視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《概率三分布數學模型思想及方法探究》云南—角
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云南—角碧波—設計—概率三分布數學模型思想及方法探究
一、教學內容解析
本課題的“概率三分布”是指二項分布、超幾何分布、正態分布．本課內容為新教材人教A版數學選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布7.4與7.5的數學模型思想及方法探究課．學生在此之前已經學習了離散型隨機變量的分布列、期望、方差，并逐個學習了二項分布、超幾何分布、正態分布三個概率分布（以下簡稱概率三分布）的相關知識及方法，本課進一步學習概率三分布的數學模型特征、聯系與區別，以及簡單的實際應用．
二項分布和超幾何分布是最常見的兩種離散型分布，是離散型概率模型的代表，正態分布則是現實世界中最常見的一種連續型分布，是概率論中最重要的一個分布．這三種概率分布數學模型有著相似的研究思路，基本的研究架構都是“現實概率問題——概率分布規律概括抽象——概率分布規律特征描述——概率分布數學模型構建——概率分布模型應用”，三個概率分布有著緊密的內在聯系，但又有著本質的區別．只有厘清概率三分布的聯系與區別，才能在實際問題解決中做到準確地理解模型、識別模型和應用模型．因此，本節課的
教學重點是：通過實例及問題探究，讓學生進一步認識理解概率三分布模型特征及聯系，并會應用概率三分布模型解決簡單實際問題．
本節課的學習過程中學生將借助具體實例和信息技術，在已學習的基礎上對概率三分布的分布特征及模型的數學思想方法進行辨析、比較及關聯，體會三個概率分布模型的聯系與區別，從而提高學生數學模型識別能力和問題解決能力．本節課所學內容對學生而言具有一定挑戰，故需要教師充分分析并把握好學生學情，搭好腳手架，積極引導學生開展探究活動．
概率三分布數學模型整體結構分析如下圖：
二、教學目標設置
《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，選擇性必修概率單元的學習，可以幫助學生感悟離散型隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象；理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；感悟服從正態分布的隨機變量，知道連續型隨機變量；基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題．具體內容要求為：
1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題．
2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題．
3.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量．通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征．了解正態分布的均值、方差及其含義．
根據課標和教學要求，結合我校學生情況，本課
教學目標定位為：
1.學生通過具體實例，能準確辨析概率三分布不同數學模型特征及簡單應用，提高識模能力．
2.學生通過現實問題直觀感知，概括抽象概率分布規律，借用技術進行分布隨機誤差運算，模型結果比較等探究過程，體會概率三分布間的聯系與區別，并能靈活運用概率三分布數學模型解決簡單的實際問題，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界．
3.通過小組合作探究學習，培養學生的團隊合作意識，提升學生的數學抽象、運算、建模的數學核心素養水平．
三、學生學情分析
學生已經具備的認知基礎：
1.學生高一時已學完概率與統計的必修課程，積累了一定的概率統計案例知識與方法，具備一定的隨機思想和模型思想；
2.學生高二學習了排列組合，隨機變量的分布列及其期望、方差，以及二項分布、超幾何分布、正態分布的基礎知識，具備了進一步探究概率三分布的認知基礎；
3.統計概率的學習有著較強的生活氣息和實際背景，學生在實際生活中已經積累了一定的生活經驗，對概率模型所依托的實際背景有一定的認識；
4.學生通常較害怕大段文字的閱讀理解，需要對學生進行適當的引導和專門的閱讀理解指導．
學生業已“各個擊破”地掌握了概率三分布的基礎知識，對概率三分布各自的模型特征已有所了解，但目前還未將概率三分布模型放在一起比較探究，對概率三分布的整體認識還不夠深刻，對概率三分布數學模型的實際應用水平有待提高．好在學生目前已經學完概率的全部知識，具備進一步深入對概率三分布數學模型深層內部聯系結構及理解的認知基礎，因此，本節課的
教學難點確定為：學生對概率三分布數學模型抽象方法的深入理解及模型的簡單實際應用．
四、教學策略分析
基于以上分析，概率三分布數學模型思想及方法的探究是在學生已有的認知基礎和能力水平情況下，選擇恰當的實際問題作為探究媒介，遵循學生的思維活動進程，設置分層有梯度的問題去啟發、引導學生，并給予學生充分的閱讀思考和抽象思維活動的時間，充分借助信息技術的支持幫助學生進行探究和發現，通過小組合作學習，一個臺階一個臺階往上探行，讓學生充分體驗探究過程，體會概率數學模型在實際應用中的作用和力量．
本課主要采用的教學策略方法：
引導發現法：創設問題情境，設計有梯度、有層次的問題，調動學生的學習積極性和主動性，引導學生探索新知，實現數學模型的“再發現”．
實驗探究法：實際案例中的很多數據往往不便于學生手動計算，此時可指導學生借助電子表格Excel或數學軟件GeoGebra進行數據分析、計算、畫圖，通過動手實驗，對概率三分布模型特征進行深入探究．
合作探究法：在概率三分布的模型特征分析、數學實驗、模型應用等環節指導學生小組合作、互助探究、討論交流、探究新知，培養學生的合作意識和探究能力．
五、教學條件分析
本節課從單元整體設計思想出發，科學合理安排各教學環節教學時間與教室空間分布，落實探究過程．根據我�，F有的信息技術設施，充分利用我校每個教室配備的電子白板及師生都配備有的科大訊飛智慧教育平板，引入智慧課堂，基于信息技術開展教學探究活動．學生使用的平板安裝有GeoGebra等數學軟件，方便學生進行數據計算、數據分析和作圖，為本節課有效利用信息技術輔助探究教學提供了強大的信息技術保障．
六、教學流程
（一）模型簡單應用，特征深入辨析
師：同學們，前面我們已學習了離散型隨機變量的分布列、期望、方差，并逐個學習了二項分布、超幾何分布、正態分布三個概率分布，這些都為我們今天的學習做好了準備，首先來看3個問題（教師投影問題1~3）．
問題1：雞接種一種疫苗后，有80%不會感染某病毒．如果3只雞接種疫苗，那么恰有1只雞感染病毒的概率為 ；
問題2：一箱10罐的飲料中有4罐有獎券，從中任意抽取2罐，則這2罐中恰有1罐有獎券的概率為 ；
問題3：設隨機變量
，則
．
【設計意圖】問題1~3分別改編自教材第77頁練習2、第80頁練習1、第87頁練習1，從學生熟悉的問題入手，初步識別概率模型及應用，為下一步深入辨析概率三分布模型特征奠定模型直觀感知．
教師組織學生思考，引導學生獨立完成，采用個別提問的方式解答這三個問題．然后組織學生小組合作學習，對三個概率分布的模型特征進行討論、交流、展示．
三種常見概率分布模型特征分析：
1.二項分布（
）
我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoulli trials）．
一般地，在
n重伯努利試驗中，設每次實驗中事件
A發生的概率為
p (0<
p <1)，用
X表示事件
A發生的次數，則
X的分布列為
．
如果
X的分布列具有上述形式，則稱隨機變量
X服從二項分布（binomial distribution），記作
．
如果
，那么
．
2.超幾何分布（
）
不放回抽樣：一般地，假設一批產品共
N件，其中有
M件次品．從
N件產品中隨機抽取
n件（不放回），用
X表示抽取的
n件產品中的次品數，則
X的分布列為
其中
，
．
如果
X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量
X服從超幾何分布（hypergeometric distribution），記作
.
如果
，設
，則
．
3.正態分布（
）
正態密度函數：
，其中
為參數．
標準正態分布：
．
正態密度曲線（正態曲線）：
歷史淵源：
早在1734年，法國數學家棣莫弗（A. De Moivre，1667~1754）在研究二項概率的近似計算時，已提出了正態密度函數的形式，但當時只是作為一個數學表達式．
直到德國數學家高斯（C. F. Gauss，1777~1855）提出“正態誤差”的理論后，正態密度函數才取得“概率分布”的身份．因此，人們也稱正態分布為高斯分布．
法國數學家棣莫弗(1667~1754) 德國數學家高斯(1777~1855)
如果隨機變量
X的概率分布密度函數為
，則稱隨機變量
X服從正態分布（nomal distribution），記為
．
如果
，那么
．
原則：
;
;
．
在實際應用中，通常認為服從于正態分布
的隨機變量
X一般只取
中的值，這在統計學中稱為
原則．
【設計意圖】通過小組合作學習形式，讓學生對三個概率分布的模型特征從概率分布規律代數表征形式、表格方式、圖象等方面進行辨析．突出整體結構思想，在各分布模型識別過程中注意各概率模型分布特點及相互聯系，強化對各模型中均值、方差等參數含義的理解．重視對數學文化的滲透，在正態密度函數模型辨識過程中，增加了正態密度函數的歷史發展過程關鍵人物介紹，體會數學家們創新性工作，同時了解知識的產生與發展過程．
（二）借用信息技術，探究模型關系
師：現在我們已經明確了概率三分布的模型特征，接下來讓我們借助信息技術對它們做進一步探究（投影例1）．
例1：一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本．用
X表示樣本中黃球的個數．
（1）分別就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，求
X的分布列；
（2）分別就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率，并比較它們的大�。�
思考：（1）兩種不同摸球方式的概率分布分別屬于哪一種概率分布模型?
（2）如何理解“誤差不超過0.1” ?你能用數學語言將其表示出來嗎?
解析：
（1）①逐一有放回摸球：每次摸到黃球概率為0.4，且各次實驗結果相互獨立，相當于做20次伯努利試驗，因此
，
X的分布列為
②一次性不放回摸球：各次實驗結果不獨立，
，
X的分布列為
（2）樣本中的黃球比例
是一個隨機變量，誤差不超過0.1的意思是
，解得
，分別按逐一有放回摸球和一次性不放回摸球計算
．
接下來請學生利用數學軟件GeoGebra中的“概率計算器”對此問題進行合作探究、展示交流．
所以
.
這說明，在相同的誤差限制下，采用一次性不放回摸球估計的結果更可靠些．
追問：將小球數擴大一定倍數？此時“誤差不超過0.1的概率”如何變化？
讓學生小組合作，用數學軟件GeoGebra進行數學實驗，并討論、交流、分享．
如：將小球數擴大10倍，即
“一個袋子中有1000個大小相同的球，其中有400個黃球、600個白球，從中隨機地摸出200個球作為樣本． ”，此時“誤差不超過0.1的概率”又如何？
不難發現
．
仍然有結論：在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結果更可靠些．
與此同時我們會發現：此時兩個概率已經很接近了，且兩種分布的概率分布圖也特別相似了，都很像“鐘形曲線”．
總結：
（1）逐一有放回抽樣用二項分布，一次性不放回抽樣用超幾何分布；在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結果更可靠些．
（2）對于一次性不放回抽樣，當
n遠遠小于
N時，每取一次后，對
N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似．
（3）超幾何分布和二項分布在一定條件下可轉化為正態分布（以后高等數學學習中會詳細論證，這里只做感性認識、簡單了解）．
【設計意圖】例1選自教材第79頁例6，利用GeoGebra進行數學實驗，引導學生對此題進行深度思考，改變各參數的值，觀察超幾何分布和二項分布的變化情況，引導學生思考二項分布和超幾何分布的區別與聯系，了解二項分布、超幾何分布與正態分布的聯系．
在學生完成對例1中二項分布與超幾何分布關系探究的基礎上，接著引出下面實際生活案例，引導學生對正態分布模型進行深入探究學習．
例2：自動流水線上包裝的食鹽，每袋標準質量是400g．由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質量減去標準質量），規定誤差的絕對值不超過4g就認為合格．檢測人員在一次產品檢驗中隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差（單位：g）的觀測值如下：
|
-0.6 |
-1.4 |
-0.7 |
3.3 |
-2.9 |
-5.0 |
1.4 |
0.1 |
4.6 |
0.9 |
|
-2.6 |
-3.4 |
-0.7 |
-3.2 |
-1.7 |
2.9 |
0.6 |
1.7 |
2.8 |
1.2 |
|
0.5 |
-3.7 |
2.7 |
1.1 |
-3.0 |
-2.8 |
-1.9 |
1.7 |
2.6 |
0.4 |
|
2.6 |
-2.0 |
-0.3 |
1.8 |
-0.7 |
-1.3 |
-0.5 |
-1.3 |
0.2 |
-2.1 |
|
2.4 |
-1.5 |
-0.4 |
3.8 |
-0.1 |
1.5 |
0.3 |
-1.8 |
0.1 |
2.5 |
|
3.4 |
-4.2 |
-1.1 |
-0.5 |
0.1 |
0.9 |
0.9 |
2.3 |
0.9 |
-0.8 |
|
-4.4 |
-1.1 |
3.9 |
-1.1 |
-0.6 |
1.7 |
0.3 |
-2.4 |
-0.1 |
-1.7 |
|
-0.5 |
-0.8 |
1.7 |
1.4 |
4.4 |
1.2 |
-1.8 |
-3.1 |
-2.1 |
-1.6 |
|
2.2 |
0.3 |
5 |
-0.8 |
-3.5 |
-2.7 |
3.1 |
1.4 |
-3.6 |
-0.9 |
|
-2.2 |
-0.7 |
-1.3 |
1.5 |
-1.5 |
-2.3 |
2.1 |
1.3 |
0.2 |
-0.9 |
（1）考慮袋裝食鹽是否合格
（ⅰ）從這100袋食鹽中隨機抽取10袋食鹽看不合格袋數
X的分布列和數學期望；
（ⅱ）從自動流水線上隨機抽取10袋食鹽看不合格袋數
Y的分布列和數學期望；
思考：隨機變量
X,
Y分別服從哪一種概率分布？
（2）請各小組根據上述100個誤差數據，制作100袋食鹽誤差的頻率分布直方圖．
思考：（1）為什么可用相應區間面積的大小估計概率？
（2）為什么頻率分布直方圖中各部分面積之和為1？
（3）考慮袋裝食鹽具體誤差，試估計這批袋裝食鹽的合格率能否達到95%以上？
思考：如何構建適當的概率模型刻畫這批袋食鹽的誤差
Z的概率分布？
解析：為方便使用，借助Excel對數據進行排序．
（1）不合格食鹽袋數有6袋．根據例1習得經驗可判斷出“從這100袋食鹽中隨機抽取10袋食鹽”適合用超幾何分布解決，即
；“從自動流水線上隨機抽取10袋食鹽”可近似為二項分布，即
．
在GeoGebra中選擇“概率計算器”，再分別選擇“超幾何分布”和“二項分布”，如下圖輸入參數進行計算，可得到
X，
Y的分布列和數學期望．
注：此處教師可適當啟發引導學生嘗試更改食鹽袋數，觀察
X，
Y的分布列、期望、方差，進一步體會二項分布與超幾何分布的聯系與區別．
（2）制作頻率分布直方圖的一般步驟為：求極差→決定組距和組數→將數據分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．計算得極差為10，可選組距為2、1、0.5等，但組數控制在5~12組為宜，故選擇2和1作為組距．
給學生分小組，每個小組提供一張如下圖所示《頻率分布直方圖小組活動卡》，學生小組合作制作出的頻率分布直方圖會因組距和組數不一樣而有所差異．
展示、交流、反饋各小組提交的頻率分布直方圖．
如下圖，把100個誤差觀測值復制到GeoGebra的“表格區”，繪制頻率分布直方圖，對學生的作圖結果進行驗證，并可適當改變組數進行觀察，頻率分布直方圖呈現中間高、兩邊低的形狀．
（3）袋裝食鹽的誤差是一個連續型隨機變量，根據（2）中所得100袋食鹽誤差的頻率分布直方圖，用樣本估計總體，可以認為袋裝食鹽的誤差服從正態分布，接下來借助GeoGebra計算樣本的均值和標準差，進一步計算這一批袋裝食鹽的合格率能否達到95%以上．
對（2）中用GeoGebra獲得的頻率分布直方圖進行進一步操作，如下圖，點選
，將統
計數據顯示出來，然后保留一位小數,可得
．
在GeoGebra中選擇“概率計算器”，再選擇“正態分布”，輸入參數進行計算，如下圖，可得
，故這批袋裝食鹽的合格率不能達到95%．
總結：
（１）對于一次性不放回抽樣，當抽取數
n遠遠小于總數
N時，每抽取一次后，對
N的影響很小，此時超幾何分布可以用二項分布近似；
（２）在現實生活中，很多連續型隨機變量服從或近似服從正態分布，可利用3
原則幫助我們進行決策．
【設計意圖】例2選自教材第83頁的問題，進行深度改編，特別分組讓學生動手畫100袋食鹽誤差頻率分布直方圖，給學生提供坐標紙，方便簡潔，返璞歸真．讓學生畫頻率分布直方圖，進一步體會頻率估計概率、樣本估計總體的思想，增強對技術運算過程及結果的理解.利用GeoGebra進行數學實驗，引導學生從不同角度思考問題，進一步體會概率三分布之間的聯系與區別.
（三）課堂小結，概括提高
課堂小結是課堂教學不可缺少的重要環節，根據本節課學生學習內容及學習過程，引導學生主要從以下幾方面進行課堂小結：
1．通過本節課的學習，談談你對概率二項分布、超幾何分布和正態分布間之間的聯系與區別的認識。
2．學習反思：通過這節課的學習，你有何收獲與提高？
請同學們帶著這兩個問題，對以下小結單進行填寫完善，小組討論，交流分享本節課的學習體會．
|
|
超幾何分布 |
二項分布 |
正態分布 |
|
區別 |
模型特征 |
不放回抽樣 |
獨立重復試驗 |
典型連續型隨機變量 |
|
分布記號 |
 |
 |
 |
|
參數意義 |
 ——產品總數
 ——次品數量
 ——抽取數量 |
——實驗次數
 ——事件發生的概率 |
 ——均值(左右對稱)
 ——標準差(數據分布) |
|
分布公式 |
 |
 |
 |
期望 |
 |
 |
 |
方差 |
 |
 |
 |
|
聯系 |
對于一次性不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每取一次后，對N的影響很小，此時超幾何分布可以用二項分布近似；
超幾何分布和二項分布在一定條件下可轉化為正態分布(以后高等數學中將進一步學習)． |
【設計意圖】引導學生對本節課所學內容和方法進行歸納概括，讓學生形成較完整的概率三分布的知識、思想和方法的認知結構，進一體會概率數學模型應用的思想，充分感受數學的力量和數學的有用性．
（四）作業布置，鞏固提升
1．某設備在正常運行時，產品的質量服從正態分布
，其參數分別為
，
，為了檢驗設備運行是否正常，質量檢查員需要隨機地抽取產品，測量其質量．當檢驗員隨機地抽取一個產品，測得其質量為
時，他立即要求停止生產，檢查設備．他的決定是否有道理呢？
解答：檢查員的決定是有道理的．理由：當該設備正常運行時，產品的質量服從正態分布，其參數分別為
，
，所以根據正態分布的性質可知產品質量在區間
，即
內的概率為0.9973，而產品的質量超出這個范圍的概率只有0.0027，這是一個幾乎不可能發生的事件．但是，檢查員隨機抽取的產品為
，這說明設備的運行可能不正常,因此檢查員的決定是有道理的．
2．一份某種意外傷害保險費為100元，保險金額為40萬元．某城市的一家保險公司一年能銷售2萬份保單，而每一份保單需要賠付的概率為
．請問：這家保險公司虧本的概率大么？
解答：設一年內需要賠付的保單數為
，則
．
共可收保險費100×2=200萬元，保險公司虧本等價于
，即
．
如下圖，利用GeoGebra“概率計算器”計算得
．
，所以這家保險公司虧本的概率約為0.0166，這是一個幾乎不可能發生的小概率事件，故這家保險公司虧本的概率是很小的．
3．請以學習小組為單位，結合現實問題，合作設計一個應用概率三分布數學模型解決實際問題的案例．
說明：此題為開放性問題，解答從略．
【設計意圖】三個課后作業形成一定的梯度和難度，讓每一個學生通過作業，應用概率分布模型的水平都能得到進一步提升，進一步體驗數學應用的廣泛性．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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