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視頻標(biāo)簽：二項(xiàng)式定理

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-3第一章《二項(xiàng)式定理》建設(shè)

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人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-3第一章《二項(xiàng)式定理》建設(shè)兵團(tuán)省級(jí)優(yōu)課

《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 
   
1教學(xué)設(shè)計(jì)思想 
現(xiàn)代教學(xué)的核心是“以學(xué)生的發(fā)展為本”，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和情感體驗(yàn)，注重教學(xué)過(guò)程中學(xué)生主體地位的體現(xiàn)和主體作用的發(fā)揮，強(qiáng)調(diào)尊重學(xué)生人格和個(gè)性，鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)、探究與質(zhì)疑，鼓勵(lì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力． 
我采用啟發(fā)探究式教學(xué)方式： 
一是從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題引入課題。這里體現(xiàn)了新課程的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的理念，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅是為了學(xué)數(shù)學(xué)，還可以學(xué)以致用，用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題． 
二是從特殊到一般。面對(duì)一般問(wèn)題，學(xué)生會(huì)想到從特殊情況入手，讓學(xué)生自己探究n=1，2，3，4，…時(shí)二項(xiàng)展開式的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的基本內(nèi)容． 
三是采用小組合作、探究的方式。小組內(nèi)的同學(xué)共同歸納二項(xiàng)式定理的內(nèi)容，由特殊推廣到一般． 
四是教師的啟發(fā)與學(xué)生的探究恰當(dāng)結(jié)合。本節(jié)課的難點(diǎn)在于確定二項(xiàng)展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，通過(guò)觀察歸納建立系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，有一定的困難，教師在此時(shí)的引導(dǎo)啟發(fā)，就顯得尤為重要． 2教學(xué)目標(biāo) 
知識(shí)與技能：理解二項(xiàng)式定理及其推導(dǎo)方法，識(shí)記二項(xiàng)展開式的有關(guān)特征，能對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用． 
過(guò)程與方法：通過(guò)教師指導(dǎo)下的探究活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過(guò)程，熟悉理解“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識(shí)，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗(yàn)． 
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理內(nèi)容的研究，體驗(yàn)特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般到特殊指導(dǎo)實(shí)踐的認(rèn)識(shí)事物過(guò)程；通過(guò)對(duì)二項(xiàng)展開式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀察，體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱美、和諧美． 
本節(jié)課時(shí)高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A）1.3.1二項(xiàng)式定理第一節(jié)課．  
本節(jié)課的學(xué)生起點(diǎn)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了組合的基本知識(shí)，初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法． 本節(jié)課是在組合和多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容．這一內(nèi)容我共安排兩課時(shí)，這是第一課時(shí) 
 3教材分析 
二項(xiàng)式定理是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項(xiàng)式——二項(xiàng)式的乘方的展開式．這一小節(jié)與很多內(nèi)容都有著密切的聯(lián)系，特別是它在本章的學(xué)習(xí)中起著乘上啟下的作用．學(xué)習(xí)本小節(jié)的意義在于：①二項(xiàng)式定理與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有其內(nèi)在聯(lián)系，本小節(jié)是學(xué)習(xí)概率知識(shí)及概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備知識(shí)；②二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可以得到關(guān)于組合數(shù)的一些恒等式，從而深化對(duì)組合數(shù)的認(rèn)識(shí)；③基于二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法的聯(lián)系，本小節(jié)的學(xué)習(xí)可對(duì)初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的變形起到復(fù)習(xí)、深化的作用；④二項(xiàng)式定理是解決某些整除性、近似計(jì)算等問(wèn)題的一種方法． 
教材的安排：教材中是通過(guò)n取一些特殊值（1，2，3，4）的基礎(chǔ)上，觀察歸納出二項(xiàng)式定理，強(qiáng)調(diào)要分析清楚式子展開并進(jìn)行同類項(xiàng)合并后有哪些項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)的一些規(guī)律，教
 
                    
             
                    
                            材采用的是不完全歸納法，沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明．教材隨后安排了四道例題，是對(duì)二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 4學(xué)情分析 
學(xué)生為實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．學(xué)生理解組合及組合數(shù)的概念，掌握了多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則，有一定的歸納猜想能力，能順利完成課時(shí)計(jì)劃內(nèi)容． 
重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的內(nèi)容及應(yīng)用 難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程及內(nèi)涵 內(nèi)容分析： 
)N(CCCCC)(*222110nb
bababaaban
nnrrnrnnnnnnnn 
對(duì)二項(xiàng)式定理的理解和掌握，要從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項(xiàng)等方面的特征去熟悉它的展開式．  教學(xué)過(guò)程 
一、探索研究二項(xiàng)式定理的內(nèi)容 
問(wèn)題：n
ba)(的展開式有什么特點(diǎn)？你能將它展開嗎？試一試． [學(xué)生分組探究] 
學(xué)生可能的探究方法1： 
由bCaCbaba11011)(     
22212202222CCC2)(bababababa 
33322321330332233CCCC33)(babbaababbaaba 
44433422243144044322344464)(bCabCbaCbaCaCbabbabaaba 
…… 
學(xué)生可能通過(guò)具體的例子來(lái)展開說(shuō)明， 如：3
2
2
3
3
33)(babbaaba 或4
3
2
2
3
4
4
464)(babbabaaba 學(xué)生歸納過(guò)程可能如下： 
以4)(ba為例的展開式的分析過(guò)程： 
4322344464))()()(()(babbabaabababababa 
容易看到，等號(hào)右邊的積的展開式的每一項(xiàng)，是從每個(gè)括號(hào)里任取一個(gè)字母的乘積，因而各項(xiàng)都是4次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：432234,,,,babbabaa． 
[學(xué)生可能歸納出來(lái)：（1）每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)之間的關(guān)系（2）項(xiàng)的個(gè)數(shù)有1n項(xiàng)] 
在上面4個(gè)括號(hào)中： 
每個(gè)都不取b的情況有1種，即04C種，所以4a的系數(shù)是0
4C； 
恰有1個(gè)取b的情況下有14C種，所以ba3
的系數(shù)是1
4C； 恰有2個(gè)取b的情況下有24C種，所以22ba的系數(shù)是2
4C； 
恰有3個(gè)取b的情況下有34C種，所以3
ab的系數(shù)是3
4C； 4個(gè)都取b的情況下有4
4C種，所以4
b的系數(shù)是4
4C； 
 
                    
             
                    
                            因此4
4433422243144044CCCCC)(babbabaaba． 
 [歸納、猜想?)(nba] 
)N(CCCCC)(*222110nb
bababaabannnrrnrnnnnnnnn 
教師根據(jù)情況進(jìn)行指導(dǎo)和引導(dǎo)，尤其是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的確定，教師要從各項(xiàng)中a，b指數(shù)的含義如baa34,來(lái)引導(dǎo)，并要求學(xué)生說(shuō)明怎么得到這些項(xiàng)？教師可以通過(guò)電腦演示各形式項(xiàng)的形成過(guò)程，將學(xué)生的思維過(guò)程展示． 
學(xué)生可能的探究方法2： 
)())()(()(bababababan，共n個(gè))(ba，依據(jù)多項(xiàng)式乘法，直接寫
出各項(xiàng)． 
[學(xué)生成果展示，可通過(guò)具體實(shí)例：通過(guò)投影、板書或口述] 問(wèn)題：希望學(xué)生得到的規(guī)律 （1） 項(xiàng)數(shù)：1n項(xiàng)； 
（2） 指數(shù)：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時(shí)，字母b的指數(shù)由0遞增至n； 
（3） 二項(xiàng)式系數(shù)是nnrnnnnCCCCC,,,,,210 （4） 通項(xiàng)：rrnrnrbaCT1 
[板書（1），（2）] 
[規(guī)律（3）得到后，板書nrrnnnn
bbabaaba1)
(] 
[規(guī)律（4）得到后，補(bǔ)全二項(xiàng)式定理板書] 教師引導(dǎo)中，可能用到的引導(dǎo)問(wèn)題： （1） 將n
ba)(展開，有多少項(xiàng)？ 
（2） 每一項(xiàng)中，字母a，b的指數(shù)有什么特點(diǎn)？ （3） 字母a，b的指數(shù)的含義是什么？是怎樣得到的？ （4） 如何確定rr
nba
的系數(shù)？ 
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項(xiàng)式定理，從以下幾方面強(qiáng)調(diào)： （1） 項(xiàng)數(shù)：1n項(xiàng)； 
（2） 指數(shù)：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時(shí)，字母b的指數(shù)由0遞增至n； 
（3） 二項(xiàng)式系數(shù)：下標(biāo)為n，上標(biāo)由0遞增至n； （4） 通項(xiàng)：rr
nr
nrba
CT1指的是第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是r
n
C （5） 公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做n
ba)(的二項(xiàng)展開式，上面的定理是用不完全歸納法得到的，將來(lái)可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明． 三、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 
例1．.
126
的展開式求
xx 
 
                    
             
                    
                            練習(xí)1
4
11

x展開 
通過(guò)練習(xí)熟悉二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，對(duì)展開式中每一項(xiàng)的組成，二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)及項(xiàng)數(shù)的寫法有一個(gè)認(rèn)識(shí)。 
例2（1）求(1+2x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)    
.1239
的系數(shù)的展開式中
求xxx

 注：1)注意對(duì)二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用 
    2)注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的概念二項(xiàng)式系數(shù)：Cnr；項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積 
    3)求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)的一種方法是將二項(xiàng)式展開 練習(xí)求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng) 
的展開式常數(shù)項(xiàng)求9
33


xx
 
求  
9
3(
)3
x
x 的展開式的中間兩項(xiàng) 
四、歸納小結(jié) 
1．學(xué)生的學(xué)習(xí)體會(huì)與感悟； 2．教師強(qiáng)調(diào)： 
（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法 
（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證”的良好習(xí)慣． 
（3）二項(xiàng)式定理每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時(shí)b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美．二項(xiàng)式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們?cè)谡n下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)． 五、作業(yè)P31 課堂練習(xí)1.2.3.4    
【自評(píng)反饋與反思】 
1．探究與合作是本節(jié)課的亮點(diǎn) 
本節(jié)課采用探究式教學(xué)方式，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和情感體驗(yàn)，注重教學(xué)過(guò)程中學(xué)生主體地位的體現(xiàn)和主體作用的發(fā)揮，尊重學(xué)生人格和個(gè)性，鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)、探究與質(zhì)疑，符合“以學(xué)生的發(fā)展為本”新課程理念． 
本課采用小組合作、探究的方式，學(xué)生從特殊情況入手，探究n=1，2，3，4，…時(shí)二項(xiàng)展開式的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的基本內(nèi)容，再推廣到一般．（強(qiáng)調(diào)證明，但不要求證明） 
這樣，本課做到了以學(xué)生為主體，學(xué)生通過(guò)自主與合作的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷從特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程．在接受、掌握知識(shí)的同時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思維方法得到發(fā)展，科學(xué)思維修養(yǎng)獲得了提高，合作的意識(shí)得到加強(qiáng)． 
 2．德育滲透恰當(dāng)，適時(shí)適度 
 
                    
             
                    
                            通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理內(nèi)容的研究，學(xué)生體驗(yàn)了從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊的指導(dǎo)實(shí)踐的認(rèn)識(shí)事物過(guò)程．通過(guò)對(duì)二項(xiàng)展開式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀察，學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱美、和諧美．  
本課有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．新課程理念中強(qiáng)調(diào)“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，本節(jié)課正是由實(shí)際問(wèn)題的引入為開始，又以問(wèn)題的最終解決為結(jié)局，數(shù)學(xué)的應(yīng)用貫穿整個(gè)課堂，突出了“應(yīng)用意識(shí)”的培養(yǎng)，符合新課程理念． 
突出數(shù)學(xué)思維方法與學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．?dāng)?shù)學(xué)有兩類猜想，一是歸納（不完全歸納），一是類比．本節(jié)課充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“觀察――歸納――猜想――證明”的思維方法：首先由學(xué)生探究n=1，2，3，…時(shí)二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)及系數(shù)的基本規(guī)律；然后進(jìn)一步歸納、猜想出當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)二項(xiàng)展開式的基本規(guī)律（強(qiáng)調(diào)應(yīng)該證明，由于知識(shí)的局限，以后再證明），這樣體現(xiàn)了從特殊到一般的辯證過(guò)程． 
3．課后反思 
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的確定，對(duì)平行班的學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有教師的適時(shí)，適度的引導(dǎo)，學(xué)生如何探究歸納，能否獨(dú)立研究出來(lái)？ 
（2）學(xué)生交流成果呈現(xiàn)方式問(wèn)題，本節(jié)課中并沒(méi)有使用實(shí)物展臺(tái)，而是將學(xué)生的成果通過(guò)口述方式呈現(xiàn)在黑板上，若使用實(shí)物展臺(tái)，由學(xué)生上講臺(tái)來(lái)展示，課堂效果會(huì)不會(huì)更好？課堂效率是否有提高？另外，投影和黑板板書之間如何更有機(jī)的結(jié)合？這些都需要做進(jìn)一步的探討．

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