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視頻標簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》內蒙古省級優課
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高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》內蒙古省級優課
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》教材、學情分析及
教學設計
【教材分析：】
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》是新課標2003人教A版高中數學必修二第一章《空間幾何體》第三節后面的探究與發現內容。是在學生們已經認識了簡單幾何體、組合體、三視圖及知道了柱體、錐體、球體體積公式的基礎上來學習研究的。本節內容主要是通過疑探導練法，利用祖暅原理來研究柱體、錐體、球體的體積。本節內容的設計，一方面讓學生通過了解祖暅這位偉大的數學家，對祖暅原理產生濃厚的興趣；另一方面通過本節內容的學習，學生們不僅可以掌握棱柱、棱錐、球的體積公式，還可以利用祖暅原理求一些不規則幾何體的體積，可以進一步提高學生們的空間想象能力，也激發了學生強烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。
【學情分析：】
學習本節內容學生已經進入高二下學期了，高中內容已全部學完，進入了一輪復習階段，而且這部分學生也是基礎較好的學生，他們思維敏捷、善于觀察，養成了從多角度思考問題的好習慣，有較強的計算能力和邏輯推理能力，綜合知識較強。在將近二年的高中數學學習中，學生們已經基本形成了觀察、猜想、推理、實驗、證明、進而得出結論的數學思想方法，有較強的動手操作能力，他們善于利用集體的智慧來解決問題。在本節課的學習中，通過實物展示、動畫演示等一系列比較形象直觀的過程，讓學生們產生了濃厚的學習興趣和探索欲望，激勵他們分組討論、合作探究，完成了由觀察到猜想、由猜想到證明這一系列的過程。可以大大提高學生們的歸納推理能力和實踐操作能力。學生們也在整個學習過程中進一步體會到割補法和歸納推理的數學思想方法，這也為今后他們數學能力的提升奠定了基礎。
【課型]】新授課
【教學目標】
1.知識與技能：幫助學生理解祖暅原理和運用祖暅原理解決問題； 讓學生從直觀上把握相關幾何體體積之間的關系.
2.過程與方法：利用疑探導練法進一步培養學生提出、分析、解決問題的能力。 3.情感態度價值觀：不直接呈現內容，設置懸念、設置問題、通過合探、解決問題，拓展延伸知識面，激發學生學習興趣與求知欲望。
【教學重點】理解祖暅原理和柱體、錐體、球體體積公式的推導過程。 【教學難點】把握相關幾何體體積之間的關系。 【教學過程】
2
一．情景導入.1.介紹提出祖暅原理的歷史人物
2.細致分析祖暅原理，并強調應用時的細節
祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣（今河北省淶源縣）人，南北朝時代的偉大科學家.祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.
祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個屏幕的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.
如圖1，夾在平行平面間的兩個幾何體（它們的形狀可以不同），被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面（陰影部分）的面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.
這個原理是非常淺顯易懂的.例如，取一摞紙堆放在桌面上組成一個幾何體（圖2），將她改變一下形狀，這個幾何體形狀發生了改變，得到了另一個幾何體，但兩個幾何體的高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而兩個幾何體的體積相等.利用這個原理和長方體體積公式，我們能夠求出柱體、錐體、臺體和球體的體積.
祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數學家早一千多年.在歐洲直到17世紀，才有意大利數學家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述結論.
強調：兩幾何體高一樣被平行于底面的任意平面所截截面的面積總相等
二、柱體的體積
下面我們用祖暅原理推導柱體和錐體的體積公式.
設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使他們的下底面在同一平面內（圖3）.根據祖暅原理，可知它們的體積相等.由于長方體的體積等于它的底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式VSh柱體
其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.
三、錐體與球體的體積（利用疑探導練法）
【一】.設疑自探：自探一.探索錐體的體積公式 自探二.探索球體的體積公式
要求：結合所學知識，獨立思考；有不會的知識點標注，合探時一并解決 【二】解疑合探： 1.小組討論：要求：
（1）請各位同學積極把你的觀點在組內展示，小組長要認真組織，確保人人參與熱烈討論。 （2）請匯集全組智慧，找出最能代表你們聰明才智的答案，并認真做好結論的歸納升華。 （3）注意展示點評任務，展示人書寫要迅速。 2.學生展示：錐體與球體體積公式的推導
3.學生點評：其他學生有疑問可以提出來，如果學生不能解決，由老師解決
圖3
3
展示要求：
1.書面展示要板書工整、規范、快速;
2.組長結合本組情況，適當選派代表; 3.非展示同學繼續討論，完成后結合展示點評，迅速記 錄， 認真糾錯，及時提問、補充和變式訓練. 點評要求：
1.語言簡練，聲音洪亮 ,不能擋住學生看黑板的視線； 2.先打分，說明扣分原因，要脫稿，面向全體同學； 3.重點強調解題思路和關鍵或提出新的方法
【三】質疑再探
請對照學習目標，有哪些疑問可以提出來，我們共同解決。
【四】運用拓展
1.類比祖暅原理,如圖所示,在平面直角坐標系中,圖1是一個形狀不規則的封閉圖形,圖2是一個上底為1的梯形,且當實數t取[0,3]上的任意值時，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長始終相等，則圖1的面積為___.
2.我國南北朝時期的數學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”。“勢”即是高，“冪”是面積。意思是如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。已知雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，一個焦點為 。直線y=0和直線y=3在第一象限內與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為____。 以上問題由學生解決，老師可以適當提示并補充。
最后，總結本節課內容，重點，難點！學科班長總結本節課同學們的表現！
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