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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理》山西省優課
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人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理》山西省優課
《二項式定理》教學設計
一、教學內容解析
《二項式定理》是人教A版選修2-3第一章第三節的知識內容。在多項式的運算中，把二項式展開成單項式之和的形式，即二項式定理有著非常重要的地位，它是我們進入微積分領域大門的一把金鑰匙，只是在中學階段還沒有顯示的機會。本小節內容是初中學習的多項式乘法的繼續．在計數原理之后學習二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數原理，可以把它作為計數原理的一個應用，另一方面也是解決整除、近似計算、不等式證明的有力工具，同時也是后面的數學期望等內容的基礎知識，二項式定理起著承上啟下的作用．另外，由于二項式系數是一些特殊的組合數，利用二項式定理可進一步深化對組合數的認識．總之，二項式定理是綜合性較強的、具有聯系不同內容作用的知識．
二、教學目標分析
新課標指出教學目標應體現學生學會知識與技能的過程也同時成為學生學會學習，形成正確價值觀的過程．新課標要求：用計數原理分析2()ab，3()ab，
4()ab的展開式，歸納類比得到二項式定理，并能用計數原理證明．掌握二項
展開式的通項公式，解決簡單問題；學會討論二項式系數性質的方法．根據新課標的理念及本節課的教學要求，制定了如下教學目標： （一）、教學目標 1.知識與技能：
學生在二項式定理的發現推導過程中，掌握二項式定理及推導方法、二項展開式、通項公式的特點，并能運用二項式定理計算或證明一些簡單的問題． 2.過程與方法：
通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式． 3. 情感、態度與價值觀：
培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，
體會數學語言的簡潔和嚴謹，結合結合數學史，激發學生愛國熱情和民族自豪感．
（二）、教學重點、難點
重點：1、用兩個計數原理分析（a+b)2的展開式，歸納得出二項式定理，并能
用計數原理證明；掌握二項展開式的通用公式，能應用它解決簡單問題。
2、學會討論二項式系數性質的一些方法。
難點：用兩個計數原理分析（a+b)2的展開式；用兩個基本原理證明二項式定理。 三、學情分析 １．有利因素
授課對象是高二的學生，具有一般的歸納推理能力，思維較活躍，初步具備了用聯系的觀點分析問題的能力．學生剛剛學習了計數原理和排列組合的知識，對本節()nab展開式中各項系數的研究會有很大幫助． ２．不利因素
本節內容思維量較大，對思維的嚴謹性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學生學習起來有一定難度．在數學學習過程中，大部分學生習慣于重視定理、公式的結論，而不重視其形成過程． 四、教法策略分析
遵循“以學生為主體、教師是數學課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現代教育原則，采用“啟發式教學法”，學生主要采用“探究式學習法”， 并利用多媒體輔助教學．
本課以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，倡導學生主動參與，通過不斷探究、發現，在師生互動、生生互動中，完成二項式定理的探究，讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程． 五、教學過程
（一）創設情境 引入課題 引入：
師：在我們平時的計算當中經常會碰到這樣一些數，如36=6，？336在沒有計算器的情況下，我們如何計算呢？
生：搖頭。
師：在估算的過程中，我們可以先觀察336的整數部分，那么我們可以將其寫成
x3363
，x表示小數部分。將式子兩邊同時進行立方，得
3223333333)336xxxx（舍去x的2次方以上的項，得：33.0x。接下來進一步估算可以寫成什么？ 生：3)33.336x（ 師
：
根
據
剛
才
的
算
法
，
我
們
可
以
寫
成
3223333.3333.3333.3)33.336xxxx（ 得：028.0y。于是302.3028.0-33.3363 師操作：打開計算器計算
師：發現這個結果與計算器直接算出的值比較，很接近吧！若想得到更準確的數值，我們可以通過多次迭代計算。那么，若是計算736的值呢？ 生：我們需要知道7)ba（的展開式。
師：由上述算法知，要想知道任意數值開n次方的結果，就需要知道nba)（的展開式，即我們今天所學的內容：二項式定理。
【設計意圖】“二項式定理”是高中數學的重要內容之一，《普通高中新課程標準》中在“教學建議”中指出：要注重整體把握教學內容，將數學建模與數學探究、數學文化等主線貫穿始終。這里設計這個環節，創設有效的數學情景能激發學生的學習興趣，而且也讓學生理解為什么要學習二項式定理。 創設情境：
問題1：全國青少年校園足球聯賽高中女子組在我校如火如荼的舉行，我以足球為背景，我們一起來看這樣一個問題：
假設有兩個桶里分別有大小相同，質地相等的紅、黑足球各一個，從每個桶中依次各取一個球，有多少種不同的取法？
（請分別用枚舉法、分類計數原理、分步計數原理進行分析。[）來源:Z。Xx 師：把紅色小球記成a,黑色小球記成b。
列舉法：aa ab ba bb共4種。
分步計數原理:第一步，第一次取球有兩種方法；第二步，第二次取球有兩種方法，所以一共22=4種。
分類計數原理：第一類，兩次都不取b（即兩次都取a），有0
2C= 1種取法，第二類，任一次取b（即另一次取a），有12C=2種取法；第三類，兩次都取b（即兩次都不取a），有22C=1種取法；共4種。
【設計意圖】這塊內容有承上啟下的作用，讓學生用所學過的各種計數方法來回答問題，回顧各種計數方法的思維過程和解題過程，保障后面能選取最便捷的方法，并且運用該方法能準確、快速地得到答案。 （二）體驗感知 探究歸納
問題2：請將
))(abab（逐項展開并整理， 思考：合并同類項前的展開式中，共有幾項？ 4 合并同類項后的展開式中，共有幾項？ 3 每項的次數為幾次？ 2 接下來我們分組討論下面的問題：問題3、4.
問題3：問題1與問題2的處理過程之間有何聯系與區別？ 生：同：展開的過程就是取小球的過程。
生：異：球ab、ba屬兩種方法，展開式中的ab、ba可合并同類
【設計意圖】取球是同學們極為熟悉的例子，解決該問題已經得心應手，并已深刻理解。將新問題回歸到已掌握的知識上，便于新問題的解決。 問題4：將2)ab（展開并整理后，各項的系數與取球問題有何聯系？ 生：整理后，各項系數即取球問題中分類記數原理的各類結果數。 【設計意圖】初步體會展開式中系數的由來。
問題5：假設有三個桶里有相同的紅、黑足球各一個，從每個桶中取一個球，有多少種不同的結果？（請分別列用舉法、分類計數原理、分步計數原理進行分析。）
列舉法：（略） 分步記數原理：2×2×2=8
分類記數原理：第一類，三次都不取b，0
3C種；第二類，任一次取b,其他兩次取a, 有13C種；第三類，任兩次取b,其他一次取a,有 23C種；第四類，全都取b，有33C種，即共833231303CCCC種。
【設計意圖】取兩次的時候，學生可以用枚舉法在轉念間就解決問題，所以就會忽視了分類記數原理和分步記數原理對于解決該問題的優勢，取三次就相對困難，讓學生體會分類記數原理和分步記數原理對于解決多次取球問題的優越性。
問題6：誰能最快寫出將3)(ba展開整理后的多項？ 師：強調三點：合并前后項數、各項的次數、系數。
【設計意圖】再次理解取球過程與展開式的聯系，特別是展開式各項的系數與取球過程中分類記數原理的聯系。
練習：寫出將4)(ba展開并整理后的多項式？ 【設計意圖】鞏固展開式各項、各項系數得出的方法。 問題6：將n)(ba展開并整理后，有哪些項？為什么？ 師：請大家閱讀課本30頁的二項式定理的證明
【設計意圖】讓學生體會從特殊到一般，歸納并證明的過程。
師：猜證法是數學中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明，課本當中用到了說理法，還可以采用數學歸納法進行證明，課下同學們可以自己證明。 （三）知識建構 形成定理 二項式定理（binomial theorem)
)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn這個公式叫做二項式
定理,右邊的多項式叫做n)(ba的二項展開式，其中各項的系數
}),2,1,0{(nnkCk稱為二項式系數。式中的kknkbaCn叫做二項展開式的通項，
用1kT它表示，即通項為展開式的第k+1項：kknkkbaCTn1。
二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664-1665年間提出。
二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中都有廣泛的應用，是我們進入微積分領域大門的一把金鑰匙。
（1）系數規律：n
n
CCCC、、、、2n1n0n （2）項數規律：右邊的多項式，共有n+1項。
（3）指數規律：次數：各項的次數都等于n。字母a按降冪排列，次數由n遞減到0 , 字母b按升冪排列，次數由0遞增到n。
注意1：二項式定理是個恒等式，定理中字母a,b可以是單項式、多項式、任意實數或其他，其中式中a與b是用“+”連接的，且a,b位置不能對換。
令a=1，b=x：nnnkknnxCxCxCxCxCn2211n00n)x1（
注意2：字母a,b的順序不能顛倒。
【設計意圖】對定理的特點加以說明，可使學生能熟練掌握定理的特點，以便今后在應用定理解決問題時能得心應手。 （四）鞏固新知 提升能力
【例1】用二項式定理展開下列各式：
①4)11(x ②6
)12(x
x
全體學生分成兩組，各組派代表上黑板板眼。
【設計意圖：】是對二項式定理的簡單應用，目的在于對定理字母a,b所表示的數或式的領會及運用定理的能力；式子的形式復雜時，先化簡在展開。
例2、在5)1
x2x
（的展開式中（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4
項。（3）請指出展開式的第4項的系數，二項式系數。（4）求展開式中含 3x 的項。
注意：區別二項式系數與項的系數的概念：
二項式系數為：kCn
項的系數為：二項式系數與數字系數的積
【設計意圖】通過例題讓學生熟悉二項展開式及其通項，區分二項式系數和系數，培養學生的運算能力．教師用邊講邊問的形式，通過讓學生自己總結、發現規律，挖掘學習的意義，從而使學習成為有意義的學習。
鞏固練習：
1. 求 7)21x（的展開式的第4項的系數和倒數第四項。
2.（2017•山東）已知nx)31（的展開式中含有2x的系數是54，則n=________。 （五）回顧反思 歸納總結 知識方面：
1、二項式定理：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn
(1)二項式系數：)3,2,1,0(,nkCk
n
(2)二項展開式的通項：k
knknkbaCT1
2、典型例題： (1) 求形如 nba)(的展開式問題。
（2）求二項展開式的第幾項及其系數、二項式系數。 （3）求二項展開式中含x的幾次方的項的問題。
思想方法：從特殊到一般；觀察——歸納——類比——猜想——證明． 【設計意圖】小結可以鍛煉學生的概括能力、語言表達能力，可以使學生加深對本節課的認識，掌握基本數學思維方法． （六）課下作業 思維延伸 1、估算：？736 2、鞏固型作業：
課本36頁 習題1.3 A組 1、2、3、4（1）（2）5一、P36: 1~3 3、思維拓展型作業：（查閱相關資料） （1）查閱有關楊輝一生的主要成就。
（2）探究二項式系數 ,,2
n10nCCCn， …，nCn
有何性質. 【設計意圖】通過課下作業使學生深入理解知識，培養學生的創新精神、增強主動探究的意識和能力．并為下節課的學習打下基礎。 （七）板書設計：
六、教后反思：
本節課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發現和創造歷程。
按照設想完成了預定的任務，實現了最初的目標。不足之處：學生在數學課堂中的參與度不夠，今后應加強師生互動。
總之，本節課遵循學生的認識規律，由特殊到一般，由感性到理性。重視學生的參與過程，問題引導，師生互動。重在培養學生觀察問題，發現問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣。
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