
常規(guī)做法：
設(shè)過定點(diǎn)(m,0)的直線l:x=ty+m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)
設(shè)A(x₁,y₁) B(x₂,y₂) M( ,a) N( ,b)
聯(lián)立得 消去x有y²-4ty-4m=0
∵Δ>0 ∴y₁y₂=-4m
F(1,0) D(2,0) ∵ab=-4 ∴N( ,- )
∵by₂=-8 ∴B(a²,2a) ∵ay₁=-8 ∴A( ,- )
∴直線MN的斜率k₁= = ， 直線AB的斜率k₂= = ∴ =2k₂
∴tan(α-β)=
當(dāng)k₂>0時(shí)， =2k₂>k₂>0，則α>β>0，α-β>0
當(dāng)k₂<0時(shí)， =2k₂<k₂<0，則α-β<0
∴當(dāng)k₂>0時(shí)，α-β有最大值
此時(shí)tan(α-β)≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)k₂= 時(shí)，取等號(hào)
又∵k₂= ∴此時(shí)a= + ∴B(8+4 ,2 +2
∴直線AB的方程為y-( + = ， 即x- y-4=0
∴α-β取最大值時(shí)，直線AB的方程為x- y-4=0
可以看到，常規(guī)做法繁復(fù)龐雜，而且存在一定的技巧性：為什么會(huì)得出斜率之間的關(guān)系呢？其實(shí)正是應(yīng)用了蝴蝶定理的逆定理。
在圖中，我們效仿上一道題，可以過點(diǎn)D做一條垂直于x軸的直線，由拋物線對(duì)稱性可知，該直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)即為D點(diǎn)。所以，該直線與MN,AB的兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)也為D點(diǎn)。然后即可參照1題的解法，得到答案。
二、在對(duì)帕斯卡定理進(jìn)行探究時(shí)，我們總結(jié)出以下兩條性質(zhì)：
①如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在同一條直線上。
②若極點(diǎn)P在任意二次曲線外，過該極點(diǎn)的任意直線與二次曲線交于兩點(diǎn)M,N，該極點(diǎn)關(guān)于該二次曲線的極線與二次曲線交于A,B，兩線交于F，則P = ;該定理還有一種代數(shù)的推廣性質(zhì)： + = 。
我們對(duì)此進(jìn)行證明：
①
作△CHF的外接圓交EF于K，交BC于J
∵∠DEF=∠DCF=∠HKF
∴DE∥HK即GE∥HK
同理得BE∥JK,GB∥HJ
∴△GEB與△HKJ位似
又∵位似三角形對(duì)位點(diǎn)的所在直線交于一點(diǎn)
∴GH,EK,BJ交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為I
∴G,H,I三點(diǎn)共線，得證
②令 =m , =n ，設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，F(xiàn)(x₀,y₀)
則由定比點(diǎn)差公式可得
∵點(diǎn)P的極線AB的方程為 =1， 且點(diǎn)F在直線AB上 ∴ =1
∵點(diǎn)M,N在橢圓上
∴ ① ∴ + =1 ②
又∵ =1 ∴
又由定比點(diǎn)差法可知 ∴m=-n ∴ =- ∴ =
三.定理應(yīng)用
（2022年全國(guó)乙卷20題）
已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過A(0,-2),B( ,-1)兩點(diǎn)．（1）求E的方程；( + )
（2）設(shè)過點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足 = ．證明：直線HN過定點(diǎn)．
方法一：常規(guī)解法
①當(dāng)過點(diǎn)P(1,-2)的直線斜率不存在時(shí)
直線MN的方程為x=1
聯(lián)立 ，得:y=±
不妨設(shè)M(1,-
) N(1, )，直線AB的方程為y= x-2
將y=- 代入得T(3- ，- ） ∵ = ∴ H(5-2 ,- )
∴直線HN的方程為y=( +2)x-2 ∴直線HN過點(diǎn)(0,-2)
②當(dāng)過點(diǎn)P(1,-2)的直線斜率存在時(shí),
設(shè)直線MN的方程為y+2=k(x-1)，M(x₁,y₁) N(x₂,y₂)
聯(lián)立 得：(3 +4) -6k(2+k)x+3k(k+4)=0
∴x₁+x₂= x₁x₂=
將y₁代入y= x-2得T( +3,y₁),H(3y₁+6-x₁,y₁)
直線HN的方程為 y-y₂= (x-x₂)
將點(diǎn)(0,-2)代入得 2( )-6( )+x y +x y -3
2( )-6(k -k-2+k -k-2)+x (kx -k-2)+x (kx -k-2)- 3(kx -k-2)(kx -k-2)-12=0
即(2k-3k²) +(3k²-k)( )+x (kx -k-2)-3k²=0
∵x₁+x₂= x₁x₂=
∴上式恒成立 ∴直線HN恒過點(diǎn)(0,-2)
方法二：極點(diǎn)極線法
易知P關(guān)于橢圓E的極線為 =1（即題目中直線AB）
設(shè)直線MN交直線AB于點(diǎn)F，由極點(diǎn)極線性質(zhì)可知： =
設(shè)直線AB交直線NH于A’，作MQ∥AN交直線AB于點(diǎn)Q，有
又 = ∴T為MH中點(diǎn)∴△TQM≌△TA’H∴QM=A’H
∴ = = = ∴PA’∥MH
又MH⟂y軸 ∴PA’⟂y軸 ∴A與A’重合 ∴直線HN過定點(diǎn)A(0,-2)
（對(duì)比例的具體證明詳見第二點(diǎn)的第②條）
方法三：齊次化處理法
-
當(dāng)過點(diǎn)P(1,-2)的直線斜率不存在時(shí)
直線MN的方程為x=1
聯(lián)立 ，得:y=±
不妨設(shè)M(1,-
) N(1, ) 直線AB的方程為y= x-2
將y=- 代入得T(3- ，- ）
∵ = ∴ H(5-2 ,- ) ∴直線HN的方程為y=( +2)x-2
∴直線HN過點(diǎn)(0,-2)
②
教師點(diǎn)評(píng)：研究得非常深入，從今年的高考題出發(fā)，類比圓與橢圓，了解背景，對(duì)備考很有價(jià)值.
說明 本節(jié)課上展示內(nèi)容是教師與學(xué)生前期研究的結(jié)果，教師根據(jù)學(xué)生的探究，進(jìn)行梳理，并確定了展示的思路．教師可根據(jù)學(xué)生前期活動(dòng)中收獲的成果，靈活選取學(xué)生展示素材．根據(jù)問題的發(fā)現(xiàn)、提出脈絡(luò)，最終依據(jù)學(xué)生的實(shí)際生成脈絡(luò)而定．
環(huán)節(jié)三 延伸探究任務(wù)
探究任務(wù)2 延續(xù)上述探究過程，還能提出哪些有價(jià)值的問題？并完成下面的任務(wù)．
1．對(duì)已有成果整理所成的資料中的論證過程進(jìn)行仔細(xì)閱讀并糾錯(cuò)，對(duì)重大邏輯缺陷進(jìn)行修訂；
2．對(duì)本組未能想到的問題開展探究，或?qū)⑻骄窟M(jìn)一步延伸，同時(shí)完成結(jié)題報(bào)告．
要求：在兩周之內(nèi)完成，期間可以求助教師，也要經(jīng)常開展小組內(nèi)的討論交流．
師生活動(dòng) 學(xué)生課下完成．教師經(jīng)常監(jiān)督、指導(dǎo)．并批閱學(xué)生的探究成果，幫助學(xué)生梳理出結(jié)題報(bào)告的基本思路．
設(shè)計(jì)意圖 給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行深度的探究，在教師的指導(dǎo)下開展真正的數(shù)學(xué)探究．
課下 自主開展探究，小組合作推進(jìn)
教師收集學(xué)生在活動(dòng)中產(chǎn)生的問題，并及時(shí)給予指導(dǎo)．學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完善探究成果，并思考性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)的思考數(shù)量關(guān)系背后的幾何意義．建議開展2周時(shí)間．
學(xué)生可能遇到的問題及教師指導(dǎo)建議：
1.學(xué)生此時(shí)容易滿足于某一組結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、論證，裹足不前．教師可引導(dǎo)學(xué)生開展小組間研討，取長(zhǎng)補(bǔ)短，同時(shí)給予精神上的鼓勵(lì)與支持，促進(jìn)探究活動(dòng)不斷深入推進(jìn)．
2.隨著探究的深入，橢圓相關(guān)要素會(huì)變得生疏、關(guān)系復(fù)雜，探究對(duì)象的直觀性降低，計(jì)算難度提升，導(dǎo)致探究推進(jìn)的難度增加．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)借助Geogebra等信息技術(shù)手段，提升圖形直觀．降低運(yùn)算的復(fù)雜性．
3.學(xué)生對(duì)評(píng)價(jià)方案的理解較為單一，普遍認(rèn)為評(píng)價(jià)即為量化評(píng)價(jià)．教師應(yīng)引導(dǎo)與鼓勵(lì)學(xué)生提前相互審閱探究成果，結(jié)合該組在活動(dòng)中的綜合表現(xiàn)，對(duì)比自我表現(xiàn)，認(rèn)真撰寫客觀公正、富有創(chuàng)意、言辭優(yōu)美且富有數(shù)學(xué)韻味的結(jié)題評(píng)價(jià)語(yǔ)．
4.學(xué)生在教師指導(dǎo)下，按照展示要求要求制作演示文稿，撰寫結(jié)題報(bào)告．
第3課時(shí) 展示探究成果，評(píng)價(jià)促進(jìn)提升
【教學(xué)內(nèi)容】
探究成果“定理”的展示與交流、評(píng)價(jià)與總結(jié)．
【教學(xué)目標(biāo)】
（1）通過展示與交流學(xué)生發(fā)現(xiàn)的橢圓性質(zhì)的成果，分享體會(huì)，相互借鑒和學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的研究能力．
（2）通過質(zhì)疑、辯論、評(píng)價(jià)，總結(jié)探究活動(dòng)成果，遴選出優(yōu)秀成果，提高成就感，激發(fā)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究的興趣．
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】
1．教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)探究成果的交流與評(píng)價(jià)．
2．教學(xué)難點(diǎn)：評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)和評(píng)價(jià)的方式與結(jié)果．
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
引導(dǎo)語(yǔ) 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)使同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的探索具有了一定的認(rèn)知．經(jīng)過上節(jié)課的學(xué)習(xí)以及課下任務(wù)的完成，各小組通過對(duì)有挑戰(zhàn)性和綜合性課題的探索和研究，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使得我們能夠像數(shù)學(xué)家一樣思考，像科學(xué)家一樣研究．各小組也都將學(xué)習(xí)的結(jié)果以報(bào)告的形式呈現(xiàn)，初步具備了“科研”的要素．今天我們要交流學(xué)習(xí)成果，通過質(zhì)疑、辯論相互借鑒和學(xué)習(xí)，分享研究的體會(huì)，評(píng)價(jià)探究活動(dòng)的成果．
師生活動(dòng) 教師向?qū)W生展示具有示范性的學(xué)生結(jié)題報(bào)告，分析報(bào)告結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，闡明一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的結(jié)題報(bào)告的要素，給學(xué)生評(píng)價(jià)探究活動(dòng)的一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)．
教師講解 今天的活動(dòng)將以同學(xué)們?yōu)橹鹘牵晕以u(píng)價(jià)，相互評(píng)價(jià)，達(dá)到從分享中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中提高的目的。
設(shè)計(jì)意圖 在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師只能依據(jù)特定的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)對(duì)象和教學(xué)環(huán)境組織教學(xué)，學(xué)生處于相對(duì)被動(dòng)的地位．?dāng)?shù)學(xué)探究活動(dòng)的主角是學(xué)生，教師的作用是組織指導(dǎo)、協(xié)作指揮．教師是促進(jìn)者、組織者和指導(dǎo)者．在探究成果交流階段，應(yīng)該讓學(xué)生成為活動(dòng)的設(shè)計(jì)和組織者，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)作用．
環(huán)節(jié)一 成果展示
交流活動(dòng)流程及要求：
1．各小組派代表，用事先準(zhǔn)備好的演示文稿向全班同學(xué)匯報(bào)本小組探究活動(dòng)．展示內(nèi)容主要包括：
（1）研究現(xiàn)狀分析（梳理已有成果的研究思路與方法）；
（2）研究方法與目標(biāo)（根據(jù)現(xiàn)狀分析的思路與方法，選擇探究路徑，確立探究目標(biāo)）；
（3）研究?jī)?nèi)容（提出、發(fā)現(xiàn)、證明或反駁的數(shù)學(xué)過程）；
（4）研究?jī)r(jià)值表述及反思（結(jié)論的審美價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值，對(duì)下一步研究的促進(jìn)價(jià)值等）．
2．其他小組的同學(xué)根據(jù)匯報(bào)的情況，認(rèn)真記錄，進(jìn)行提問、質(zhì)疑．
3．每個(gè)同學(xué)對(duì)各小組匯報(bào)的基礎(chǔ)上，在事先準(zhǔn)備的評(píng)價(jià)表中進(jìn)行評(píng)價(jià)．
《圓與橢圓》探究活動(dòng)交流記錄表
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我組未發(fā)現(xiàn)的結(jié)論內(nèi)容及數(shù)量統(tǒng)計(jì) |
應(yīng)用價(jià)值、不足或質(zhì)疑 |
對(duì)我組成果有重大貢獻(xiàn)的結(jié)論內(nèi)容及數(shù)量統(tǒng)計(jì) |
發(fā)現(xiàn)、論證過程中的重大亮點(diǎn)或具有很強(qiáng)應(yīng)用價(jià)值的結(jié)論 |
總體評(píng)價(jià)語(yǔ)
（語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、優(yōu)美，具有一定的概括性） |
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第一組 |
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第二組 |
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．．． |
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評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：本組未發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論，每條為該組積1分；對(duì)我組有重大貢獻(xiàn)的結(jié)論，每條為該組積1分；發(fā)現(xiàn)重大亮點(diǎn)的結(jié)論，每條為該組積2分．
設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生的交流展示活動(dòng)就是一種同伴學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生參與評(píng)價(jià)體現(xiàn)學(xué)生的主體性．這種評(píng)價(jià)的方式類似于專家評(píng)價(jià)，各人都可以發(fā)表自己的觀點(diǎn)，通過聽取匯報(bào)并參與評(píng)價(jià)，能加深參與者對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的理解．
1．每位同學(xué)填空專項(xiàng)評(píng)價(jià)表．
《圓與橢圓》探究活動(dòng)專項(xiàng)評(píng)價(jià)表
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項(xiàng)目 |
最有創(chuàng)意評(píng)價(jià)語(yǔ) |
最優(yōu)啟迪發(fā)現(xiàn)成果 |
最豐富成果 |
最完善研究過程 |
最佳技術(shù)運(yùn)用 |
最有價(jià)值成果 |
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組別 |
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4．安排兩位同學(xué)談參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的體會(huì)與心得．
設(shè)計(jì)意圖 通過挖掘?qū)W生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中的亮點(diǎn)，用學(xué)生自己的生動(dòng)鮮活的經(jīng)歷幫助和教育學(xué)生，這也是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的意義所在．
環(huán)節(jié)三 總結(jié)展望
任務(wù)一 總結(jié)
在完成以上所有流程之后，教師進(jìn)行總結(jié)．總結(jié)可以分以下幾個(gè)方面：
1．開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義價(jià)值；
2．本次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和有待改進(jìn)之處；
3．如何用研究的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；
4．向?qū)W校推選兩個(gè)優(yōu)秀數(shù)學(xué)探究案例；
5．結(jié)合學(xué)生評(píng)價(jià)，對(duì)參與數(shù)學(xué)探究的小組和個(gè)人給出教師的評(píng)價(jià)；
6．結(jié)合各小組在探究活動(dòng)中的態(tài)度與成果，教師為各小組客觀撰寫結(jié)題詞．
任務(wù)二 課后作業(yè)
博觀而約取，厚積而薄發(fā)．精美絕倫的探究結(jié)論絕不能束之高閣，披荊斬棘的探究之路更不能裹足不前．請(qǐng)同學(xué)們完成以下兩個(gè)長(zhǎng)期作業(yè)：
1.梳理全部成果，建立“圓與橢圓”與“性質(zhì)結(jié)論”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪制思維導(dǎo)圖；
2.分層推進(jìn)圓與橢圓性質(zhì)類比，繼續(xù)收獲探究成果．
預(yù)設(shè)作業(yè)成果：（見附件2）
設(shè)計(jì)意圖 通過總結(jié)，提煉開展圓與橢圓性質(zhì)類比的經(jīng)驗(yàn)，梳理成果，總結(jié)方法，并給予學(xué)生精神的鼓舞，感受數(shù)學(xué)探究歷經(jīng)艱險(xiǎn)達(dá)到成功的喜悅．以成功激勵(lì)成功，以成功激發(fā)興趣．
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