視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《數系的擴充和復數的概念》四川—劉
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四川—劉臆—設計—數系的擴充和復數的概念
課題：《數系的擴充和復數的概念》（第1課時）
(人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修第二冊第七章第1節)
復數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用．在數學的歷史長河中，復數的發展不是一帆風順的.復數的引入是數系在中學數學中的最后一次擴充，抓住此次復數的學習機會，可使學生對數的概念有一個更加完整的認識.復數與平面向量、三角函數、平面解析幾何等都有緊密的聯系，也是學生進一步學習高等數學、力學、電學等學科知識的基礎.本單元在學生已掌握實數、平面向量等相關知識的基礎上，對復數這個數學研究對象的概念展開研究.
在數學內部，數系的擴充不是盲目的，必須依據數系擴充的基本思想進行．本章充分考慮學生已有的數系擴充經驗，類比從有理數系擴充到實數系的過程，強調擴充后的數系與實數系中的運算協調一致，且保持運算律不變，即在擴充前后要遵循同樣的加法和乘法“規則”、滿足同樣的交換律和結合律以及乘法對加法的分配律.
復數的引入，源于歷史上數學家對卡爾達諾公式“不可能”情形以及三次方程實根之間的矛盾所產生的困惑，其本質是負數能否開平方根的問題.鑒于此，可從一元二次方程的判別式
的問題情境入手，類比自然數系逐步擴充到實數系的過程及方法，考慮方程
在何種情形下有解，從而引出新數“
”，實現從實數系到復數系的擴充.這一過程，通過數系擴充基本思想的歸納，發展學生的數學抽象素養；通過實數系向復數系的擴充，使學生體會類比的數學思想，培育學生的邏輯推理素養，并感受人類理性思維在數系擴充中的作用.
本節內容基于學生已有研究實數、平面向量等運算對象的經驗，結合數學史料，使學生經歷復數的研究歷程，體會數學問題解決過程中展現出來的思想、精神和智慧．具體而言，通過解方程使學生理解引入復數的必要性，運用從自然數系向實數系擴充過程中積累的數學基本活動經驗，以復數為載體重溫研究運算對象的基本路徑：背景—概念—基本性質—運算及幾何意義、運算律—聯系與運用.
本節以數系為什么要擴充、怎樣擴充為主線，圍繞復數的引入（虛數單位i的產生）展開，是該章的基礎課、起始課，具有承上啟下的作用.復數的相關概念均是圍繞復數的代數形式展開的，虛數單位、實部、虛部的命名，復數相等的充要條件，復數的分類，復數本質的理解，以及后續復數幾何意義的揭示，都能為后續研究復數的四則運算及復數的三角表示的學習作鋪墊.
根據上述教學內容的分析，按照課程標準要求，確定本課時的教學重點為：
●
教學重點 ：從實數系擴充到復數系的過程與方法、引進虛數單位i的必要性、復數的有關概念 .
二、學情分析
● 學生已有知識和經驗
知識儲備：通過初中階段對“數與式”的學習，學生對從有理數系到實數系的擴充過程和方法、實數的相關知識等已經有了基本的認識；具備了解一元二次方程、合并同類項、用數軸上的點表示數的經驗；初步掌握了實數的運算體系及借助該體系解決問題的一般策略.此外，在上一章中，已學習了另一運算對象——平面向量，有了用數對表示運算對象的基礎.
能力基礎：基本養成了觀察問題、分析問題的學習習慣，初步形成了從簡單的現實情境和數學背景中抽象數學概念的能力，有一定的分析歸納能力.但知識是零碎、分散的，對數的生成發展的歷史和規律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成.
● 問題診斷及應對策略
1.囿于初中的知識儲備以及認知困難，學生對數系擴充的“基本思想”尚不熟悉，對虛數單位的引入或許存在困惑，對基本思想歸納概括的理性經驗也存在不足.在教學中可通過回顧由自然數系擴充到實數系的過程、積累的方法和已獲取的經驗，歸納數系擴充的“基本思想”，在“基本思想”的引導下，實現從實數系到復數系的擴充，感受引入復數的必要性和合理性.
2.現實生活中難以找到具體的問題來支撐“虛無縹緲”的復數，復數的學習對學生而言抽象程度相對較高，學生不容易理解.教學中可通過適當介紹復數的發展簡史，激發學生學習的興趣.
3.學生在初中學習的是一元的數，其經驗不足以支撐直接過渡到高中所學習的“二元”數，對從復數的幾何條件切入去思考其幾何意義也頗感困難.教學中可結合具體的實例，歸納出復數的一般表示方法及其幾何意義，經歷復數形式化的過程，運用類比、特殊到一般的數學思想方法，幫助學生深化理解.
根據學生的學習實際，基于上述分析，確定本課時的教學難點為：
● 教學難點
從實數系擴充到復數系的過程中所蘊含的“基本思想”，復數的代數表示及其幾何意義.
三、目標和目標解析
本節作為復數的起始課，主要任務是使學生體會數系擴充的過程及其蘊含的“基本思想”， “基本思想”的形成需要借助數學抽象的過程，從生活實例中剝離非數學因素，讓數學因素凸顯出來，借此可培養學生的創新意識.通過實數系向復數系的擴充，使學生體會類比的數學思想，培育學生的邏輯推理素養，其分類、幾何意義的建立依靠的就是數形結合，能夠促進學生直觀想象素養的發展.
基于以上分析，確定本課時的教學目標為：
●
教學目標
1.類比從自然數系逐步擴充到實數系的過程與方法，歸納出數系擴充的一般“規則”，能說明虛數i的由來，在保持加法、乘法運算律不變的前提下引入復數．
2.通過數學史中的方程名題，使學生感受引入復數的必要性，體會實際需求與內部矛盾（數的運算規則、方程求根）在數系擴充過程中的作用．
3.通過具體實例歸納出復數的代數表示，能夠明晰其基本結構，會對復數進行分類，會用Venn圖表示所學數集之間的關系；在確保復數集中元素互異性的條件下給出復數相等的定義，并能運用復數相等的定義解決簡單的數學問題．
4.在從實數系擴充到復數系的過程中，再次體會數系擴充的“基本思想”，體會擴充的合理性及人類理性思維在數系擴充中的作用，提升數學抽象素養、邏輯推理素養．
四、教學支持條件分析
●
教學策略與教法、學法
根據學生的學習特點，采取“
探究—啟發”教學模式實施課堂教學.
教師的教法：精選素材，呈現數的進化史；引導歸納數系擴充的特點，完成數系擴充，引導學生認識復數的相關概念.
學生的學法：自主學習與合作學習結合，引導學生充分交流展示，養成良好的課前預習、獨立思考習慣，促進“四能”的提高.
教具：多媒體（投影儀）、PPT課件，電子白板，彩色粉筆.
學具：教材、筆記本、導學案及草稿本 .
復習回顧、再現“思想” 創設情境、引出“新數” 構建新知、感知復數
作業布置、遷移應用 小結提升、形成結構 例題練習、鞏固所學
課前翻轉：小組合作，指導學生圍繞以下五個問題，查閱資料，以思維導圖的形式呈現從自然數系到實數系的擴充過程.
-
從自然數系到實數系經歷了哪幾次擴充？
-
每一次擴充前與擴充后有哪些變與不變？
-
能否用一組解方程來形象說明數系的擴充過程？
-
你認為引起數系擴充的動力是什么？
-
數系的一次次擴充都遵循了哪些共同的規律呢？
設計意圖：養成良好課前預習習慣，促進團隊協作.
課堂呈現：
環節一：復習回顧，再現“思想”
教師引導： 數，早已融入我們的日常生活，在數學內部也起著舉足輕重的作用．數的發展本身也是一部輝煌而厚重的歷史，今天短短一節課，我們要跨越千年、追溯歷史、去探尋數系一次次擴充的秘密.
學生活動：小組展示思維導圖.
設計意圖：實數集，自然是本課時學生學習的“最近發展區”，也是本課時知識的生長點；數學史的展示可激發學生的興趣，使學生了解數學的發展并非一帆風順．通過交流展示，一方面培養學生的觀察、概括與表達能力；另一方面通過對前幾次數系擴充的梳理，為數系的再一次擴充以及如何擴充打下基礎，使學生感受到數系擴充的必要性和合理性，并提煉出數系擴充的基本思想，為后續從實數系擴充到復數系提供方法指引，在追問中突破本課時的難點之一．
課堂預設：（結合思維導圖，采用問答式，生生互動、師生互動）
（小組1學生代表）
學生：既然是數系的擴充，那么我先問大家，何謂“擴充”？
學生齊答：保留原來的數，引入新的數.
學生：那我們再來看看，從我們已知的自然數系到實數系是如何擴充的呢？從結繩記事“數出來的自然數”擴充到整數集，增加了什么數？
學生齊答：增加了負整數.
學生：很好，增加了負整數可以解決哪些原來不能解決的矛盾？
學生齊答：數學外部的一些實際問題比如：欠錢的問題、海平面以下或溫度零度以下，還可以解決數學內部的一些矛盾，比如小數減大數和形如方程
解的問題.
學生：那么從整數集增加了分數擴充到有理數集，主要解決了分不清的實際問題及形如方程
的解的問題，畢達哥拉斯認為“一切事物都可以歸結為整數或整數的比例，這是世界美好和諧的源泉”.直到他的學生不畏權威，發現了邊長為1的正方形的對角線無法用整數或整數比來表示，并由此引發了數學史上的第一次數學危機，直到
這樣的無理數被引入，解決了方程
中開方的問題，至此數系擴充到實數系.
教師總結：剛才1小組展示了數系擴充的過程，從他們的展示中，我們感知到數系擴充的動力源于解決數學外部實際問題和數學內部解方程的矛盾，我想追問一句：每一次數學內部解方程的矛盾是怎么解決的呢？僅僅是引入了新數嗎？
學生討論：除了引入新數，還增加了新的運算法則.
教師引導得出：原有的運算法則部分保持不變，加法和乘法始終保持了運算的“一致性”.
學生：1小組說過的我們就不再重復了，但是我們小組有一點比較深刻，關于數系擴充過程中的共同規律，我們從哲學觀的角度認為事物是發展變化的，事物內部的矛盾是推動事物向前發展的永遠動力，過去是現在是，將來也是.
教師總結：哲學觀一說視角和獨特，數學與哲學本來也是辯證統一的關系，很多數學家比如畢達哥拉斯、笛卡爾都既是數學家也是哲學家，為你們點贊！
課堂預設：（小組3學生補充展示）
學生：我們組的思維導圖也很有特色，我們的歷史資料很豐富，有結繩記事，有中國古代數學家在數的發展史中留下的偉大足跡——《九章算術》，還有數學史上的第一次數學危機，數的發展確實是一個漫長而曲折的過程.
教師總結：每個小組的作品都很驚艷，各有特色，思維導圖讓你們的思維被“看見”，你們的創意和努力也被“看見”，這個方法運用到以后各部分的學習中也受益匪淺.
環節二：創設情境，引出“新數”
教師引導：“數的世界，魅力無窮”，解方程的魅力貫穿數系擴充的歷史始終.1545年，意大利數學家卡丹在《大術》中提出過這樣一個問題：“將10分成兩部分，”使得它們的乘積為40，這兩部分分別是多少？今天同學們能解決這個問題嗎？
學生活動：獨立思考后解答
設計意圖：從歷史上的兩個名方程入手，激發學生學習的熱情，使其在感受數學家的困惑的同時，引發其認知沖突；深刻體會引入“新數的必要性”。
課堂預設：（學生獨立思考后回答，教師引導提煉）
學生：根據題意，列出方程
，由
知無實數解.
學生：將方程配方
，實數的平方不為負數，方程無實數解.
學生：由求根公式知
，實數范圍內，負數不能開平方知無實數解.
教師引導：拋開這兩個數的合理性不談，這兩個數符合題意嗎？
學生：合理，可以檢驗.
教師總結：韋達用現代符號表示一元二次方程的解是17世紀的研究成果，而卡丹當時用幾何研究的方法也寫出了這兩個當時被他認為的“奇怪的數”，并在歷史的畫卷上第一次寫下了“負數開平方”的困惑，同學們的思路殊途同歸，其本質也都可以歸結到解方程
.
教師引導：在卡丹的《大術》中，還記載了弱三次方程
的十三種解法，他研究的求三次方程其中一個根的公式：
被稱為卡丹公式沿用至今，這個公式用在其他三次方程沒毛病，可是這個公式卻在他解方程
卻出現了問題，因為代入
得到的解是
，再次遇到負數開平方的問題，卡丹嘗試用幾何的辦法去解決，這個過程中會出現“負面積”、“負體積”這種在現實世界沒有任何意義東西，他覺得這是一條死路，在《大術》中回避了這一問題，并表示“負數開平方的概念，純屬取巧，毫無用武之地!（As subtel as it is useless!）”,真是這樣的嗎同學們？站在巨人的肩膀上，今天我們會怎么解決這個問題？
學生活動：討論后回答
設計意圖：借助追問將復雜問題轉化為基本問題，使學生明確關鍵在于找到（引入）平方等于-1的數，發現問題的本質，為后續從解方程的角度引入“新數”作好準備，通過創設情境提出本節課研究的主題
課堂預設：（學生獨立思考，組內交流后，分享展示）
學生：我覺得是有實數解的，用初中試根、多項式除法的方法降次，可以容易得到方程的三個實數根是
.
學生：如果只考慮是否有解的話，可以數形結合，轉化為函數
與
軸的交點個數.
學生：不借助軟件，
的圖象不好直接做出來，可以再進一步轉化為
的交點個數.
教師點評：這說明了什么？
學生：這個三次方程確實有三個實數根，卡丹公式的“奇怪”的數應該是存在的，并且對應了三個實數根中的一個.
教師總結：幾百年前，邦貝利也曾在卡丹停下的地方繼續研究，他毫不畏懼負數平方根，也精準地求出了這三個實數根，他觀察一個負數的平方根，既不能稱之為正，也不能稱之為負，他將這一種數定義為一種“新數”.很顯然這種“新數”始終包含
.并從代數的角度，用構造數的方法證明了
.邦貝利創造了奇跡，“幾何不再是真理的唯一來源！”負數開平方也漸漸被數學家們所接受，Descartes經常使用負數開平方，并將他們稱之為“虛數”，這個名字我們沿用至今，Euler在他的論文中引入字母
來表示
，即
并把i稱為“虛數單位”已經是兩百多年之后的事情了.有了這一類“新數”，同學們可以合理地表示
這兩個解了嗎？
學生：
.
教師追問：那一元二次方程
時的求根公式你們可以寫出來了嗎？
教師追問：
這個方程的解的問題能解決了嗎？
環節三：建構新知，感知復數
教師引導：根據前面總結的數系擴充的特點，實數與增加的虛數會以哪些方式結合在一起？又形成什么樣的數呢，增加哪些新的運算規則呢？
學生活動：小組討論后作答
設計意圖：通過提問，引導學生自主建構復數概念體系.
課堂預設：（學生獨立思考、組內討論、展示交流）
學生討論：根據加法和乘法的一致性，可以形成
這樣的數.
教師點評：非常棒，看來同學們已經觸摸到了虛數的意義，19世紀，數學家高斯把虛數與實數結合在一起形成的數稱之為復數（Complex number），并與其他數學家一起完善了復數理論體系，構造了“復平面”，使得復數被廣泛應用于流體力學、量子力學、航空航海等領域，我們一起通過一則視頻來了解一下.（播放視頻）
設計意圖：通過視頻介紹，了解復數的廣泛應用，深刻體會復數在人類歷史進程中的重大意義.
教師引導：視頻很中多詞匯我們還很陌生，但隨著學習的深入，我們有機會去慢慢深入了解，今天只是揭開了復數的一點神秘面紗，接下來請同學們閱讀教材，看復數究竟應該怎么定義？怎么用集合表示？又可以怎么分類呢？
學生活動：閱讀教材，構建復數的定義和分類
設計意圖：通過設置問題，引導學生獨立閱讀教材，思考并回答問題，旨在加深其對復數基本概念的理解，培養學生良好的閱讀習慣，提升其閱讀能力．
課堂預設：（學生展示交流）
學生：把形如
這樣的數稱之為復數的代數形式，用集合表示應該是
，其中
稱為實部，
稱為虛部.復數的分類用韋恩圖展示.
教師追問：既然復數有實部和虛部，那如何才能確定一個復數呢？
學生：當實部和虛部唯一確定時.
教師追問：由兩個部分共同確定一個數學對象這一特點與以前所學過的哪些數學對象類似？
學生：平面向量、點的坐標.
教師點評：（板書）所以復數是一個二元數，既有“數”的表示，也有“形”的對應，在高斯構建的復平面內，它與點和平面向量是一一對應的關系，我們將在下一節課復數的幾何意義中深入研究.
教師引導：既然復數是一個二元數，那同學們怎么看復數相等以及復數能不能比大小的問題呢？
學生活動：獨立思考后回答.
課堂預設：（學生獨立思考后交流展示）
學生：復數相等好辦，必需實部和虛部分別相等，復數是實數的時候肯定可以比大小，但是復數是虛數時就不好說了，比如：
但
又該怎么比呢？
教師點評：有同學可以解答他的困惑嗎？
學生：我認為類比向量不能比大小，復數為虛數時也不能比大小的，剛剛高斯郵票上的復平面顯示，在復平面上虛數對應的點不符合大小的定義.
教師點評：非常棒，只有當復數為實數時，對應的點在實軸上，實軸上的點才有大小的定義，右邊的比左邊的大.
環節四 ： 例題練習，鞏固所學
練習 指出下列復數的實部和虛部，并指出哪些是虛數，哪些是純虛數．
，
，
，
，
，
．
例1 當實數
取什么值時，復數
是下列數？
（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數．
例2 求滿足下列條件的實數
的值：
-
；
-
．
學生活動：獨立思考完成并作答
設計意圖：使學生在問題解決的過程中，內化復數的相關概念，起到及時反饋、學以致用的功效．
環節五： 小結提升，形成結構
請圍繞以下問題，回顧總結本節課的學習內容：
-
復數相關的概念有哪些？如何分類？復數相等的條件是什么？
-
我們還可以用什么方式對復數的代數形式進行研究？
3.下一次數系擴充有哪些方法和經驗值得總結？
4.漫長的數學發展史中，你從數學家們身上感悟到了什么？
學生活動：獨立思考完成并交流展示
設計意圖：使學生對本課時有一個全面、系統的認識，在掌握數學知識的同時，積累相應的研究數學問題的經驗、思想和方法，體會科學精神.
環節六 布置作業，應用遷移
復習鞏固
教科書第70頁練習2，第73頁習題7.1第1，2，3題．
拓廣探索
-
課后思考：
的可能取值有哪些？有什么規律？
2.數學寫作：
結合本節課所學內容，再收集一些實數系擴充到復數系的數學史料，閱讀后，完善思維導圖，寫出自己的感悟，與同學進行交流．
3.數學閱讀：
閱讀鏈接:http://www.360doc.com/content/19/0207/11/290478_813474440.shtml
設計意圖：增加拓廣探索問題，通過思考、寫作和閱讀進一步感知數系擴充的曲折歷程，感受數學的文化和精神，提升交流與表達的能力．
六、板書設計
|
7.1.1數系的擴充與復數的引入 |
PPT 展示區 |
副板書區 |
主板書區：
-
數系擴充思維導圖
2.復數定義及分類思維導圖 |
七、教學設計說明及教后反思
復數作為一類特殊的運算對象，有廣泛的應用，其研究也需遵循一定的規則進行.復數的學習溝通了其與實數、多項式及平面向量等知識的聯系；其代數表示和幾何意義的研究，體現了形與數的融合．為了彰顯復數引入的必要性和合理性，揭示復數的概念本質屬性，突出重點、突破難點，本節課圍繞以下幾個方面進行設計并實施教學：
1．通過課前翻轉和小組交流，讓學生在經歷實數系擴充到復數系的過程中，體會擴充的“基本思想”、發展理性思維
盡管學生從小就學了數及運算，初中也明確講了運算法則和運算律，在指數的擴充和指數冪的運算性質中也強調了運算性質的重要性，了解了數系從自然數系到實數系的擴充過程，但學生對此并不重視，也很難形成研究數的一般路徑.復數系是“實數系”擴充的結果，也是基礎教育階段的最后一次擴充，教學時應充分運用這次機會，類比實數的學習歷程滲透數系擴充的“基本思想”，并形成“數”這類運算對象的一般研究路徑：“背景—概念—基本性質—運算及幾何意義—聯系與應用”.
2．通過滲透數學史上有關解方程的真實問題，引導學生認識引入復數的必要性
復數的產生不是一帆風順的，有關其研究可追溯到1545年卡爾達諾提出的“分十”問題．在教學的過程中，鑒于三次方程根的問題超出了學生的認知范疇，故本設計對此做了相應地處理，即以新信息的方式呈現給學生，并作適當的解讀．這樣做旨在從學生的最近發展區出發，幫助學生理解復數引入的必要性，使其體會復數誕生的背后所蘊藏的人文精神和豐富的文化內涵．
3．突出主動建構復數的代數表示并初步感知其幾何意義，彰顯形與數融合的思想
通過閱讀教材，主動建構復數的代數表示及相關概念、復數的分類等知識，引導學生從復數由實部和虛部唯一確定這一特點出發，類比平面內向量及點的表示，初步感知復數的幾何意義，即任何一個復數
均可由一個有序實數對
唯一確定，而有序實數對
與平面直角坐標系中的點又是一一對應的，所以復數
與有序實數對
是一一對應的；另一方面，任何一個有序實數對
都可以看成某一平面向量
的坐標，故復數
與
也是一一對應的．也正是通過數與形的結合，使學生認識到了“虛數不但不虛而且是可以捉摸的”，也讓學生更好地理解了為什么“實數能比大小”而“虛數不能比大小”.
本教學設計以讓學生了解數系擴充的必要性與合理性、經歷復數相關概念的生成過程為重心，感知科學精神、形成研究數的科學方法、培育數學抽象等核心素養為核心，弱化例習題練習，作業設計突出拓展探究.從實施過程中也存在一些遺憾：從師生互動層面看：由于借班上課的因素，對學生的個性特點缺乏足夠的了解，師生互動過程中的默契度還有待進一步提高，但整體完成度較好；從課堂各環節落實層面看：限于課堂時間限制，學生對邦貝利的三次方程解法的討論以及“復數能不能比大小”的討論環節表達稍欠充分，學生的表達熱情一直延續到課后并一一做了反饋；從教師個人提升層面看：語言表達還不夠精煉，在以后的教學中任需錘煉，并加強新課程理念學習，把公開課的標高落實到常態課中去，發展學生核心素養，落實立德樹人的教育教學宗旨.
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