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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《基本不等式》四川—游
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四川—游婷—設計—基本不等式
基本不等式（第1課時）
（人民教育出版社普通高中教科書A版（2019）數學必修第一冊第二章第二節）
四川省綿陽中學 游婷
一、內容和內容解析
1.內容
基本不等式的定義、證明和幾何解釋；基本不等式求最值的兩種模型及其在數學中的簡單應用.
2.內容解析
教材通過對重要不等式 ＋ ≥ 的字母代換，得到了基本不等式，揭示了這兩個不等式的聯系.通過進一步研究如何利用不等式的性質進行證明引入分析法，為培養高中階段學生的邏輯推理能力提供了更豐富的策略.教材通過探究活動研究基本不等式的幾何背景，尋求它的幾何解釋，動態地展示了基本不等式中“不等”到“相等”的轉化過程.以上設計能夠引導學生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個角度認識基本不等式，加深學生對基本不等式的理解. 教材例1和例2是基本不等式在數學中的應用，例2的題干給出的基本不等式的數學模型，揭示了基本不等式可以解決的兩類最值問題，為利用基本不等式解決實際問題（例3，4）埋下伏筆.
（1）內容的本質
基本不等式的結構特點是：當 0時，有 ≤ ，當且僅當 ＝ 時等號成立.從運算角度來看， 是兩個正數 的“算術平均數”， 是兩個正數 的“幾何平均數”,基本不等式刻畫了兩個正數在運算中出現的大小關系的變化規律，是“運算中的不變性和規律性”，是不等式性質的一個特例.從代數角度來看，基本不等式在完全平方公式 ≥0的基礎上進行代數變形而成，正好也體現了代數學中數系數系結構和各種公式的構造特點（逐步歸納、復合構造），學生從中體會到構造新公式的手段和方法.從幾何角度來看，基本不等式刻畫了“周長相等的矩形中，正方形的面積最大” “等圓中，弦長不大于直徑”等現象，它們即是基本不等式在幾何基本圖形中的體現，也是基本不等式的直觀解釋.從數列的角度來看，基本不等式描述了兩個正數的等差中項、等比中項及其關系，這也是基本不等式的一個代數模型解釋，只是要隨著學生學習的深入不斷補充、完善.
（2）知識的上下位關系
相等關系與不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎. 基本不等式是不等關系中一種特殊、重要且基本的表現形式，有多種有意義的變式，可以聯系很多領域，在數學內外都有廣泛應用，是非常重要且基本的內容，它可以作為不等式理論的基本定理，成為支撐其他許多重要結果的基石，是解決許多最值問題的工具.
（3）蘊含的思想方法及育人價值
在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量、轉化與化歸，以及數形結合、數學模型等思想方法.因此，基本不等式內容可以培養學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算和數學建模等核心素養.
根據上述教學內容的分析，按照課程標準要求，確定本節課的教學重點為：
教學重點
掌握基本不等式的結構特點、代數證明和幾何意義；能用基本不等式解決簡單的最值問題.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）從情境中發現、探索并證明基本不等式 ≤ ，探究基本不等式的幾何解釋，體會數形結合的思想，發展學生的直觀想象、數學抽象能力，提升數學運算、邏輯推理素養.
（2）結合具體典例，掌握用基本不等式解決簡單的最值問題的基本方法，體會特殊到一般的思想，提升數學運算、數學建模素養.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）能將重要不等式 ＋ ≥ 進行變形獲得基本不等式；知道基本不等式的結構特點，其實質就是“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”；會利用不等式的性質采用“分析法”證明基本不等式；能借助“圓中弦長與直徑的關系”的幾何模型進行幾何解釋.
（2）能結合具體典例，明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型求最大值或最小值；在解決具體問題的過程中，體會基本不等式的作用與力量，發展邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.
三、教學問題診斷分析
由于學生缺少代數式證明的經驗，所以基本不等式的證明是本節課的一個難點.基本不等式的幾何解釋也是學生不容易想到的，需要數形結合地去理解，所以這也是本節課的一個難點.
此外，在利用基本不等式研究最值問題時，學生容易出現忽視使用條件，不驗證等號是否成立，甚至出現沒有確認和或積為定值就求最值等問題，這也是學生思維不夠嚴謹的表現，因此利用基本不等式求最值也是本節課的難點.
根據學生的學習實際，基于上述分析，確定本節課的教學難點為：
教學難點
1.用分析法證明基本不等式；
2.構建幾何圖形探究基本不等式的幾何解釋；
3.以數學模型的觀點理解基本不等式，用其解決兩類最值問題.
四、教學支持條件分析
1.在主導思想上
本節課依據“教評學一致性”的理念進行課堂教學設計，實施目標導引教學.基于學習目標創設學習問題，激發學習興趣；基于目標設計與之匹配的評價設計和教學方案，引導學生主動參與學習過程，動手動腦動口.在學習過程中鍛煉理性思考能力和批判性思維.
2.在內容上
（1）對于基本不等式的證明這一難點，通過分析探究、交流合作、小組展 示、師生釋疑等環節，設計環環相扣的問題鏈，引導學生深入討論、理性思考.
（2）在進行基本不等式的幾何解釋的教學時，為了幫助學生直觀地觀察圖形中幾何元素之間的動態關系，并將其轉化為代數表示，利用幾何畫板制作了一個動態圖形，以幫助學生直觀理解.
（3）對于利用基本不等式求最值這一難點，設計貼近學生最近發展區的變式練習，并讓學生自己嘗試對代數式進行變式，加深對能利用基本不等式求最值的代數式結構的理解.同時借助信息技術（多媒體課件、希沃白板），實時展現學生的思維過程，對錯誤進行“賞析”，在師生互動、生生互動中逐步突破難點.
五、教學過程設計
環節一 復習回顧,引入課題
引導語 我們以前在代數式的化簡、運算及因式分解中常常會用到兩個重要的乘法公式： .
那么，在研究不等式的性質后，是否也有一些特殊不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的基礎性、工具性作用呢？今天我們就來研究這個問題.
【設計意圖】從整體單元入手明確研究對象（特殊不等式），構建新舊知識的聯系，清楚新知識的作用（和以前乘法公式一樣，具有數學模型的力量）.
環節二 抽象概念,內涵解析
1.基本不等式的定義
引入 在不等式第一節的學習中，我們利用完全平方差公式得出了一類重要不等式：
＋ ≥ （當且僅當𝑎＝𝑏時，等號成立）.
問題1 在代數研究中，通過對已有代數式變形可以獲得新的代數式，這是一個充滿驚喜的過程！如果 0，我們用 分別代替上式中的 可以得到怎樣的式子？
師生活動預設 學生獨立計算后回答：對于 0，得到
≥ 教師引導：由此我們從式的運算關系得到了數的運算關系.將此式變形得到
≤ ，當且僅當 時，等號成立，通常我們稱此不等式為基本不等式. 其中 叫做正數 的算術平均數， 叫做正數 的幾何平均數.基本不等式表明兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數.
【設計意圖】學生能從探索過程獲知，基本不等式是重要不等式的特殊形式，建立新舊知識的聯系，為不等式的學習提供可參考的對象.通過分析基本不等式的代數結構特征，得到基本不等式的代數解釋，加深對基本不等式的認識.
2.基本不等式的證明
問題2 你能證明基本不等式嗎？（
≤ ）
師生活動預設 學生可能根據兩個實數大小關系的基本事實，用作差比較法證明上式.學生可能從 ≥0出發證明基本不等式.教師給與贊許并投屏展示學生的證明過程.教師引導：從已知出發進行推證是一種常用的證明方法.當從已知出發進行推證比較困難時，我們也可以換一種思路.請同學們翻到教材第44頁并認真閱讀.然后通過思考的問題引導學生.
思考（1） 回顧“充分條件與必要條件”中的相關知識，談一談你對“要證……，只要證……”的理解.
師生活動預設 在學生回答的基礎上，教師明確指出：“只要證的內容”是“要證內容”成立的充分條件.
思考（2） 在獲得顯然成立的⑤式
≥0后，為什么就可以斷定最前面的基本不等式成立？
師生活動預設 有了思考（1），以學生自我表達做鋪墊，學生思考交流后可以發現：從“顯然成立”出發，一步步倒推，且每一步都是正確的，即⑤ ④， ④ ③，③ ②，② ①.
教師總結 把教材的過程倒過來就是同學剛才展示的方法.我們把這種從已知出發進行推證的方法叫綜合法，將從要證的結論出發，逐步尋求使其成立的充分條件的證明方法叫分析法.注意：在書寫表達時每一步都要加以文字說明“要證……，只要證……”，直到“顯然×××成立”.分析法這種由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的數學研究中還會經常用到.
【設計意圖】讓學生閱讀教科書，再以有層次的思考題的形式引導學生理解分析法的邏輯和書寫格式，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略，培養學生的邏輯推理能力.
3.基本不等式的幾何解釋
引入 類比重要不等式的研究，接下來我們探究基本不等式的幾何解釋.
回顧 不等式（ + ≥ ）的幾何解釋是什么？
學生活動預設 學生思考并回答：利用趙爽弦圖，給出了此不等式的一個幾何解釋：正方形的面積不小于4個直角三角形的面積和.當 縮為一個點，即 時，等號成立.
教師引導 重要不等式中有平方、兩個數的乘積，我們利用趙爽弦圖從面積的角度對其進行幾何解釋.類比這種構建方式，對于 ， ，可以嘗試構建怎樣的圖形從幾何的角度來解釋基本不等式呢？
合作探究 你能構建一個幾何圖形來解釋基本不等式嗎？
學生活動預設
方案一 小組討論后學生展示：我們小組直接利用趙爽弦圖來解釋基本不等式，讓原來的邊長 變成 、 變成 就行了.
教師點評 聯系到了前面的代數代換，很不錯.如何做出長為 、 的線段呢？可以課后研究一下.
方案二 小組討論后學生展示：我們小組作線段
AC ，在Rt△
ABD中，利用三角形相似可以得到
AB邊的高
CD長為 .
教師點評 非常好！那什么時候等號成立呢？
方案三 小組討論后學生展示：我們小組也是作線段
AC ，不同的是從基本不等式的變形 ≥ 入手，聯想到直角三角形中的射影定理，再通過對直角三角形進行翻折得到 .可以看出四點共圓，并由此得到 扮演者直徑的角色.
教師點評 非常好!那 和 的幾何意義是什么呢？以上兩種方法本質是一樣的.在圓中，能夠更直觀地體現 變化時， 的大小關系.接下來我們通過動態演示來感受一下這個變化過程.
師生活動預設 教師演示幾何畫板，展示點
C在線段
AB上移動的過程.學生觀察思考，教師引導學生總結：“圓中半弦不大于半徑，當且僅當弦過圓心，
C點與圓心重合，即 時等號成立.
【設計意圖】類比一類重要不等式（ + ≥ ）的幾何解釋，引導學生結合代數式的結構特征（ 和 ），以小組合作的方式嘗試構建幾何圖形進行幾何解釋，再觀察這些幾何元素在變化中表現的大小關系的規律，從而獲得基本不等式的幾何解釋，體會數形結合的思想.借助幾何畫板，展示點 在線段 上移動的過程，更好地理解 與 之間的關系隨著 大小關系的變化而發生的變化，同時體會基本不等式中蘊含的“等式”與“不等式”的內在聯系.
環節三 典例分析 鞏固理解
引入 以上我們從代數變換、推理論證、幾何解釋等多個角度研究了基本不等式.“基本”二字體現了其基礎性、工具性的地位，它在數學內外都有廣泛的應用，比如這樣的最值問題.
例1 已知
＞ ，求 的最小值.
思考（1） “求 的最小值”的含義是什么？
師生活動預設 學生思考后回答.教師總結：求 的最小值，就是要求出一個 ,使 ,都有
≥ .這里的 就是要求的最小值.
思考（2） 觀察代數式 的結構特征，是否可用基本不等式求其最小值？ 如果能，如何求？
師生活動預設 學生思考后回答:本題要求的代數式是兩個正數 的和的形式，且 1由于 是 的算術平均數的2倍，而幾何平均數 是一個常值，所以可以利用基本不等式求解.
思考（3） ≥2中等號是否成立，若成立， 取何值？
師生活動預設 當且僅當 ，即 時等號成立，所以 的最小值為2.教師板書例1的解答過程.
【設計意圖】引導學生根據所求代數式的結構特征，判斷是否能用基本不等式求最值，同時強調代數式的最值必須是代數式能取到的值，為學生求解代數式的最值問題提供示范.
變式1 已知 都是正數，求 的最小值；
變式2 已知 ，求 的最大值.
【設計意圖】對例1中代數式或條件做變化，考察學生利用基本不等式求代數式最值的能力.
例2 已知 ， 都是正數，求證：
（1）如果積 等于定值 ，那么當 時，和 有最小值
（2）如果和 等于定值 ，那么當 時，積 有最大值 .
師生活動預設 學生思考、書寫證明過程并投屏展示，師生共同補充完善.
思考 通過本例的解答，說說滿足什么條件的代數式能夠利用基本不等式求最值？
師生活動預設 學生討論后回答：代數式的每一項都是正數，其和或積為定值，就能求積或和的最值，注意不等式中的等號是否能取到.教師總結：通俗地說，就是“一正、二定、三相等”.同時教師明確指出：由例2獲得了兩個數學模型：積定求和的最小值、和定求積的最大值.利用基本不等式求最值時要注意模型特征的識別“一正、二定、三相等”.
【設計意圖】在例1的基礎上，進一步示范如何直接利用基本不等式解決最值問題，讓學生在獲得相關知識的同時，領悟其中蘊含的數學思想方法，能把基本不等式處理最值問題當成數學模型去看待，從而提高解決問題的能力,為后續解決實際問題創造了條件.
環節四 鞏固新知，練習反饋
課堂練習 已知
1≤ ≤1，求1 的最大值.
【設計意圖】考查學生利用基本不等式求代數式最值的能力.
環節五 歸納提升，形成結構
教師引導學生回顧本節課的內容，并回答下面的問題：
（1）你能歸納一下基本不等式的研究過程嗎？
（2）你對基本不等式有哪些認識？體會到了哪些數學思想方法？
（3）處理兩類最值問題（積定求和的最小值，和定求積的最大值）時，需要注意什么？
師生活動預設 學生小組討論總結，再全班交流、互動，教師點評，最終形成比較完整的認識.
教師課堂總結 本節課我們遵循“背景—概念—性質—應用”的研究路徑，將一類重要不等式變形獲得基本不等式，并對其正確性進行推理論證，再構建幾何圖形探究其幾何意義，最后在應用中獲得基本不等式模型解決最值問題的方法.這也是研究一個特殊代數式的一般過程.在今后的數學學習中，我們還會 進一步感受到基本不等式的魅力與力量！
【設計意圖】引導學生回顧總結本節課的學習內容和學習方法，反思學習過程，得出有條理的理性認識.在小結中，要注意引導學生體會研究一個特殊代數對象的一般過程.
環節六 布置作業,應用遷移
布置作業
1.綜合運用
（1）教科書第46頁練習1（用分析法證明）；
（2）教科書第48頁習題2.2第1、2、4、5題.
2.拓廣探索
（1）《綿中精品小練習》
（2）基本不等式是從 ＋
≥ 變形而來，代數中通過類似的變形得出有用結果的事例很常見.例如，在 0時，在 ＋
≥ 的兩邊同時除以 可得
≥2.你能得到一些基本不等式的變形嗎？
（3）“等圓中，半弦不大于半徑”是基本不等式的一個幾何解釋，你能再給出基本不等式的其他幾何解釋嗎？
閱讀拓展 《不等式入門》（可在圖書角借閱）
【設計意圖】合作探究1將基本不等式變形獲得一系列新的常用不等式，發展學生數學運算和數學建模意識.合作探究2讓學生構造不同的幾何圖形解釋基本不等式，提升學生直觀想象素養，增強學習興趣.作業1為基礎鞏固題，目的是讓學生利用基本不等式解決簡單的最值問題，完善解題格式，以便舉一反三.《不等式入門》供學有余力的同學課后研究，獲得對基本不等式更多、更深的認識.
六、板書設計
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基本不等式（第1課時）
1.基本不等式
2.證明：分析法
3.幾何解釋
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視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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