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視頻標(biāo)簽：二項(xiàng)式定理
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3第一章《1.3.1二項(xiàng)式定理》（第一課時(shí)）浙江省 - 寧波
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人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3第一章《1.3.1二項(xiàng)式定理》（第一課時(shí)）浙江省 - 寧波
二項(xiàng)式定理（第一課時(shí)）教案
一、教材分析
《二項(xiàng)式定理》是高中數(shù)學(xué)人教版A版選修2-3第一章《計(jì)數(shù)原理》的第三節(jié)．在學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)中，本節(jié)內(nèi)容分二課時(shí)．
１.在多項(xiàng)式的運(yùn)算中，把二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和的公式，即二項(xiàng)式定理有著非常重要的地位，它是帶領(lǐng)我們進(jìn)入微分學(xué)領(lǐng)域大門的一把金鑰匙.
２.二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣，這節(jié)課的內(nèi)容安排在計(jì)數(shù)原理之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用，另一方面也為學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布作準(zhǔn)備.
３.由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項(xiàng)式定理可導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對(duì)深化組合數(shù)的認(rèn)識(shí)有好處．
４.運(yùn)用二項(xiàng)式定理也可以解決如整除、近似計(jì)算、不等式證明等數(shù)學(xué)問(wèn)題．
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能：
(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.
(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理. 2.過(guò)程與方法：
通過(guò)學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概 括的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式． 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
通過(guò)對(duì)中西方數(shù)學(xué)家在二項(xiàng)式定理研究的進(jìn)程來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意思，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)．
三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析3)(ba的展開(kāi)式，得到二項(xiàng)式定理．
難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和時(shí)
各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.
四、教學(xué)過(guò)程
（一）提出問(wèn)題，引入課題
引入：借助數(shù)學(xué)史的知識(shí)引入二項(xiàng)式和二項(xiàng)式定理 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)中西方數(shù)學(xué)家在二項(xiàng)式定理研究的進(jìn)程來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，直接引出課題．激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確這節(jié)課要解決的問(wèn)題. （二）引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 1、多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)．
2
問(wèn)題1： ))((2121bbaa的展開(kāi)式是什么？
展開(kāi)式有幾項(xiàng)，每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？
問(wèn)題2：))()((212121ccbbaa每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的，展開(kāi)式有幾項(xiàng)？ 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來(lái)解決項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，明確每一項(xiàng)的特征，同時(shí)也為后續(xù)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備. 2、3)(ba展開(kāi)式的再認(rèn)識(shí)
探究1：不展開(kāi)3)(ba，能否回答下列問(wèn)題（請(qǐng)以兩人為一小組進(jìn)行討論）： (1) 合并同類項(xiàng)之前展開(kāi)式有多少項(xiàng)？ (2) 展開(kāi)式中有哪些項(xiàng)？ (3) 各項(xiàng)的系數(shù)為多少？
(4) 從上述三個(gè)問(wèn)題，你能否得出3)(ba的展開(kāi)式？
探究2：仿照上述過(guò)程，請(qǐng)你推導(dǎo)4)(ba的展開(kāi)式.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)3)(ba的展開(kāi)式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)的形式、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)nba)(的展開(kāi)式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依． (三) 形成定理，說(shuō)理證明
探究3：仿照上述過(guò)程，請(qǐng)你推導(dǎo)nba)(的展開(kāi)式．
)()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnn——— 二項(xiàng)式定理
證明：nba)(是n個(gè))(ba相乘，每個(gè))(ba在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開(kāi)式共有n2項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是kknba
),1,0(nk的形式，對(duì)于每一項(xiàng)kknba，它是由k個(gè))(ba選了b，n－k個(gè))
(ba選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè))(ba中取k個(gè)b的組合數(shù)knC，將
它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開(kāi)式，這就是二項(xiàng)式定理．
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)仿照3)(ba、4)(ba展開(kāi)式的探究方法，由學(xué)生類比得出nba)(的展開(kāi)式．二項(xiàng)式定理的證明采用“說(shuō)理”的方法，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的形式，用組合知識(shí)分析展開(kāi)式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的的展開(kāi)式．
3
(四) 熟悉定理，簡(jiǎn)單應(yīng)用
二項(xiàng)式定理的公式特征：（由學(xué)生歸納，讓學(xué)生熟悉公式） （1）項(xiàng)數(shù)：共有1n項(xiàng).
（2）次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n． 各項(xiàng)的次數(shù)都等于n．
（3）二項(xiàng)式系數(shù): 依次為nnknnnnCCCCC,,,,,,210，這里),,1,0(nkCk
n稱為
二項(xiàng)式系數(shù).
（4）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng): 式中的kknknbaC叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng). 用1kT表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第1k項(xiàng): 1kT=kknknbaC
牛刀小試： （1）nx)1( （2）nba)(
（3）化簡(jiǎn)
14161411xxxx432
（）（）（）（） 例1 求
1
2xx
4（）的展開(kāi)式.
思考1：展開(kāi)式的第2項(xiàng)的系數(shù)是多少？ 思考2：展開(kāi)式的第３項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開(kāi)式的第３項(xiàng)？
【設(shè)計(jì)意圖】熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力． (五) 課堂小結(jié)，課后作業(yè)
由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.
1. 一個(gè)公式： )()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnn 2. 兩種方法：1.從特殊到一般的研究方法. 2.用計(jì)數(shù)原理分析項(xiàng)和系數(shù). 鞏固型作業(yè)：課本36頁(yè)習(xí)題1.3 A組 1、2、3
思維拓展型作業(yè)：二項(xiàng)式系數(shù)n
n
knnnnCCCCC,,,,,,210有何性質(zhì)． 【設(shè)計(jì)意圖】 (1)通過(guò)小結(jié)使學(xué)生明確本節(jié)課的知識(shí)。
(2)適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)有助于進(jìn)一步鞏固新知。
(3)思維拓展型作業(yè)鼓勵(lì)學(xué)生探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，為后面“楊 輝三角的學(xué)習(xí)作好鋪墊．
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