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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》天津—路
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天津—路景明—設(shè)計(jì)—空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師
課例展示活動(dòng)
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第一章 空間向量與立體幾何
第4單元 空間向量的應(yīng)用
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
（人民教育出版社 普通高中教科書A版 選擇性必修第一冊(cè)）
教 學(xué) 設(shè) 計(jì)
授課教師：天津市小站第一中學(xué) 路景明
2022年10月
《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容及內(nèi)容解析
1.內(nèi)容：用向量表示空間幾何中的點(diǎn)、直線和平面.
2.內(nèi)容解析：本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第一章第四節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，主要研究空間向量的應(yīng)用.從本章知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看,空間向量是空間中既有大小又有方向的量，直線的方向與空間向量的方向具有一致性，平面的方向能由與之垂直的向量確定，點(diǎn)的位置可由觀察基點(diǎn)與此點(diǎn)所構(gòu)成的空間向量表示，這樣空間向量可表示空間中點(diǎn)的位置，直線和平面的方向.根據(jù)其方向的特點(diǎn)，空間中的直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的相關(guān)問(wèn)題.對(duì)于“平行”與“垂直”兩種特殊的位置關(guān)系，以向量的運(yùn)算為工具，可證明空間中線面間的平行與垂直的關(guān)系，并能解決直線與平面、平面與平面和異面直線的夾角問(wèn)題.本單元的核心內(nèi)容是探求利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般方法：即先用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素，從而將立體圖形“向量化”；然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算,求得相應(yīng)結(jié)果；最后把空間向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.顯然，本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素是問(wèn)題解決的“基礎(chǔ)”，也是溝通向量方法與空間圖形的“橋梁”，空間向量的運(yùn)算是問(wèn)題解決的“核心”，用運(yùn)算結(jié)果解釋幾何結(jié)論是問(wèn)題解決的“歸宿”.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：用向量表示空間幾何中的點(diǎn)、直線和平面；利用向量共線定理、平面向量基本定理推導(dǎo)直線和平面的向量表達(dá)式以及求平面法向量的方法.
二、目標(biāo)及目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）能用向量語(yǔ)言描述點(diǎn)、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.
（2）初步了解立體幾何中的向量方法，通過(guò)建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，從幾何圖形到空間向量的轉(zhuǎn)換中進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是:
（1）能通過(guò)選取基點(diǎn)，確定點(diǎn)的位置向量；能通過(guò)向量知識(shí)和立體幾何初步知識(shí)推導(dǎo)出空間直線、平面的向量表示式；能根據(jù)給定的點(diǎn)及方向用向量表示直線；能根據(jù)給定的兩個(gè)不共線的方向向量，用向量表示平面；知道法向量能表示平面的原理，并能求一個(gè)平面的法向量.
（2）通過(guò)用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面等基本要素的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)用向量語(yǔ)言描述立體幾何問(wèn)題是利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的第一步，結(jié)合利用法向量表示平面的的推導(dǎo)過(guò)程，提升直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.已具備的認(rèn)知基礎(chǔ):學(xué)生在“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)能夠解決立體幾何中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系和度量問(wèn)題,學(xué)生經(jīng)歷過(guò)運(yùn)用平面向量解決平面幾何的問(wèn)題，自然能提出運(yùn)用空間向量解決立體幾何的問(wèn)題.
2.可能存在的認(rèn)知困難：本課學(xué)生屬于區(qū)級(jí)普通中學(xué)的高二學(xué)生，學(xué)生整體的邏輯推理能力和直觀想象的素養(yǎng)還處于發(fā)展階段,學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用向量法解決問(wèn)題的意識(shí)還不強(qiáng)，沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)到向量運(yùn)算的思想和方法蘊(yùn)含著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多特征，對(duì)于用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，對(duì)“三部曲”的第一步“建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題”缺少經(jīng)驗(yàn)和體會(huì).
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：用向量表示平面的推導(dǎo)過(guò)程.
突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：教學(xué)中，采用圖形語(yǔ)言——自然語(yǔ)言——向量語(yǔ)言過(guò)渡的表達(dá)形式，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，逐步建立用向量表示圖形中的點(diǎn)線面的方法。在推導(dǎo)過(guò)程中遇到的問(wèn)題，通過(guò)選擇教師搭建腳手架、小組合作探究解決.
四、教學(xué)策略分析
1.教法分析
結(jié)合本課時(shí)的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情分析，本節(jié)課主要采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)、問(wèn)題啟發(fā)、和“基于問(wèn)題鏈”的教學(xué)模式.本課時(shí)以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)為根本出發(fā)點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.類比平面向量學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)方法，探究空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示，獲得向量研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象的一般路徑,落實(shí)“四基”發(fā)展“四能”.
2.學(xué)法分析
學(xué)生主要采取自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)模式。在課堂教學(xué)中始終以學(xué)生為核心，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑，通過(guò)小組合作、交流分享，突破難點(diǎn).有效地提升學(xué)生的課堂參與度，提升學(xué)生的合作探究意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
課前準(zhǔn)備
引導(dǎo)語(yǔ)：
我們已經(jīng)把向量從平面推廣到了空間，在平面向量中，我們已經(jīng)掌握了用向量解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”.通過(guò)空間向量運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題，首先就是要將空間中的位置和方向表示清楚，即用向量語(yǔ)言來(lái)描述立體幾何問(wèn)題.即建立空間向量與幾何要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.
【設(shè)計(jì)意圖】向量從平面推廣到空間，既做了數(shù)學(xué)知識(shí)和工具上的準(zhǔn)備，也做了學(xué)習(xí)方法上的準(zhǔn)備.這里有一個(gè)提示作用：本節(jié)課就要是學(xué)會(huì)用向量語(yǔ)言來(lái)描述立體幾何問(wèn)題，即如何用向量表示空間的基本圖形.
1.明確內(nèi)容，聚焦問(wèn)題
問(wèn)題1：組成空間幾何圖形的基本元素是什么？
師生活動(dòng)：（1）點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.
（2）教師總結(jié)：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先就要學(xué)會(huì)用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.這是向量法的第一步，也是本節(jié)課的研究任務(wù).
【
設(shè)計(jì)意圖】明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.明確基本對(duì)象是點(diǎn)、直線和平面，研究的任務(wù)是對(duì)象的表示.
2.明晰任務(wù)，新知探究
問(wèn)題2：如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)
？
師生活動(dòng)：（1）學(xué)生獨(dú)立思考，回答問(wèn)題.點(diǎn)的表示，是相對(duì)位置，比如，教室中的一個(gè)物體，從教師視角，學(xué)生視角有不同的表示，然后抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。
（2）師生辨析學(xué)生結(jié)果，在幾何學(xué)中，通常用點(diǎn)來(lái)標(biāo)記位置，所以點(diǎn)就是位置的抽象化，引導(dǎo)學(xué)生確定點(diǎn)
的位置是相對(duì)某一參照物來(lái)說(shuō).參照物不同，空間點(diǎn)的相對(duì)位置也不同，代數(shù)表達(dá)也不同.
（3）教師總結(jié)：首先，在空間中取一定點(diǎn)
為“基”點(diǎn)；其次，空間中任意一點(diǎn)
的位置由向量
來(lái)表示,即點(diǎn)
的位置確定.因此，我們把向量
稱為點(diǎn)
的位置向量，如圖（1）.
【
設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)是位置的抽象，給定起點(diǎn)
,那么空間一個(gè)向量的終點(diǎn)
就和空間的一個(gè)位置
對(duì)應(yīng)，即確定了基點(diǎn)，向量與點(diǎn)就實(shí)現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng).用向量表示點(diǎn)，是用向量表示直線和平面的基礎(chǔ).另外，圖中的平面用于襯托立體感，這是用圖形語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)對(duì)象的需要.
小結(jié)：空間中點(diǎn)的向量表示
|
|
圖形語(yǔ)言 |
向量語(yǔ)言 |
空間中一點(diǎn) |
 |
|
問(wèn)題3：如何用向量表示空間中的直線？也就是如何用向量表示出直線上的任意一點(diǎn)？
教師追問(wèn)1：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先來(lái)回憶一下如何確定一條直線？
學(xué)生思考，得出結(jié)論：兩點(diǎn)確定一條直線，取定直線上兩點(diǎn)
，
可以確定直線的方向向量
.
教師追問(wèn)2：如果只給定方向向量
，能不能確定唯一的直線？
【
設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)，確定直線的要素：點(diǎn)與方向.即直線
可以由直線上一點(diǎn)
與方向向量唯一確定.
教師追問(wèn)3：如何用向量表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且以
為方向向量的直線
?
（1）引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：用向量表示直線，就是表示直線上的任意一點(diǎn).
（2）學(xué)生獨(dú)立思考，如有困難，鼓勵(lì)學(xué)生相互討論，教師巡視、點(diǎn)撥；明
確方法：利用直線
上一定點(diǎn)
和它的方向向量來(lái)表示直線上的任意一點(diǎn)
，如圖（2）.
教師總結(jié)：設(shè)點(diǎn)
為直線
上的一個(gè)定點(diǎn)，向量
是直線
的方向向量，如果直線
上取向量
等于向量
，此時(shí)對(duì)于直線
上的任意一點(diǎn)
，由向量共線的條件可知：
點(diǎn)
在直線
上的充要條件是存在實(shí)數(shù)
，使得
，即
.
教師追問(wèn)4：類比點(diǎn)的向量表示，直線的向量表示與所選基點(diǎn)有關(guān)，其表達(dá)方式固然有變化，如果我們選取空間中的任意一點(diǎn)
為基點(diǎn)，應(yīng)該如何表達(dá)這條直線？
師生活動(dòng)：（1）通過(guò)點(diǎn)的位置向量表示方法，引導(dǎo)學(xué)生理解基點(diǎn)的重要性；
鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立思考，解決問(wèn)題.
證明過(guò)程如下：進(jìn)一步地，取定空間中的任意一點(diǎn)
,如圖（3），
利用點(diǎn)的位置向量
來(lái)刻畫直線，將
分解成以
為起點(diǎn)的向量，
,即
，
點(diǎn)
在直線
上的充要條件是存在實(shí)數(shù)
,使
①
注意到,可得
②，由①可得②.
教師總結(jié)，取定空間中的任意一點(diǎn)
,點(diǎn)
在直線
上的充要條件是：
存在實(shí)數(shù)
,使
①，
②；
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.
由此可知,空間任意直線，由直線上一點(diǎn)
及直線的方向向量
唯一確定.
教師追問(wèn)5：當(dāng)字母
發(fā)生變化時(shí)會(huì)有什么變化？
得出結(jié)論：
表示與
共線的所有向量，
表示以
為起點(diǎn)，直線
上任意一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.再次驗(yàn)證，點(diǎn)
及直線的方向向量
不僅能確定直線的位置，還可以表示直線上的任意一點(diǎn).同時(shí)說(shuō)明直線的方向向量不唯一，直線上的任意兩點(diǎn)都可以確定直線的方向向量.
【
設(shè)計(jì)意圖】類比平面向量的研究方法研究空間向量，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中維數(shù)帶來(lái)的變化。引導(dǎo)學(xué)生利用共線定理尋找向量表示直線方法，讓學(xué)生體會(huì)利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，是平面向量解決平面幾何問(wèn)題的發(fā)展.學(xué)生在探究問(wèn)題的過(guò)程中體悟數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的直觀想象等核心素養(yǎng).
小結(jié)：空間中直線的向量表示
3.類比探究，研究平面
問(wèn)題4：如何用向量表示平面？
點(diǎn)和直線的向量表示我們并不陌生，在平面向量中已經(jīng)研究過(guò)，我們只是通過(guò)基點(diǎn)
將結(jié)論推廣到空間.那么如何用向量表示平面呢？
教師追問(wèn)：如何確定一個(gè)平面？
師生活動(dòng)：學(xué)生各抒己見，教師歸納總結(jié).類比空間中直線的向量表示的推導(dǎo)方法，請(qǐng)同學(xué)們自主探究平面的向量表示.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后分組開始討論交流；教師巡視、點(diǎn)撥；學(xué)生分享小組研究成果，多媒體展示，師生評(píng)價(jià)，梳理成果.
預(yù)設(shè)方案一：兩條相交直線確定一個(gè)平面.
教師追問(wèn)1：我們把兩條相交直線向量化，那自然會(huì)得到兩個(gè)不共線的方向向量。我們能否利用平面上一點(diǎn)以及兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示平面上的任意一點(diǎn)？
學(xué)生小組成果展示：兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，因此設(shè)兩條相交直線的交點(diǎn)為
，它們的方向向量分別為向量
和向量
，如圖（4）.
那么，由平面向量基本定理可以得到這個(gè)平面的任意一點(diǎn)
，
存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)
使得向量
，
教師總結(jié)：兩條相交直線確定一個(gè)平面，其實(shí)就是平面向量基本定理的幾何表現(xiàn).因此，點(diǎn)
與向量
和
，不僅可以表示平面
，還可以具體表示出
內(nèi)的任意一點(diǎn)；即給定一個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)定方向不僅可以定性的確定一個(gè)平面，而且可以定量地描述該平面.
【
設(shè)計(jì)意圖】類比直線的向量表示式的研究過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生合作探究，通過(guò)平面向量基本定理，寫出平面內(nèi)任意一點(diǎn)
的向量表達(dá)式；發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
教師追問(wèn)2：選擇
為基點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)
在平面內(nèi)時(shí)，平面內(nèi)任意一點(diǎn)
的位置向量是
，
當(dāng)
在平面外時(shí)，平面內(nèi)任意一點(diǎn)
的位置向量如何表示？
教師歸納結(jié)論：平面內(nèi)的任意一點(diǎn)
，存在實(shí)數(shù)
,使
，由平面向量運(yùn)算法則得，任取空間任意一點(diǎn)
，如圖（5），
分解向量
,于是，空間一點(diǎn)
位于平面ABC內(nèi)的充要條件是
存在實(shí)數(shù)
,使
③，
我們稱表達(dá)式③為空間平面ABC的向量表示式.
教師引導(dǎo)，從式子③可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實(shí)數(shù)
發(fā)生變化時(shí)，
表示平面ABC內(nèi)任意向量,
表示以
為起點(diǎn)，平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)
為終點(diǎn)的向量.所以，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.
【
設(shè)計(jì)意圖】類比空間直線的向量表示方法確定研究思路，在學(xué)生最近知識(shí)發(fā)展區(qū)完成知識(shí)架構(gòu)，整個(gè)過(guò)程都在圖形的輔助下進(jìn)行的，使學(xué)生體悟數(shù)形結(jié)合、類比歸納、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
預(yù)設(shè)方案二：類比空間中點(diǎn)、直線的向量表示方法,提出猜想、驗(yàn)證猜想.
觀察 |
點(diǎn) |
位置向量 |
空間中一點(diǎn) （1個(gè)條件） |
|
直線 |
|
直線上一定點(diǎn)加定方向（兩個(gè)條件） |
|
猜想 |
平面 |
 |
平面的向量表示是否需要三個(gè)條件？（平面上一個(gè)定點(diǎn)＋兩個(gè)不共線的方向來(lái)表示） |
驗(yàn)證猜想：將直線的共線向量
利用平面向量基本定理拓展到平面上的任意一條直線的
從而明確確定平面的幾何要素為平面內(nèi)一定點(diǎn)和兩個(gè)定方向，進(jìn)一步反向驗(yàn)證了思路一的解決方法.
預(yù)設(shè)方案三：能否用更少的條件，比如一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向來(lái)確定一個(gè)平面？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，通過(guò)討論，得出結(jié)論：過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線的平面是唯一確定的.即給定空間一點(diǎn)
和一條直線
，可以利用點(diǎn)
和直線
的方向向量來(lái)確定平面.
教師結(jié)論：法向量定義：直線
⊥
,取直線
的方向向量
,我們稱向量
為平面
的法向量.如圖（6）
教師追問(wèn)1：如何用向量表示過(guò)點(diǎn)
且以
為法向量的平面？
師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)，學(xué)生分析，表示平面就是表示平面上的任意一點(diǎn)
.由線面垂直的性質(zhì)定理可知，直線
垂直平面上的所有直線，我們?cè)谙蛄恐欣脭?shù)量積為零來(lái)刻畫垂直.
（2）教師給出結(jié)論：給定一個(gè)點(diǎn)
和一個(gè)向量
,那么過(guò)點(diǎn)
，且以向量
為法向量的平面,可以表示為集合
.
【
設(shè)計(jì)意圖】前面表示平面時(shí)需要三個(gè)條件:一點(diǎn)和兩個(gè)方向；引入法向量只需兩個(gè)條件：一點(diǎn)和一個(gè)方向，體現(xiàn)了求簡(jiǎn)求精的思想.
教師追問(wèn)2：平面的法向量是唯一的嗎？
學(xué)生回答預(yù)設(shè)1：法向量就是平面垂線所在的方向向量。因此法向量與平面內(nèi)的任一向量都垂直.我們知道直線的方向向量并不唯一，因此平面的法向量不唯一，他們都是互相平行的.
學(xué)生回答預(yù)設(shè)2：由直線和平面垂直的性質(zhì)定理可知，垂直于同一平面的兩直線平行，“由
得
”，和直線
和直線
的方向向量
。
【
設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注空間向量與立體幾何間的聯(lián)系.空間向量體系的建立需要立體幾何的基本知識(shí)，反過(guò)來(lái)，立體幾何中的問(wèn)題可以用向量方法來(lái)解決.通過(guò)追問(wèn)，學(xué)生能夠?qū)σ粋�(gè)平面的向量表示有更深刻的理解，當(dāng)一個(gè)平面確定后，其法向量有無(wú)限多個(gè)，為后續(xù)向量法解決立體幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).
小結(jié)：空間中平面的向量表示
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圖形語(yǔ)言 |
向量語(yǔ)言 |
平面 |
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平面 |
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平面 |
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教師追問(wèn)3：請(qǐng)你來(lái)評(píng)價(jià)一下以上三種平面的向量表示方法.
師生活動(dòng)：學(xué)生闡述觀點(diǎn)；教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用法向量表示平面的方便之處.
【
設(shè)計(jì)意圖】這幾種表示平面的方法的目的都是建立平面與向量的聯(lián)系，用向量表示平面，為通過(guò)向量運(yùn)算研究圖形的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)，表示方法各有特點(diǎn)：前兩個(gè)是充分運(yùn)用平面向量基本定理，通過(guò)向量的線性運(yùn)算表示平面；第三種是借助平面的法向量，通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示平面，對(duì)于平面而言，法向量是反映垂直方向最為直觀的表達(dá)形式，他既體現(xiàn)了幾何圖形直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫.
以上教學(xué)環(huán)節(jié)圍繞空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示，通過(guò)空間向量的運(yùn)算，構(gòu)建了一條問(wèn)題鏈.體現(xiàn)了“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的理念，把學(xué)生的思維活動(dòng)引向深處.
4.典例分析，實(shí)踐應(yīng)用
例1：如圖（7），在長(zhǎng)方體
中，
,
,
是
的中點(diǎn)
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)求直線
的方向向量
(2)求平面
的法向量
(3)求平面
的法向量.
分析：本題實(shí)際上是求解兩類問(wèn)題：一類是求直線的方向向量，另一類是求平面的法向量.求直線的方向向量，就是找到一個(gè)向量，滿足它所在的直線與已知直線平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一個(gè)向量，滿足它所在的直線與已知平面垂直.
師生活動(dòng)：（1）教師根據(jù)學(xué)生需要及時(shí)引導(dǎo)，尋找求得直線方向向量和平面法向量的方法，學(xué)生給與解答，教師點(diǎn)評(píng).
（2）教師進(jìn)行總結(jié)，結(jié)合本題引導(dǎo)學(xué)生歸納求解平面法向量一般步驟.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生能夠積極思考，向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟，給了學(xué)生解決問(wèn)題的一般套路，為后續(xù)向量的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)；發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
解析：（1）由題意可知
，
所以直線
的方向向量是
.
師生活動(dòng)：教師追問(wèn)1：直線
還有其他的方向向量嗎？
學(xué)生思考后，得出結(jié)論：與
共線的向量
、
都可以作為直線
的方向向量,并且它們都是共線向量.
（2）因?yàn)?img height="17" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image218.gif" width="15" />軸垂直于平面
，所以
是平面
的一個(gè)法向量.
教師追問(wèn)2：平面
還有其他的法向量嗎？
學(xué)生思考后，得出結(jié)論：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的特點(diǎn)，所以
，這樣，平面
的一個(gè)法向量是
、
、
、
都可以作為
的法向量，且這些法向量都是共線向量.
教師追問(wèn)3：從直觀上我們不能找到平面
的垂線，那么就不能直接寫出平面的法向量.那么此時(shí)我們?nèi)绾吻笃矫娴姆ㄏ蛄浚?br />
學(xué)生思考，教師引導(dǎo)，利用線面垂直的判定定理以及向量的運(yùn)算性質(zhì)求法向量.
（3）因?yàn)?img height="19" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image240.gif" width="109" />,
,
是
的中點(diǎn)，所以,
，
，
，所以
,
設(shè)
是
的法向量，則
所以，則
所以
取
,得
∴
于是
是平面
的一個(gè)法向量.
師生活動(dòng)：總結(jié)求平面的法向量的步驟
①設(shè)平面的法向量
②找出（求出）平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)
，
；
③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于
的方程組
④解方程組，取其中一組解，即得平面法向量.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)例題1的探究，總結(jié)求平面法向量的具體方法，加深學(xué)生對(duì)方向向量和法向量的理解，同時(shí)為后續(xù)研究直線、平面間的位置關(guān)系和度量等問(wèn)題做準(zhǔn)備，需要注意的是，平面的法向量并不唯一，與具體問(wèn)題背景結(jié)合時(shí)，可以利用向量的“自由性”，根據(jù)問(wèn)題的條件靈活確定表示法向量的有向線段；通過(guò)解方程組求法向量時(shí)，可以對(duì)參數(shù)適當(dāng)取值，求出平面的一個(gè)法向量即可.
5.拓展練習(xí)、目標(biāo)檢測(cè)
在例1的基礎(chǔ)上，求平面
的法向量.
師生活動(dòng) ：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，點(diǎn)撥。學(xué)生代表展示結(jié)果.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)題目訓(xùn)練，鞏固直線的方向向量及平面法向量的求解方法，加深對(duì)兩個(gè)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
6.梳理歸納，感悟本質(zhì)
問(wèn)題1：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，對(duì)本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)：
（1）用向量表示點(diǎn)：向量
叫做點(diǎn)
的位置向量
（2）直線的向量表示式：
或者
（3）用向量表示平面：
或者
,其中
是平面的法向量
（4）求直線的方向向量和平面法向量的方法；同一條直線的方向向量有無(wú)窮多個(gè)，他們互相平行；同一平面的法向量有無(wú)窮多個(gè)，他們互相平.
（5）求平面的法向量的步驟
①設(shè)平面的法向量
②找出（求出）平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)
，
；
③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于
的方程組
④解方程組，取其中一組解，即得平面法向量
問(wèn)題2：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些解決問(wèn)題的方法？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，對(duì)本節(jié)課的思想方法進(jìn)行總結(jié)：
點(diǎn)、直線、平面的向量表示他們的研究方法是一樣的，例如平面的推導(dǎo)方法就是類比直線的推導(dǎo)過(guò)程，從幾何知識(shí)出發(fā)，需要借助空間中的一個(gè)基點(diǎn)來(lái)表示.通過(guò)選定基點(diǎn)
，更加方便我們從空間去表示點(diǎn)線面的位置和方向.
教師總結(jié)：本節(jié)課的地位和作用
通過(guò)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，并深入研究了直線的方向向量和平面的法向量的求法.理解參照系的作用，體會(huì)“位置”、“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎(chǔ)地位.為我們利用空間向量的運(yùn)算，研究空間直線、平面間的位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問(wèn)題提供了工具.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)向量表示空間內(nèi)點(diǎn)、直線、平面的研究方法，形成將確定空間直線、平面的條件“向量化”的一般觀念.通過(guò)此活動(dòng)體驗(yàn)，獲得向量研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象的一般路徑,落實(shí)“四基”發(fā)展“四能”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
7.布置作業(yè)，鞏固所學(xué)
教科書
，練習(xí)第1，2，3題
課堂目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
A組（基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)）
1.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB( )
A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行
C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交
2.若平面α∥β,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是( )
A.
=(1,2,3),
=(-3,2,1) B.
=(1,2,2),
=(-2,2,1)
C.
=(1,1,1),
=(-2,2,1) D.
=(1,1,1),
=(-2,-2,-2)
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
B組（能力提升）
1.如圖（8），在三棱錐A-BCD中，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AE上，且EF=2FA．
設(shè)
，
，
，求直線AE、BF的方向向量．
2如圖（9），在直三棱柱
中，
.以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
①求平面
的法向量；②求平面
的法向量.
【設(shè)計(jì)意圖】考察求直線方向向量和平面法向量的能力.
C組（拓展探究）
思考題：空間向量由平面向量推廣而來(lái)，空間向量與平面向量有許多共同性質(zhì)。如果我們把平面看成二維空間，把普通的空間看成三維空間，我們能不能把向量的概念推廣到四維“空間”呢？他們是否也與平面向量、空間向量有許多共同的性質(zhì)？
【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分層布置，力求讓不同基礎(chǔ)的學(xué)生都擁有成功學(xué)習(xí)的體驗(yàn).必做題主要考查學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)的掌握情況，檢查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，實(shí)踐作業(yè)的設(shè)置是為了讓學(xué)生體驗(yàn)如何檢索、搜集資料進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這是本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的提高與拓展，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
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