課題：3.1.1橢圓及其標準方程（第一課時）
（人教A版高中選擇性必修第一冊）
教學設計
2022年11月
《橢圓及其標準方程》（第一課時）教學設計
天津市耀華中學 劉新亮
一、內容和內容解析
1.內容：橢圓的定義及其標準方程的推導.
2.內容解析：
本節課是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊第三章第一節第一課時的內容，其主要內容是章引言、橢圓的概念與橢圓標準方程的建立.
從本章知識的內部結構看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、研究方法具有高度的相似性，橢圓的學習為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式，因而本單元的學習在全章的學習中具有基礎和示范性作用.本單元是培養學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養良好的知識載體，學生通過動手畫、觀察抽象圖形的幾何特征，直觀感知橢圓形狀，選擇適當的平面直角坐標系，建立橢圓標準方程，從而為研究橢圓的幾何性質做好鋪墊.培養了學生從特殊到一般、數形結合等思想，通過觀察-猜想-論證-應用，不僅滲透了研究新問題的科學方法，還提升了學生的思維品質和科學的態度，通過師生交流，生生交流與探究活動，引導學生積極動手操作、勤于思考、善于思考，鼓勵學生積極發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.學生學習的興趣和積極性，尊重學生的自我發現，落實新課標中學生發展為本、立德樹人、提升素養的理念.
在本節課中，“橢圓的概念”部分，先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特性?”的引領下進行畫圖操作，從中發現橢圓的幾何特征，進而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎與出發點.“橢圓的標準方程”部分，先根據橢圓的幾何特征建立坐標系，然后通過代數運算得到橢圓的標準方程.上述過程體現了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發現曲線的幾何特征、如何建立適當的坐標系、如何簡化和優化方程.
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：坐標法，橢圓的幾何特征，橢圓的定義及橢圓的標準方程.
1.目標
（1）了解圓錐線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.
（2）經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程.
2.目標解析：
達成上述目標的標志是:
（1）能通過觀察平面截圓錐認識到:當平面與圓錐的軸所成的角不同時，可以分別得到圓、橢圓、雙曲線和拋物線.能通過實例知道圓錐曲線在生產、生活中有廣泛的應用.能初步認識本章的學習內容、學習方法與學習價值.
（2）能通過繪制橢圓的過程認識橢圓的幾何特征，給出橢圓的定義，建立適當的坐標系，根據橢圓上的點滿足的幾何條件列出橢圓上的點的坐標滿足的方程，化簡所列出的方程，得到橢圓的標準方程.
三、教學策略分析
1.已具備的認知基礎：本課時的教學對象具有良好的知識儲備和較強的學習能力.學生對坐標法已有初步的認識，通過直線和圓的方程的學習，對用坐標法研究曲線的基本思路與方法已有了解，學生具備較強的探究意識和團隊合作意識，有較好的語言表達能力，積累了一定的數學活動經驗，具有較強的動手實踐能力.
2.可能存在的認知困難：化簡由橢圓的幾何特征直接得到的方程.這個方程是二元無理方程，是初高中教材銜接的空白點，化簡這個方程需要兩次兩邊平方，并且涉及的字母多，對學生的運算能力要求較高.
基于以上分析，確定本節課的教學難點：橢圓的標準方程的化簡.
突破難點的關鍵：問題鏈引導學生對需要化簡的式子的結構特征進行分析，對可能的方案進行預判，選擇相對計算量小的方案進行化簡，在化簡過程中遇到的問題，通過小組合作探究解決.
3.教法分析
結合本課時的內容特點和學情分析，本節課主要采用任務驅動、問題啟發、直觀演示的教學方法.本課時以提升學生的數學抽象、直觀想象和數學運算的核心素養為根本出發點，知識上以抽象生成橢圓的概念和直觀感受橢圓的對稱性，化簡橢圓方程為核心，思想方法上以坐標法為核心，用例1和課堂測驗 作為課堂反饋，以完成課前探究和課后作業作為課堂的延伸和拓展，充分增加課堂的深度和廣度.
4.學法分析
學生主要采取自主探究、合作交流的學習模式.在課前作業中既有全體參與的活動，也有小組合作的活動.在課堂教學中始終以學生為核心，鼓勵學生獨立思考、敢于質疑，通過小組合作、交流分享，突破難點，提升學生的合作探究意識，提高分析問題、解決問題的能力.
5.教學支持條件
教師充分利用暢言智慧課堂教學輔助系統授課，利用該系統實時地展示學生的探究過程和結果，讓每個學生參與到探究的過程中來，及時分享學生的不同方法，充分發揮生生互評、師生互評的評價效能，引發學生更加深入的思考，加深對新知的理解與應用.
四.教學過程設計
教學流程：
1．情景引入，直觀感受圓錐曲線
引導語:前面我們用坐標法研究了直線和圓.接下來我們研究一類新的曲線圓錐曲線，它包含了橢圓、拋物線和雙曲線.
在課前我們留了兩項作業，一項是分小組完成的，有兩個問題：
1.為什么橢圓、雙曲線、拋物線都稱為圓錐曲線？
2.圓錐曲線在實際生產生活中有哪些應用？
另一項是全體同學完成的：
1.尋找生活中的橢圓.
2.用我們給定的工具畫一個橢圓.
每個小組及每個同學都很好的完成了任務，今天我們選三個小組進行展示.
【設計意圖】布置課前預習作業，充分調動全體學生學習探究的積極性和主動性，有利于開闊學生思路，提高課堂廣度和深度.分組活動，有利于促進小組內的相互合作，更有利于發揮學生的特長，更廣泛更深入的探究自己小組的課題.課堂上對課前小組活動的評價，有利于提高學生的參與度，小組分享也是對學生課前探究活動的肯定.
問題1：為什么橢圓、雙曲線、拋物線都稱為圓錐曲線？
【師生活動】請一個小組同學用Geogebra軟件給大家演示用平面截圓錐，平面與圓錐的軸所成的角不同時，得到不同的截口曲線，并指出它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.
【設計意圖】讓學生明確本章研究的主要內容，對圓錐曲線有一個直觀的認識.學生課前制作課件，課上演示，變被動的接受為主動的設計制作課件，讓他們習慣借助幾何軟件研究問題.
問題2：圓錐曲線在實際生產生活中有哪些應用？
【師生活動】請一個小組通過視頻展示圓錐曲線在實際生產生活中的廣泛應用.
【設計意圖】通過讓學生課下搜集整理各種資料，去了解圓錐曲線在實際生產生活中的應用；通過課堂上分享視頻，讓學生再次感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，視頻中展現的國家大劇院，國之重器的“天眼”，特別是我國在航天航空取得的舉世矚目的成就，讓學生為祖國的強盛和進步感到驕傲和自豪的同時，也感受其中科技的力量，而科技的進步離不開數學，將課程思政融入課堂教學.
問題3：為了讓神舟十二號降落在指定著陸場，科技人員需要實時測量神舟十二號的軌道位置和軌道高度，體現著怎樣的數學方法？
【師生活動】我們可以理解為科技人員獲得很多點的坐標，并根據這些點的坐標隨時調整神舟十二號軌跡，以使得神舟十二號降落在預定著陸場.這個過程體現了坐標法的獨特魅力.
【設計意圖】將課程思政更自然的融入數學教學不，以最近學生們最關注的話題，用我們學過的知識和能理解的方式去解釋航天航空中的問題，讓學生感到數學的巨大力量的同時，體會坐標法的獨特魅力，并引出本節課主題：“用坐標法研究橢圓及其方程” .
2．歸納抽象，生成橢圓的概念
問題4：首先我們一起來看看同學們找到的身邊的橢圓，大家注意觀察，大家找到的圖形是我們今天要研究的橢圓嗎？
【師生活動】老師播放視頻，展示同學們發現的身邊的橢圓.
【設計意圖】讓所有同學都參與到探究活動中來，尋找身邊的橢圓，直觀感受橢圓，體會橢圓與我們生活息息相關.拓展課堂的廣度與深度，充分發揮同學們的想象力和創造力.讓學生自己把自己帶入 課堂的探究中來.
問題5：同學們，剛才視頻中的圖形有些不是橢圓，只是給我們一種橢圓形的印象，那么什么樣的圖形是橢圓呢？它應該具有怎樣的幾何特征？我們先從畫橢圓開始研究吧.
【師生活動】要求所有同學在課下利用我們提供的工具畫一個橢圓，并請一個小組播放他們畫橢圓的視頻，在看視頻的過程中引導學生思考以下2個問題：
（1）在這一過程中移動的筆尖滿足的幾何條件是什么？
（2）若繩長不變，將兩個釘子的距離拉大，這個圖形會有什么變化？
【設計意圖】要求學生用給定的工具：圖釘、線繩繪制給定的橢圓，探究完成后，學生利用視頻分享研究成果，強化學生對橢圓幾何特征的認識，通過在課堂上引導學生由此抽象出橢圓的定義，培養學生數學抽象的核心素養，同時為下節課研究橢圓的離心率做鋪墊.
問題6：你能根據畫橢圓的過程試著給出橢圓的定義嗎？
【師生活動】學生嘗試給出橢圓的定義.在此基礎上，老師關注學生對定義中相關用語的表述：“平面內”“定點”“距離之和”“常數”“常數之和大于兩定點之間的距離”等的使用是否準確.同時明確當常數等于兩定點間的距離時，點的軌跡是線段，當常數小于兩定點間的距離時，點的軌跡不存在.在給出橢圓的概念的基礎上，教師再引導學生了解焦點、焦距、半焦距等概念.
【設計意圖】通過強化橢圓概念的抽象與建立過程，提高學生思維的嚴謹性與語言表達能力，同時讓學生獲得焦點、焦距等概念.
3．類比遷移，推導橢圓標準方程
問題7：給出橢圓的定義后，我們試著借助平面直角坐標系研究一下橢圓的方程.還記得前面我們求直線和圓的方程的大致步驟嗎?
【師生活動】通過提問，讓同學們回憶求直線和圓的方程的一般步驟，類比給出求橢圓方程的步驟.
【設計意圖】引導學生明確思維的方向，通過復習舊知，為求橢圓方程搭橋鋪路.
問題8：接下來我們類比求直線和圓軌跡方程的步驟，求一下橢圓的方程.那怎樣建立坐標系，才能使橢圓方程更簡單？
【師生活動】觀察橢圓發現它具有對稱性，并且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以以經過橢圓兩焦點
的直線為
軸，線段
的垂直平分線為
軸，建立直角坐標系.設點
，根據橢圓定義
，列出方程
.
問題9：觀察一下這個方程的特點，你能不能設計一條合理的計算路徑，來化簡這個方程？
【師生活動】引導學生先預測直接平方和先移項再平方兩種方案對后繼推導的影響，對于學生提到其它方案，鼓勵學生作對比研究 .
【設計意圖
】在開始化簡之前，先根據式子特點進行預測不同化簡方案對后繼推導的影響并選擇合理的化簡方案，提高學生的數學運算素養.
【師生活動】讓學生們親自動手去化簡橢圓方程，先獨立思考，遇到問題再小組討論，每個小組到白板上展示小組成果，全班分享有代表性的小組的化簡過程和結果.
【設計意圖
】一方面真實體會不同方案對后繼推導的影響，提高自己數學運算的素養.另一方面通過小組合作的形式突破難點，為后續雙曲線方程的化簡作好鋪墊.
問題10：剛才我們建立了橢圓的方程，實現了從形到數的轉化，現在同學們試著在橢圓上找出
表示的線段，看看能不能再次實現從數到形的轉化？
【師生活動】讓學生試著在橢圓上找出
表示的線段.
【設計意圖
】通過說明
的幾何意義，進一步解釋引進
的合理性，體會解析幾何的數形結合思想.
問題11：如果橢圓的焦點在
軸上，那么橢圓的方程又是什么?
【師生活動】學生先猜想，并討論猜想成立的依據.引導學生從形的角度猜想，也就是
軸
軸交換了一下，從數的角度進行證明，即從焦點在
軸上橢圓標準方程的推導過程中體會，焦點在
軸上的只是焦點坐標從
變為
，所以原始的方程只是從
變為
，所以只是將
和
交換了一下，從而得到了焦點在
軸上的橢圓的標準方程：
.接下來，讓學生對兩種方程進行對比分析，強化對橢圓兩種標準方程的理解.
【設計意圖
】首先讓學生根據形去猜想，再從數的角度類比焦點在
軸上方程的推導過程進行驗證，不僅使學生加深對橢圓定義和標準方程的理解，而且使學生體會類比的思想方法，為后面雙曲線、拋物線的學習打下基礎.
4．及時鞏固，解決典型問題
例1 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是
，并且橢圓經過點
，求它的標準方程.
【師生活動】學生獨立完成后，通過暢言智慧課堂提交，選取典型答案全班交流，由學生分享兩種不同的方法. 一種方法是根據橢圓定義，求點
到兩個焦點的距離之和，從而得到
，再根據
的關系求出
，從而求出標準方程.另一種方法是設橢圓的方程為
，將點
的坐標帶到入方程，再根據
的關系求出
，從而求出標準方程.
課堂測驗：
1.過點
且與橢圓
有相同焦點的橢圓方程為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.橢圓
的焦距為
，則
等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.如圖，
的頂點
在橢圓
上，頂點
是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在
邊上，則
的周長是 .
【師生活動】學生獨立完成，并通過暢言智慧課堂教學輔助系統提交，師生及時了解每個題的正答率，及時點評分析.
【設計意圖
】學生及時鞏固橢圓的定義及橢圓的標準方程，老師及時掌握學生對當堂課內容的落實程度，并及時作出評價和講解.其中第1題為了考查橢圓方程，第2題考查焦點在哪個坐標軸上的分類討論，第3題考查橢圓的定義.
5．回顧反思，布置課后作業
小結：
1．學生小結：通過這節課的學習，你對哪些知識或方法印象比較深刻？
2．老師小結：知識：(1)橢圓的定義；
(2)橢圓的標準方程.
方法: (1)坐標法；
(2)數形結合.
【師生活動】學生小結，讓學生總結經過這節課的學習收獲了哪些知識和方法；老師小結，通過畫橢圓抽象出了橢圓的定義，根據橢圓的定義建立了橢圓的標準方程，整個過程貫穿坐標法，而從橢圓到橢圓的方程是從形到數的過程，在橢圓上找出
表示的線段，再次實現從數到形的轉化，體現了數形結合的思想方法.
【設計意圖
】學生總結有利于提高學生學習的主動性，提升概括表達的能力；老師的總結，從知識和方法兩個層面引領學生回顧這節課的主要內容及研究問題的方法，達到深化知識理解，構建知識網絡，領悟思想方法的目的．
作業布置：
1．復習鞏固：
習題3.1 第1,2,6,7題.
2．拓廣探索：
探究下列式子的幾何意義：
【設計意圖】作業分復習鞏固作業與拓廣探索作業，落實基礎的同時，為學生發展自己提供更為廣闊的空間 .
習題3.1第1，2題考查橢圓的定義及標準方程，落實本節課的基本知識，第6題考查橢圓的定義，需要將幾何關系進行轉化，綜合性較強，恰好揭示了展示視頻中同學折出了一個橢圓的原理，實踐與理論相結合，能夠進一步激發同學們探索的興趣．第7題是一道實際應用的題目，讓學生能夠把課堂學到的知識應用到實際情景中，體現著解析幾何將實際問題轉化為數學問題，然后將數學問題轉化為方程的問題，通過方程的計算，再把結果轉化為實際問題的一般思路 .拓廣探索作業是將根據橢圓建立的方程變換一種形式，探索式子的幾何意義，再次實現從數到形的轉化，為后續學習奠定基礎 ．
