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視頻標簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課大賽《一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計》山東—孟

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山東—孟祥峰—設(shè)計—一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計

• 教學內(nèi)容解析

1. “一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計”是人民教育出版社A版《普通高中教科書選擇性必修第三冊》第8章“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”第2節(jié)的內(nèi)容，是統(tǒng)計思想方法在實際生活中的典型應(yīng)用案例。本節(jié)內(nèi)容滲透了數(shù)學建模與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想方法，在具體方法上有觀察法、主元、消元等。本節(jié)課的教學重點是一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計和利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析。
2 . 本節(jié)內(nèi)容是在學習了“一元線性回歸模型”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對一元線性回歸模型參數(shù)進行估計，并對模型的刻畫效果進行檢驗，是后續(xù)非線性回歸模型學習的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容可以看作一元線性回歸模型的下位學習，非線性回歸模型的上位學習。
3.本節(jié)教學過程呈現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的特點。在學習過程中讓學生體會最小二乘的思想，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗。圍繞“兒子身高與父親身高的關(guān)系”這個案例，完整呈現(xiàn)了從直觀尋找與散點整體接近的直線，到用豎直距離刻畫散點與直線的“距離”，再到用定量刻畫整體接近的程度，最后得到參數(shù)估計的數(shù)學化過程。對建立的模型進行應(yīng)用是利用數(shù)學建模解決實際問題的一個重要環(huán)節(jié)，教學中通過“兒子身高與父親身高的關(guān)系”這個案例，利用經(jīng)驗回歸方程進行預測，并對結(jié)果進行合理解釋，進而進一步介紹殘差分析的方法，據(jù)此對模型進行評價和改進。學會使用統(tǒng)計軟件是統(tǒng)計學習的重要環(huán)節(jié)，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版 2020年修訂）》對此也提出了要求。本節(jié)內(nèi)容還滲透統(tǒng)計軟件的學習使用，讓學生初步學習使用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析，注重與信息技術(shù)的融合，提高學生的信息素養(yǎng)，進一步發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。
二、教學目標設(shè)置                                                    
統(tǒng)計學習不應(yīng)只是記住一些概念、公式或方法實施的操作步驟，更重要的是了解概念和方法產(chǎn)生的必要性，以及方法的合理性，了解統(tǒng)計研究問題的思路和特點，進而學會用統(tǒng)計的眼光看問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。
依據(jù)“課程目標——單元目標——課堂教學目標”設(shè)置本節(jié)課的教學目標如下：
1.通過小組合作探究問題：“從直觀感知與散點在整體上最接近的直線”，學生了解解決這一問題的各種思路，并能判斷可行性。
2.通過類比物理中力的分解，學生明白“用豎直距離刻畫樣本點與直線最接近”這一問題的原因。
    3. 圍繞“求解構(gòu)建的數(shù)學模型的最值問題”，通過層層遞進的問題串引領(lǐng)，學生明白求解雙變量問題最值的基本方法——消元、主元；通過詳細解答過程的投影，學生基本掌握運算過程，掌握運算法則。
4. 通過信息技術(shù)與數(shù)學教育教學的深度融合，學生學會使用統(tǒng)計軟件。
5. 通過觀測數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)的不同，學生理解殘差分析的必要性和合理性，認識統(tǒng)計方法的特點（如統(tǒng)計推斷可能犯錯誤，估計結(jié)果具有隨機性），體會統(tǒng)計結(jié)論的好與壞。
6.通過數(shù)據(jù)收集、錄入、整理，學生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理的全過程，掌握基本數(shù)據(jù)分析方法，理解數(shù)據(jù)分析的思路，學會運用所學知識解決實際問題，嘗試使用統(tǒng)計軟件。
7.通過改編詩，呈現(xiàn)本節(jié)課的要點，學生加深對本節(jié)課的印象，鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容。
8.通過貼近學生生活的案例探究作業(yè)，學生進一步掌握統(tǒng)計思想的應(yīng)用，熟悉統(tǒng)計軟件的使用。
三、學生學情分析
學習過程是知識不斷重建的過程，這一過程必須以學生原有的認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，加強與學生已有知識和能力的聯(lián)系，既可以幫助學生理解新知識，又有利于學生能力的發(fā)展。 根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“一元線性回歸模型”的內(nèi)容及要求，學生學情分析如下:
1.學生原有認知基礎(chǔ)
學生在初中已經(jīng)初步建立了統(tǒng)計觀念，在高中必修課程中，進一步學習了數(shù)據(jù)分析的方法和思路，逐步建立起了“獲取數(shù)據(jù)——分析數(shù)據(jù)——解釋問題”的解決問題的模式，能夠較好地把握數(shù)據(jù)分析的基本思路與思想，初步具備了求和符號運算能力，了解了絕對值轉(zhuǎn)化為平方的“二乘”思想方法，學生對計算機操作有一定的基礎(chǔ)。
2.學生學習時可能遇到的困難
困難點1：在直觀感知線性相關(guān)的基礎(chǔ)上，尋找與散點整體最接近的直線。學生已經(jīng)學習了線性相關(guān)與統(tǒng)計的有關(guān)知識，學生通過努力可以解決困難。因此教師提出問題，學生采用小組討論的方式，集思廣益，并對每種思路的可行性繼續(xù)進行討論，力求突破難點。
困難點2：如何用數(shù)學語言刻畫樣本點與直線最接近？學生的第一反應(yīng)是用點到直線的距離，如何引導學生使用豎直距離進行刻畫是本節(jié)課的又一難點。可以類比物理中力的分解，引導學生理解用水平距離和豎直距離也是等價的，而由于隨機誤差的存在，使點在豎直方向上“偏離”了直線，因此用豎直距離刻畫更直接有效，成功突破難點。
困難點3：建立函數(shù)模型后，求最小值是學生面臨的又一個難點。通過引導學生回憶處理雙變量問題的基本方法，與學生的已有知識、技能相結(jié)合，突破難點。
基于以上分析，本節(jié)課的教學難點為：用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”和參數(shù)最小二乘估計公式的推導。
四、教學策略分析
為提高教學質(zhì)量和效益，根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“一元線性回歸模型”的內(nèi)容及要求，結(jié)合學生的實際情況，擬定教學策略如下：
1.采用小組討論的方法，解決“如何找到一條適當?shù)闹本�，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近”這一問題。對此問題學生可能無從下手，充分發(fā)揮學生的主體作用，采用獨立思考與合作探究等方式，實現(xiàn)對問題的多角度探究，提高課堂的效率和質(zhì)量。
2.通過類比物理中力的分解，解決“為什么用豎直距離刻畫樣本點與直線最接近”這一問題，滲透多學科融合的理念，從而突破難點。
3.通過在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置層層遞進的問題串，從而解決“將實際問題建立數(shù)學模型后，通過數(shù)學運算求解最值”的難點。通過教師講解并投影詳細解答過程，增強學生對運算的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)。
4.通過信息技術(shù)與數(shù)學教育教學的深度融合，使學生學會使用統(tǒng)計軟件。通過數(shù)據(jù)收集、錄入、整理，讓學生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理的全過程，學會數(shù)據(jù)分析方法，理解數(shù)據(jù)分析的思路；讓學生運用所學知識解決實際問題，體會統(tǒng)計的作用，強化統(tǒng)計軟件的使用，加強學生的課堂體檢，體會信息技術(shù)在數(shù)據(jù)處理中的優(yōu)越性。通過學生操作軟件呈現(xiàn)學生對概念知識的理解與應(yīng)用。
5.通過改編詩，將本節(jié)課的要點呈現(xiàn)，加深學生的對本節(jié)課的印象，起到強化鞏固的作用。
6.通過分類布置作業(yè)，選做作業(yè)貼近學生生活，適當增加了探究性和綜合性，既能激發(fā)學生的學習興趣，又能加強學生統(tǒng)計思想的應(yīng)用，提高數(shù)據(jù)分析的能力，熟悉統(tǒng)計軟件的使用。
五、教學過程設(shè)計
教學設(shè)計說明：為達到教學過程、知識的發(fā)展過程和學生的思維過程三者的協(xié)調(diào)同步，本節(jié)課的教學過程設(shè)計注重學生的學習體驗，注重學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本節(jié)課的教學流程圖如下：    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

環(huán)節(jié)	教學活動	學習評價		設(shè)計意圖
復習舊知    引入課題	上節(jié)課我們學習了一元線性回歸模型，請同學們回憶一下：父親身高與兒子身高相關(guān)嗎？正相關(guān)還是負相關(guān)？線性相關(guān)嗎？ 由于兩個變量之間具有較強的線性相關(guān)性，為此我們建立了一元線性回歸模型其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量，是與之間的隨機誤差，隨機誤差假設(shè)為：零期望、定方差。	評價者：教師 如何評價：教師投影展示父子身高數(shù)據(jù)表和散點圖，學生共同回答相關(guān)問題，教師補充； 評價什么：學生回答是否正確。		通過復習舊知調(diào)動學生已有的相關(guān)知識，激發(fā)學生的學習興趣，引入本節(jié)課的課題。
環(huán)節(jié)	教學活動	學習評價		設(shè)計意圖
問題引領(lǐng)    探究新知	問題1：如何找到一條適當?shù)闹本�，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近。請同學以小組為單位想一想、畫一畫、議一議。                     追問：請同學們繼續(xù)以小組為單位對上述思路進行可行性分析。             問題2：如何刻畫和直線的“距離” ？     追問：三個距離等效的情況下，選擇哪一個作為解題的依據(jù)？                             問題3：從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學的語言刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”         問題4：絕對值使得計算不方便，有沒有改進方法？         問題5：最小時和的值，可以作為斜率和截距的估計值。如何求其最小值？ 追問：有幾個變量？雙變量的一般處理方法有哪些？可采取哪種方法？消元法的關(guān)鍵是什么？       問題6：大家觀察一元線性回歸模型，有沒有可以利用的條件？               問題7：由你能想到什么？                   問題8：    怎么處理？                 追問：主元思想是否可以解決？	評價者：教師、生生 如何評價：小組活動時生生之間評價，小組代表展示時教師點評； 評價什么：學生從不同角度提出解決問題的思路，學生是否積極思考的態(tài)度。       評價者：教師、學生、生生 如何評價：小組活動時生生評價，學生代表對可行性進行分析時，學生補充糾正，教師總結(jié)并投影展示； 評價什么：每種思路的可行性。   評價者：教師、學生 如何評價：在用“點到直線的距離”進行刻畫的基礎(chǔ)上，引導學生類比物理力的分解將距離分解為水平距離和豎直距離，引導學生思考三個距離之間的關(guān)系，并由學生補充，教師總結(jié)完善 評價什么： 1．有哪些刻畫二者之間“距離”的方法； 2．三個“距離”刻畫效果的關(guān)系； 3．選擇哪個作為解題依據(jù)的理由。 評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生補充，教師投影展示； 評價什么：數(shù)學語言的規(guī)范性，對問題刻畫的準確性。   評價者：教師 如何評價：學生集體回答，教師投影展示； 評價什么：學生的知識遷移能力。   評價者：教師，學生 如何評價：教師投影展示表達式，并進行分析，學生回答，學生補充，教師提示總結(jié)提升； 評價什么： 雙變量問題的不同處理方法。     評價者：教師 如何評價：教師投影展示模型，學生回答； 評價什么：哪個條件可以利用及其理由。 評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生糾正補充，教師投影展示，形成問題解答； 評價什么：平均數(shù)的變形應(yīng)用、加和符號的運算。   評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生糾正補充，教師投影展示； 評價什么：因式分解的方法、平方的展開公式、二次函數(shù)最值的求法、書寫的規(guī)范性。 評價者：教師、生生 如何評價：學生獨立思考，小組討論交流時生生評價，學生代表回答時，學生糾正補充，教師投影展示； 評價什么：以哪個變量作為主元及其理由，運算的正確性。		學生經(jīng)歷提出問題、分析問題的過程，學生在獨自思考中進步，在思維碰撞中成長。通過同學之間的相互討論，體會統(tǒng)計方法的合理性，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)處理能力。                         在學生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出問題，使學生既能面對適度的學習困難，又能保持足夠的學習興趣，提高學生數(shù)學思維的參與度。類比物理中里的分解進行學科間知識遷移，成功突破難點。                 讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學模型建立過程，提升學生的數(shù)學建模能力。由單個點上升到整體，保持了知識的連貫性、思想方法的一致性。   在必修課程方差的學習中，學生對于此類問題的轉(zhuǎn)化與化歸具有了一定的經(jīng)驗，符合學生的最近發(fā)展區(qū)。   通過層層遞進的問題串，幫助學生逐步學會思考，成功進行知識技能的遷移,使知識和思想方法得到螺旋式的鞏固和提高。   從要解決的問題出發(fā)，從模型出發(fā)，引導學生要從根源上尋找問題的解決之道。 根據(jù)學生的思維規(guī)律，設(shè)置層層遞進的“問題串”，引導學生的數(shù)學思維活動，降低思維難度，幫助學生學會思考，成功突破難點。     提高學生思維的遷移能力，加強學生對加和運算符號的認識與理解，進一步鞏固學生的數(shù)學運算能力，使數(shù)學思想方法得到進一步的鞏固和提高。
環(huán)節(jié)	教學活動	學習評價		設(shè)計意圖
遷移應(yīng)用    鞏固新知	問題9：利用軟件求得兒子身高關(guān)于父親身高的經(jīng)驗回歸方程為 ，結(jié)合方程思考并回答以下問題： （1）根據(jù)模型，如果一位父親的身高為176cm，預測他兒子長大成人后的身高（保留整數(shù)）？ （2）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距，高個子的父親一定生高個子的兒子嗎？矮個子的父親一定生矮個子的兒子嗎？ （3）根據(jù)模型，由你父親的身高估計你的身高，預測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)是否符合？若不符合，請說明理由。   問題10：以“父子身高關(guān)系”為例，你能通過殘差分析判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果嗎？	評價者：教師、學生 如何評價：教師展示如何用統(tǒng)計軟件excel求經(jīng)驗回歸方程，學生獨立完成問題（1），學生思考并回答問題（2），教師展示高爾頓釘板實驗，學生完成問題（3）并說明理由,教師引出殘差分析的必要性并投影展示； 評價什么： 學生運算的速度及準確性、學生對經(jīng)驗回歸方程的理解。       評價者：教師、學生 如何評價：教師展示用excel表格計算殘差，生成殘差圖，學生思考回答，學生補充，教師總結(jié)提升； 評價什么：如何通過殘差圖判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果。		加強信息技術(shù)與數(shù)學教育教學的深度融合，使用信息技術(shù)組織教學資源，讓學生學會使用統(tǒng)計軟件，將學生從機械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來，把更多經(jīng)歷集中于統(tǒng)計概念和方法的理解，從而提高學習效率。通過實驗展示，讓學生將理論與實踐相結(jié)合，加深學生的理解認知。     強化統(tǒng)計軟件的使用，加強學生的數(shù)據(jù)分析能力，學生能夠通過殘差分析判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果。
環(huán)節(jié)	教學活動		學習評價	設(shè)計意圖
情境創(chuàng)設(shè)   應(yīng)用新知	做一做： 收集部分男（女）同學的鞋碼和身高，畫出散點圖，直觀感知鞋碼和身高是否符合一元線性回歸模型。若符合，求出經(jīng)驗回歸方程，并通過殘差圖判斷效果。若不符合，請說明理由。		評價者：教師、學生 如何評價：收集部分男同學的鞋碼，學生錄入并生成散點圖，求出經(jīng)驗回歸方程、殘差圖； 評價什么： 對統(tǒng)計軟件的使用、對一元線性回歸模型的判斷、殘差的定義，殘差分析。	通過選擇貼近學生實際的典型案例，使學生置身于案例中。通過數(shù)據(jù)收集、錄入、整理，讓學生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理的全過程，學會數(shù)據(jù)分析方法，理解數(shù)據(jù)分析的思路，讓學生運用所學知識解決實際問題，體會統(tǒng)計的作用，強化統(tǒng)計軟件的使用，加強學生的課堂體檢。
環(huán)節(jié)	教學活動		學習評價	設(shè)計意圖
課堂回顧   要點小結(jié)	請總結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容。   《青玉案·回歸》， 分析決策有良方， 最小二乘來幫忙. 眾里尋他千百度， 驀然回首， 消元主元， 回歸線過樣本中心處.		評價者：教師、學生 如何評價：學生總結(jié)補充，教師投影展示并展示改編詩； 評價什么：本節(jié)課的主要內(nèi)容、主要思想方法。	從知識、方法、思想幾個角度進行總結(jié)，積累經(jīng)驗，促進學生反思生活、感悟思想、提升素養(yǎng)；通過改編詩，將本節(jié)課的要點呈現(xiàn)，加深學生的對本節(jié)課的印象，起到強化鞏固的作用。
目標	學習活動		學習評價	設(shè)計意圖
分類提升   作業(yè)布置	必做：教科書113頁1，2，3，4，習題8.2第2題； 選做：以小組為單位，研究數(shù)學成績、物理成績、化學成績兩兩之間是相關(guān)的嗎？哪兩個學科之間相關(guān)性更大？語文成績對數(shù)學成績有影響嗎？		評價者：教師、生生 如何評價：教師進行書面作業(yè)批改，學生進行小組探究； 評價內(nèi)容：對經(jīng)驗回歸方程等的理解、對統(tǒng)計軟件的使用。	分類布置作業(yè)，選做作業(yè)貼近學生生活，適當增加了探究性和綜合性，既能激發(fā)學生的學習興趣，又能加強學生統(tǒng)計思想的應(yīng)用、數(shù)據(jù)分析的能力、統(tǒng)計軟件的使用。

六、板書設(shè)計

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計                                              公式       公式推導過程

七、教后反思
本節(jié)課通過問題引領(lǐng)的形式引領(lǐng)學生對一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計進行探究和深入理解，較好地突出了教學重點，突破教學難點。
在探究新知環(huán)節(jié)，通過八大問題以及若干個小問題，引領(lǐng)學生采用個人思考、小組討論、代表展示等方式解決問題，培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過選擇貼近學生實際的典型案例，使學生置身其中，經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，經(jīng)歷運用所學知識解決實際問題，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，通過詩詞改編，完整呈現(xiàn)本節(jié)課要點，加深學生的對本節(jié)課的印象，起到強化鞏固的作用。在作業(yè)布置環(huán)節(jié)，通過選擇貼近學生生活的案例作為作業(yè)，適當增加了探究性和綜合性，既能激發(fā)學生的學習興趣，又能加強學生統(tǒng)計思想的應(yīng)用、數(shù)據(jù)分析的能力、統(tǒng)計軟件的使用。
本節(jié)課的亮點主要有以下幾點：
1.在求解最小值的過程中，引導學生使用求解雙變量問題的常規(guī)方法，使問題得到解決的同時也讓學生明白了數(shù)學思想方法的一致性；
2．借用模型讓學生估算自己與父親的身高，擬合效果不佳的原因有一部分是因為父母生活的不容易，讓學生懂得感恩父母；通過創(chuàng)設(shè)貼合學生實際生活的案例，使學生置身于案例中深入理解數(shù)據(jù)分析的思路，體會統(tǒng)計的作用；
3．總結(jié)時通過改編詩，加深學生對課堂知識的印象；課后開放性作業(yè)，選擇學生感興趣的內(nèi)容，成功將課堂延伸到課下。
由于時間比較緊張，公式推導過程沒有給學生充分的時間進行數(shù)學運算，課下可以繼續(xù)進行研究。
 

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• (10-15)·第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課課例

• (10-19)·第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課大賽
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