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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《超幾何分布》重慶—何
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重慶—何春強—設計—超幾何分布
§7.4.2 “超幾何分布”教學設計
人民教育出版社 普通高中教科書（A版） 選擇性必修第三冊
【授課內容】 超幾何分布
【課時與課型】 一課時 新授課
【教學內容解析】
超幾何分布是人民教育出版社普通高中教科書（A版）選擇性必修第三冊第七章第4節第2課時內容，是統計學上的一種離散型隨機變量的概率分布，它與二項分布一樣，都是描述從有限（
）個物件（其中包含
個指定種類的物件）中抽出
個物件，成功抽出該指定種類物件次數的概率分布情況.不同的是，二項分布采用有放回抽樣，超幾何分布采用不放回抽樣！因其概率形式與“超幾何函數”的級數展式的系數有關，故稱為超幾何分布.
超幾何分布與二項分布都是特殊的離散型隨機變量的分布，在日常生活中大量存在，他們有著相同的數學期望，但抽取方式不同，超幾何分布更集中在均值附近.當遠遠小于時，每抽取一次后，放回與不放回對的影響都很小，此時，超幾何分布可以與二項分布近似.
超幾何分布的學習安排在一般離散型隨機變量及其分布列之后，緊接二項分布，通過具體實例，去感受“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區別與聯系，這種由一般到特殊，由抽象到具象的辨析對比，自然關注了學生數學抽象、邏輯推理等數學核心素養，也是對本章知識的一種深度理解與完美總結.
教學重點：超幾何分布，超幾何分布的分布列和均值.
【教學目標設置】
1.通過對比放回和不放回抽樣說明超幾何分布的特征，能求超幾何分布的分布列、均值，發展學生的數學建模、數學抽象素養；
2.能用自己的語言解釋二項分布與超幾何分布的區別與聯系，并能夠正確選擇模型解決實際問題，發展學生的數學建模素養.
【學生學情分析】
學生在學習本節內容之前，已經完整的學習了一般離散型隨機變量及其分布列的內容，明確了研究離散型隨機變量及其分布列的一般方法，同時，通過二項分布的學習，學生對“有放回”摸球試驗已經非常熟悉，這些都有利于我們進行“不放回”摸球試驗的教學.但超幾何分布的概率依托于古典概型，要借助組合數的計算，特別是對超幾何分布的數字特征進行研究時，公式推理較復雜，計算量也較大.另外，在對二項分布和超幾何分布進行對比分析時，要求學生有較強的數學建模和數學抽象的能力.通過設置有趣的情境案例，借助PPT、Excel等多媒體軟件，激發學生的學習興趣，提升數字運算效率，讓學生直觀感受二項分布與超幾何分布的區別與聯系.
教學難點：在實際問題中抽象出模型的特征；超幾何分布期望的推導以及區別二項分布和超幾何分布.
【教學策略分析】
為了便于教學的順利切入和展開，本節課從一個有趣的生活案例引入，通過對“有放回”和“不放回”兩種抽獎方式的對比分析，在學生作“決策”的過程中“悄無聲息”的提出超幾何分布的概念，并在此基礎上引導學生猜想、推理論證超幾何分布的均值.再通過一個數據較大的摸球模型，借助Excel計算功能，讓學生感受超幾何分布和二項分布的區別與聯系。這樣分散了教學重難點，通過由特殊到一般再到特殊的層層推進，設計“問題串”教學，以問題的提出，問題的解決為主線，始終在學生的“最近發展區”設置問題，通過不斷探究、發現，在師生互動，生生互動中完成超幾何分布的探究與學習。
為了調動學生的探究積極性，使每個學生都經歷數學模型的抽象過程，遵循以學生為主體，教師是課堂活動的組織者、引導者和參與者的課堂教學原則，教學上采取“啟發式教學”方法，學生主要采取自主學習和小組合作相結合的“探究式學習法”，小組合作也為不同認知的學生提供了學習的機會和幫助.
【教學過程設計】
引導語 上一節我們認識了建立在
重伯努利試驗基礎上的二項分布，本節課我們來認識另外一種常見的概率分布模型.
環節一 實例引入，提出問題
問題1 雙11即將來臨，某商家擬推出一項抽獎優惠活動：在一個不透明的盒子里放有外觀相同的10個乒乓球，其中有3個乒乓球的表面上寫有“獎”字，顧客消費滿500元便可獲得兩次抽獎機會，每次從盒中任意摸取一個球，抽中帶有“獎”字的乒乓球，均可獲得50元現金代用券.現有兩種抽獎方式可供選擇：有放回抽獎和不放回抽獎，請同學們利用所學數學知識，給出合理的決策方案.
師生活動 每組同學分成兩個小組，分別進行“有放回抽獎”和“不放回抽獎”兩種方案的計算，然后再進行小組討論，給出合理的決策方案.
記中獎的次數為
，獎金為
元，則
.
事實上，若采用有放回抽獎，每次中獎的概率均為0.3，且各次抽取的結果相互獨立，此時服從二項分布，即
，
，
（元），其中
.
若采用不放回抽獎，則每次抽取時條件不同，且各次抽取的結果不獨立，不滿足重伯努利試驗的特征，此時不服從二項分布，只能根據古典概型求的分布列.而在不放回抽獎過程中，逐個不放回抽取2個乒乓球和一次性抽取2個乒乓球，結果相同，故可用如下方法求的分布列.
從10個乒乓球中任取2個共有
種不同的取法，中獎個數的可能取值為0，1，2.恰有
個中獎的取法有
種.
.
即隨機變量
的分布列為
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，（元），
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.
件，其中有
件次品．從件產品中隨機抽取件(不放回），用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為
.
，則稱隨機變量服從超幾何分布，記作
.
中各個字母的含義是什么？－總體中的個體總數；－總體中的特殊個體總數（如次品總數）；－樣本容量；
－樣本中的特殊個體數（如次品數）.
.
在本題中各是多少？，則服從超幾何分布，且
，的分布列為
.
.
就可以根據公式求出
取不同值時的概率.
服從超幾何分布，則可以解釋為從包含件次品的
件產品中，不放回地隨機抽取件產品中的次品數.令
，則
是
件產品的
是抽取的
件產品的次品率，猜想
，即
.
，有
.
，所以
.
.表示樣本中黃球的個數.的分布列及其數學期望；服從什么分布？服從什么分布？
；若采用不放回摸球，則各次試驗的結果不獨立，
服從超幾何分布.
，則的分布列為
.
服從超幾何分布，則的分布列為
.
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| 0 | 0.00004 | 0.00001 | 11 | 0.07099 | 0.06376 |
| 1 | 0.00049 | 0.00015 | 12 | 0.03550 | 0.02667 |
| 2 | 0.00309 | 0.00135 | 13 | 0.01456 | 0.00867 |
| 3 | 0.01235 | 0.00714 | 14 | 0.00485 | 0.00217 |
| 4 | 0.03499 | 0.02551 | 15 | 0.00129 | 0.00041 |
| 5 | 0.07465 | 0.06530 | 16 | 0.00027 | 0.00006 |
| 6 | 0.12441 | 0.12422 | 17 | 0.00004 | 0.00001 |
| 7 | 0.16588 | 0.17972 | 18 | 0.00000 | 0.00000 |
| 8 | 0.17971 | 0.20078 | 19 | 0.00000 | 0.00000 |
| 9 | 0.15974 | 0.17483 | 20 | 0.00000 | 0.00000 |
| 10 | 0.11714 | 0.11924 |
是一個隨機變量，根據上表數據計算得
.
.分別服從二項分布和超幾何分布，這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（如下圖）看，通過統計比較兩種不同分布在隨機變量取值在5－11的概率，可以發現超幾何分布更集中在均值附近.| 抽樣方式 |
的分布 |
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| 有放回 | 二項分布 |
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| 無放回 | 超幾何分布 |
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件產品中次品數的分布規律，有放回抽取是二項分布，不放回抽取是超幾何分布.兩個分布的均值相同，但由于
，因此超幾何分布的方差小于二項分布的方差，即超幾何分布取值更集中于均值附近.充分大，且遠遠小于時，各次抽樣結果彼此影響很小，可以近似認為是相互獨立的.因此，超幾何分布可以用二項分布近似.從方差角度看，由于
，兩個分布的方差也近似相等.
和
，而二項分布只需要知道
即可.
.
.件產品中次品數的分布規律，有放回抽取是二項分布，不放回抽取是超幾何分布，且二項分布與超幾何分布的均值相等，超幾何分布的方差更小.服從超幾何分布的是（ ）
是首次摸出黑球時的總次數
的均值；
的均值.
.
.
.
的分布列為|
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，服從超幾何分布，
，∴
.
，∴
，
.
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