視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《測量學(xué)校內(nèi)外建筑物的高度》陜西—盧
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陜西—盧龍—設(shè)計—測量學(xué)校內(nèi)外建筑物的高度
“數(shù)學(xué)建�；顒�—測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”教學(xué)設(shè)計
陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 盧龍
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.同時，數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動又是課程內(nèi)容突出的四條主線之一.依托該內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生實際知識儲備和現(xiàn)狀，開展了“測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”的數(shù)學(xué)建�；顒�.下面是此次建�；顒拥慕虒W(xué)設(shè)計.
一．教學(xué)內(nèi)容解析
實際問題的函數(shù)建模是培養(yǎng)學(xué)生高層次思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、分析和解決問題能力的重要載體.本節(jié)課的內(nèi)容來源于《標(biāo)準(zhǔn)》中的案例15，測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度.運用所學(xué)知識解決實際測量高度的問題，從初中開始學(xué)生就有所接觸，通過測量操場上旗桿的高度，學(xué)生掌握了相似與全等的實際應(yīng)用.高中對三角函數(shù)以及立體幾何有了近一步學(xué)習(xí)之后，再一次進(jìn)行實際建筑物高度的測量，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建�；顒拥耐暾^程.學(xué)校內(nèi)的建筑物一般是底部可以到達(dá)的，學(xué)生可以通過構(gòu)造直角三角形，計算樓層數(shù)和層高，數(shù)磚塊層數(shù)等簡單方式來獲取建筑物的近似高度.學(xué)校外部的建筑物往往是底部不可到達(dá)的，測量時需要制定完整的測量方案并選擇合適的模型進(jìn)行計算，從而得到建筑物的近似高度.
根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》中對數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)提示，將“測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”課題研究分為三個課時進(jìn)行.第1課時，教師在課堂上組織開題交流，讓每一個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑，在討論的基礎(chǔ)上，項目小組最終形成各自的測量方案.學(xué)生需要撰寫開題報告，開題報告應(yīng)該包括選題的意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題的思路、研究計劃、預(yù)期結(jié)果等；第2課時，帶領(lǐng)學(xué)生實地測量，以小組為單位，先測量校內(nèi)一個建筑物的高度，再測量校外一個建筑物的高度，做好數(shù)據(jù)記錄和過程性資料的留存；第3課時，研究結(jié)果呈現(xiàn)，教師組織學(xué)生開展結(jié)題匯報.本節(jié)課進(jìn)行的是第3課時的內(nèi)容.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：讓學(xué)生學(xué)會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型解決測量建筑物高度的問題，體驗數(shù)學(xué)建模的完整過程，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用.
本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：
-
經(jīng)歷數(shù)學(xué)建�；顒拥幕具^程，體會數(shù)學(xué)建模思想.
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能對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，制定合理的測量方案，準(zhǔn)確收集數(shù)據(jù)，正確分析數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用信息技術(shù)工具求解模型、檢驗?zāi)Ｐ汀?yōu)化模型，最終達(dá)到解決實際問題的目的.
-
感受數(shù)學(xué)來源于生活并能應(yīng)用于生活，用數(shù)學(xué)知識和方法可以解決實際生活中的問題，體驗數(shù)學(xué)在生活中的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣.小組在討論方案，實地測量，探索建模的過程中提升創(chuàng)新能力，體驗成功的喜悅，同時培養(yǎng)團(tuán)隊協(xié)作的意識.
測量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，與生活密切相關(guān)，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)完平面幾何中的勾股定理及三角形全等與相似知識以后就可以解決此類問題.本次數(shù)學(xué)建模活動的對象為高二年級的學(xué)生，學(xué)生思維活躍，具有一定的自主探究與合作學(xué)習(xí)的能力，能運用信息技術(shù)解決簡單的數(shù)據(jù)運算問題.從數(shù)學(xué)知識上看，學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握了解三角形的不同方法；學(xué)習(xí)了空間幾何體以及相關(guān)性質(zhì)與運算，會將實際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá).從物理知識上看，學(xué)習(xí)了自由落體運動，知道光沿直線傳播等基本原理.但是將理論知識轉(zhuǎn)化成實踐的能力還不足，解決實際問題的經(jīng)驗還不夠豐富，如何準(zhǔn)確用已有工具測量仰角，如何優(yōu)化模型得到最優(yōu)解等，還需要教師給與指導(dǎo).
因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點是：選擇合適的測量方案和測量工具測量相關(guān)數(shù)據(jù).
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依據(jù)數(shù)學(xué)建�；顒拥膬�(nèi)容和要求組織教學(xué)材料.通過精心設(shè)計的開題問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識儲備思考實際問題，在解決實際問題的過程中構(gòu)建函數(shù)模型開展數(shù)學(xué)建�；顒�，歸納出數(shù)學(xué)建�；顒拥囊话惴椒ǎ瑤椭鷮W(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
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依據(jù)學(xué)情組織教學(xué)活動.根據(jù)學(xué)生的思維特點和認(rèn)知基礎(chǔ)，對重、難點內(nèi)容—模型的建立、檢驗與優(yōu)化等采用核心任務(wù)探究的教學(xué)方式，在每個核心任務(wù)下設(shè)置子任務(wù)，通過獨立思考、小組合作、展示交流、互評反思等師生活動來強化重點、突破難點，學(xué)生在嘗試和探索中掌握數(shù)學(xué)建�；顒拥臄�(shù)學(xué)思想和一般方法.
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突出數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透.在引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、開放性視野，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力、交流合作能力、數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).
-
運用“互聯(lián)網(wǎng)+”提高教學(xué)效率.學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件以及圖形計算器求解模型，體會信息技術(shù)在科學(xué)研究的過程中起到的重要作用.
本次數(shù)學(xué)建�；顒邮侵付ㄕn題，學(xué)生不需要經(jīng)歷選題的過程，因此分為3個課時來完成，分別為開題，做題和結(jié)題三個部分.前期已經(jīng)完成前兩部分，本節(jié)課為本次活動的第3課時，結(jié)題匯報環(huán)節(jié).
（一）開題
開題部分用1個課時來完成，課前提供了研究課題，設(shè)置了開題任務(wù)單，讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)回顧、調(diào)查研究、查閱資料等方式思考以下問題并在課堂上解決：
1.測量什么建筑物？
2.怎么測？理論依據(jù)是什么？設(shè)計至少兩套方案.
3.需要的測量以及計算工具有哪些？可能會遇到的實際困難是什么？怎么解決？
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生通過查閱資料、請教師長、自主思考、小組探討等途徑獲取信息與分析問題的能力.
（二）做題
做題部分用1個課時來完成，學(xué)生按照小組進(jìn)行實地測量并記錄數(shù)據(jù)，隨后求解模型，修改模型，進(jìn)行誤差分析等.
【設(shè)計意圖】讓每位學(xué)生親身經(jīng)歷通過實驗收集數(shù)據(jù)的過程，感受如何建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題.通過對結(jié)果的分析，認(rèn)識到實際測量會產(chǎn)生誤差，分析誤差產(chǎn)生的原因以及減小誤差的方法.
（三）結(jié)題
1.前情回顧
教師帶領(lǐng)學(xué)生簡要回顧本次數(shù)學(xué)建模活動前期經(jīng)歷的過程，包含開題和做題兩個重要環(huán)節(jié)，開題部分，學(xué)生通過小組討論，查閱資料，詢問老師等多種不同的方式探討了測量建筑物高度的方案.每個小組根據(jù)實際情況撰寫了開題報告，并設(shè)計了至少兩種測量方案.做題部分，校內(nèi)建筑物的測量由小組自行選擇時間開展活動，校外建筑物在校外的測量活動由教師帶領(lǐng)全班同學(xué)在同一時間內(nèi)進(jìn)行測量.
【設(shè)計意圖】通過對前邊活動的回顧，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的過程，為今天的活動做好鋪墊.同時展示學(xué)生課下測量的照片等，提高學(xué)生對本節(jié)課的探究興趣.
校內(nèi)建筑物由于其底部可達(dá)，測量較為容易，各小組上交方案后，由教師進(jìn)行匯總分析，共展示7種不同的測量方式.
校內(nèi)建筑物測量的方法與模型：
方案一：單點位測仰角法（如圖1）； 方案二：單點位測仰角與俯角法（如圖2）；
![81O]Y9]ST9HWA$KU`G4THT2](file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png)
圖1 圖2
記建筑物的高為
，方案一中，
；
方案二中，
.
方案三：同時刻物高與影長等比例法（如圖3）；
![A628MO]U}9LI]A9_P8L4PA1](file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.png)
圖3
方案三中，
.
方案四：臺階總數(shù)*每級臺階的高度（假設(shè)每級臺階高度相同）；
方案五：樓層數(shù)*每層樓的高度（假設(shè)每層樓高度相同）；
方案六：自由落體運動實驗；
方案七：在樓頂直接測量高度（建筑物樓頂可達(dá)且高度有限）.
【設(shè)計意圖】校內(nèi)建筑物的測量較為容易，學(xué)生設(shè)計的方案簡單易操作，由教師進(jìn)行成果匯總展示，留下更多的時間與空間讓學(xué)生來匯報校外建筑物的測量及其結(jié)果.
各小組經(jīng)過討論，校外建筑物都選擇了測量在學(xué)校操場可以看到的西安市地標(biāo)性建筑物—大雁塔，測量地點選擇了三處，分別為學(xué)校操場，大慈恩寺外和大慈恩寺內(nèi).
2.交流展示
分析比對學(xué)生提交的數(shù)學(xué)建模成果，選擇具有代表性的成果進(jìn)行課堂交流展示.但提前不告訴學(xué)生，以免影響課堂的積極性.
-
小組1展示交流
①選擇測量的建筑物及選擇原因
選擇測量大雁塔，因為大雁塔聞名中外，如何能用所學(xué)的知識解決對它的高度測量問題，對我們來說是一個很好的實踐活動.
②測量方案及模型選擇
經(jīng)查閱資料及詢問相關(guān)工作人員，得知大雁塔周圍樹木掩映，遮擋物較多，塔底不具備單點位測量的條件.小組在《海島算經(jīng)》相關(guān)高考題的啟發(fā)下，建立了雙點位測量的模型（如圖4）
圖4
在該模型中，需要知道兩次測量點處的仰角及兩點間距離，從而利用三角函數(shù)相關(guān)知識計算出塔的高度
.
在探討的過程中，考慮到對于仰角的正切值，可以利用三角形邊之間的比值來獲得，圖4中的
為比人略高的標(biāo)桿，借助標(biāo)桿高度，目高及人桿距可得兩次仰角的正切值，此方案不用測量仰角的大小.計算公式為：
.
注意到在圖4中有一個
與兩次測量的仰角以及距離均有關(guān)系，于是考慮在該三角形中用所學(xué)的正弦定理來計算
的長，從而計算
，加上目高即可得塔高
.
我們采用的測仰角的工具是自測傾器，自制測傾器用到的工具有大量角器（度盤），三腳架和鉛錘.
③測量數(shù)據(jù)
測量大雁塔的數(shù)據(jù)如表1所示.
桿高 ，眼高 ，人桿高度差為 （距離單位為 ，角度單位為 ） |
|
測量次數(shù) |
 |
 |
塔高 |
 |
 |
塔高 |
|
1 |
29 |
25.5 |
69.3987 |
0.656 |
0.709 |
67.224 |
|
2 |
26.5 |
25.5 |
68.7607 |
0.667 |
0.735 |
69.796 |
|
3 |
30 |
27 |
70.4091 |
0.679 |
0.763 |
70.608 |
|
大雁塔高度的平均值：69.37 |
表1
④結(jié)果及誤差分析
經(jīng)測量，校內(nèi)建筑物的高度為
，與實際高度相差
；校外建筑物大雁塔的高度為
，與實際高度
相差較大.于是我們進(jìn)行了誤差分析及模型應(yīng)用，由于校內(nèi)建筑物底部可達(dá)，便于測量，因此測量結(jié)果較為精確.大雁塔測量結(jié)果誤差較大，考慮到是因為大慈恩寺內(nèi)地面不平整，測量數(shù)據(jù)較多，測量的仰角精度不高等.隨后為了驗證模型的可行性并且對模型進(jìn)行應(yīng)用，小組測量了位于學(xué)校操場西邊校園外的一座底部不可達(dá)的建筑物，結(jié)果為
，與實際高度
相差不大，說明模型的可行性較大.
解決老師提出的問題：如何用一張A4紙測量大雁塔的高度？根據(jù)小組建立的測量模型，在實際測量時需要測量仰角以計算其正切值，而A4紙的長度和寬度為定值，沿對角線折疊以后會有兩個正切值已知的銳角，可以作為天然的側(cè)傾器來使用，從而可以根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算出大雁塔的高度.如圖5
圖5
模型計算公式：
，計算結(jié)果為
.
⑤活動感受
測量底部不可達(dá)建筑物高度的核心是測量長度和角度，靈活利用手邊可用的工具開展測量活動.
“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”，在進(jìn)行實踐活動之前應(yīng)該做好充分的準(zhǔn)備，提前制定好方案，并且要做好詳細(xì)的計劃，提前想好可能會遇到的實際問題并準(zhǔn)備好解決方案.
-
小組2展示交流.
①模型展示
考慮到實際測量時，雙點位測量過程中兩次測量點與塔心共線這一要求較難達(dá)到，于是對模型進(jìn)行了改進(jìn)，如圖6
圖6 圖7 圖8
圖中
兩點為測量點，測出這兩點與塔心的夾角及兩點間的距離，再測出某個測量點處的仰角，即可計算出塔高，考慮到大雁塔底部不可達(dá)，因此角
無法準(zhǔn)確測量，于是優(yōu)化模型，如圖7，為便于觀察，圖中略去了眼高，利用指南針，將兩次觀測點分別放在塔的正南方和正西方，這樣，塔心與兩次觀測點之間的的夾角為直角，只需要測量兩次觀測點處的仰角，距離以及眼高，即可用公式
計算出塔的高度.但這個模型依然面臨一個實際測量的困難，即兩次觀測點之間的距離由于有遮擋物而無法測量，于是對模型又進(jìn)行了優(yōu)化.如圖8，將底面三角形的直角頂點作為一個測量點，選取合適的距離作為另一個測量點，分別測量兩次觀測點處的仰角，兩點間距離以及眼高，即可用公式
計算出塔的高度.
小組的另一個方案為給待測量建筑物拍照，利用比例尺的原理通過已知參照物的高度來計算建筑物的高度.在實際測量時發(fā)現(xiàn)該方法測量出來的大雁塔的高度為
，還不到實際高度的一半.改變拍攝位置，拍攝角度以及拍攝參照物，依然有非常大的誤差，該方法并不適合于測量大雁塔.經(jīng)過小組分析，原因在于由于拍攝的位置與大雁塔距離較近，塔身有一定的高度，拍攝時就會存在仰角，導(dǎo)致塔的上半部分比例失調(diào).考慮到此方法的理論可行性，小組認(rèn)為，找到合適的拍攝位置，參照物與塔身距離足夠近時，誤差相對較小.此方案在本次測量活動中以失敗告終.
②數(shù)據(jù)運算
小組的數(shù)據(jù)運算采用了惠普圖形計算器，它的優(yōu)勢是對于同一模型可以在編輯好公式后，輸入不同的數(shù)據(jù)反復(fù)運算，提高了運算速度.如圖9，圖10
圖9 圖10
最終通過方案一雙點位共線測量的方法得到的塔高為
，通過方案二雙點位不共線測量的方法得到的塔高為
.兩次測量結(jié)果非常接近，與實際值相差不大，說明在減小誤差方面的舉措是成功的.
③活動感受
小組在探討方案時還提到了利用放風(fēng)箏的方法，通過計算風(fēng)箏線與地面夾角的正切值來測算塔高，出于對文物的保護(hù)以及風(fēng)箏線自身的重力無法忽略不計等原因，沒有通過.另外還想通過氣壓計測量氣壓差來測算高度，此方案受限于塔頂不可達(dá)以及空氣密度不均勻等困難，仍然沒有通過.拍照利用比例尺的方法提醒我們，現(xiàn)實和理想是有差距的，有些時候理論上很完美的事情，在實際執(zhí)行時會遇到各種各樣的困難.
-
小組3展示交流
①校內(nèi)建筑物測量
校內(nèi)建筑物采用了一款手機軟件Phyphox來測量，該軟件可實現(xiàn)一些生活中基本物理量的測量，可以根據(jù)電梯的運行速度及時間來計算運行高度，通過此軟件，測量出崇是樓的高度為
，與真實值
相差不大.
②校外建筑物測量
校外建筑物采用平面鏡兩次觀測塔頂?shù)姆绞絹頊y量，如圖11，
圖11
其中
兩點為平面鏡放置位置，為了盡可能減小誤差，在平面鏡上找一個標(biāo)記點為眼睛看到塔頂?shù)奈恢�，同時測量了三組數(shù)據(jù)取其平均值.計算公式為：
，數(shù)據(jù)如表2
單位：米
|
測量次數(shù) |
 |
 |
 |
 |
|
1 |
 |
 |
1.95 |
64.8 |
|
2 |
83 |
2.1 |
64 |
|
3 |
70 |
1.72 |
65.9 |
表2
經(jīng)過計算，大雁塔的平均高度約為
，與實際相差不大.
【設(shè)計意圖】小組展示交流活動是本節(jié)課非常重要的一個環(huán)節(jié)，是本節(jié)課實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點的有力活動支撐，也是對課下學(xué)生做題活動的肯定，為接下來的模型評價環(huán)節(jié)奠定了基礎(chǔ).
-
評價提升
模型評價環(huán)節(jié)通過對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價，讓學(xué)生更深入分析不同模型的優(yōu)缺點及可行性等，從中體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)建�；顒拥某晒捌鋺�(yīng)用價值.
-
教師評價
從模型的可行性、誤差大小、探索問題的精神等方面進(jìn)行評價.
第一小組的模型是各個小組都用到的模型，該組在測量和運算兩個方面都有亮點，測量時利用了測量標(biāo)桿等數(shù)據(jù)來計算正切值的思路，并且測量仰角采用了自制的側(cè)傾器，具備了很強的動手能力，計算時用到了正弦定理，體現(xiàn)了對于所學(xué)知識的靈活運用以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.最后，通過測量另外一座建筑物，對模型進(jìn)行可行性驗證.但是測量結(jié)果誤差較大，還需要繼續(xù)探討減少誤差的做法.
第二小組建立的模型為立體幾何模型，并且進(jìn)行了多次模型優(yōu)化，在計算時還考慮到了三垂線定理，知識運用很全面.計算采用了惠普圖形計算器，借助工具，使得運算便捷.測量結(jié)果誤差較小，可嘗試推廣.
第三小組的模型運算簡單，數(shù)據(jù)易測，使用的工具也簡單便捷，測量校內(nèi)建筑物時還有效利用了手機軟件，方法獨特.此方法由于人為觀測的原因，易產(chǎn)生較大誤差，可以思考怎樣做減小誤差.
【設(shè)計意圖】通過教師引導(dǎo)告訴學(xué)生如何對模型進(jìn)行評價，體現(xiàn)了教師“教”的主導(dǎo)地位，同時教師通過自己的評價，讓學(xué)生感受評價的方式，也是實現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)、突出重點、突破難點的重要載體.
-
小組自評與互評
開展課堂小組討論活動，通過小組內(nèi)部討論，結(jié)合自己小組的模型選定課堂上的一個模型進(jìn)行評價，每個小組選派一名代表發(fā)言.
小組1學(xué)生代表：評價小組2的模型.首先，小組2的模型與大家的都不同，考慮到實際情況，建立了立體幾何的模型.并且，有多次對模型進(jìn)行優(yōu)化的過程，計算數(shù)據(jù)時，也考慮到了幾何關(guān)系，應(yīng)用到了三垂線定理.值得我們學(xué)習(xí).
小組2學(xué)生代表：評價小組3的模型.小組3是我們一起測量時所帶的儀器最少的，測量時也非常便捷，他們化簡為繁，值得我們學(xué)習(xí).但是他們測量的誤差較大，應(yīng)該考慮多換幾個方向去測量.
小組3學(xué)生代表：評價本小組的模型.我們的模型測量數(shù)據(jù)為長度和高度，相比于其他模型，沒有測角的過程，測量簡單，運算簡潔，可行性較高.
小組4學(xué)生代表：評價小組2的模型.小組2的同學(xué)在建立模型的過程中，遇到困難及時解決困難，不放棄的精神值得我們學(xué)習(xí).
小組5學(xué)生代表：評價小組1的模型.小組1解決了用
紙測量大雁塔高度的問題，非常不可思議，利用手邊最簡單的工具，結(jié)合所學(xué)知識，解決實際測量問題，是生活數(shù)學(xué)化的最好體現(xiàn).
小組6學(xué)生代表：評價小組2的模型.小組2在模型求解時運用了惠普圖形計算器，使得運算過程簡單準(zhǔn)確，在測量時所用的工具也獨樹一幟.
【設(shè)計意圖】通過自評與互評，讓學(xué)生感受相互學(xué)習(xí)、交流的重要性和必要性，發(fā)現(xiàn)他人優(yōu)點的同時也關(guān)注建模活動過程中存在的問題，為后期改進(jìn)、優(yōu)化模型奠定基礎(chǔ).同時，讓更多學(xué)生參與到課堂活動中來.
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模型應(yīng)用
小組設(shè)計的測量方案，建立的測量模型可行性如何呢？課后嘗試去測量西安“西部之光”電視塔的高度.
教師介紹從古至今測量高度用到的工具，現(xiàn)在常用的全站儀，激光測距儀，無人機等，讓學(xué)生感受精密的測量儀器使用的也是最基本的數(shù)學(xué)原理，中國人對于高度的探索從未停止，從而引發(fā)思考，如何測量一座山的高度？進(jìn)而引出對于珠峰高程的測量以及我們國家連同尼泊爾對于珠峰新的高程的測定結(jié)果，
，這是世界新的高度！
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，從而解決生活中的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，提升學(xué)生的民族自豪感，本環(huán)節(jié)是實現(xiàn)本節(jié)課育人目標(biāo)的重要載體.
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小結(jié)提升
學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面來思考和表達(dá),學(xué)生自述，教師補充總結(jié)，同時完善板書.
(1)底部可達(dá)與底部不可達(dá)的建筑物，從平面與空間，數(shù)學(xué)與物理等角度看有多種不同的測高方式.
(2)數(shù)學(xué)建�；顒拥幕静襟E，如圖12
圖12
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作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)：
查閱資料，了解更多中國人關(guān)于測量的歷史與現(xiàn)狀
【設(shè)計意圖】學(xué)生課下獨立完成，通過查閱資料，對本次建�；顒拥难芯恳饬x和價值有更深入的認(rèn)識.
拓展作業(yè)：
（1）總結(jié)本次數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，小組嘗試測量電視塔高度
（2）修改完成本次數(shù)學(xué)建�；顒拥慕Y(jié)題報告
【設(shè)計意圖】模型的推廣與應(yīng)用也是數(shù)學(xué)建模活動的一部分，應(yīng)用模型解決實際問題，為下一次的建模活動做好準(zhǔn)備，課下小組合作完成.
六.課后反思
本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計建立在“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念上，融入了《標(biāo)準(zhǔn)》的思想內(nèi)涵.本節(jié)課從學(xué)生的展示活動出發(fā)，通過學(xué)生的展示，結(jié)合教師和學(xué)生的評價，實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計中突出體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.經(jīng)歷了本次數(shù)學(xué)建模實踐活動后，對于數(shù)學(xué)建�；顒拥拈_展有以下幾點思考.
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數(shù)學(xué)建模活動的開展應(yīng)該常態(tài)化、系列化
本次數(shù)學(xué)建模活動學(xué)生表現(xiàn)出了非常高的熱情，整個活動中學(xué)生的綜合能力得到了明顯的提升.數(shù)學(xué)建模活動的開展應(yīng)該常態(tài)化、系列化.避免將主動探索，積極驗證的動手操作過程變成機械的搶時間“刷題”.
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數(shù)學(xué)建�；顒又薪處煈�(yīng)該適當(dāng)放手，給學(xué)生足夠的探索空間
建模活動的整個過程中，教師應(yīng)該是一個導(dǎo)師的角色，不能用自己的知識儲備代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程.應(yīng)該把握好指導(dǎo)的時機和內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程得到模型,從而真正提升學(xué)生解決問題的能力和思維品質(zhì).
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嘗試讓學(xué)生親歷選題的過程
本次數(shù)學(xué)建�；顒訛橹付ㄕn題，學(xué)生并未經(jīng)歷選題的過程，教師在教學(xué)過程中滲透了從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題提出問題的必要性，后期開展數(shù)學(xué)建模活動時可以嘗試讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，經(jīng)歷經(jīng)過討論選題的過程，這更有利于提高學(xué)生進(jìn)行實踐活動的積極性.
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