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在線播放:人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-3第二章1.3.1二項(xiàng)式定理-山東省 - 濟(jì)南

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視頻簡介：

視頻標(biāo)簽：二項(xiàng)式定理

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-3第二章1.3.1二項(xiàng)式定理-山東省 - 濟(jì)南

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1.3.1 二項(xiàng)式定理
一、教學(xué)目標(biāo)
1．知識目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用
2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。
3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式難點(diǎn)：用計數(shù)原理知識探索發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理。三、教學(xué)過程（一）問題引入
問題1  abcd的展開式有多少項(xiàng)？
這個是最簡單的多項(xiàng)式乘法，學(xué)生能夠快速的說出答案。問題2  
2019
ab展開式中會有多少項(xiàng)？你能寫出它的展開式嗎？
這是個稍微難點(diǎn)的問題，難在2019次數(shù)太高，直接分析很難進(jìn)行下去，這時我們不妨以退為進(jìn)。
設(shè)計意圖：由易到難拋出問題，再由難到易解決問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。
下面看幾個次數(shù)比較低的情況

1
abab

2
222abaabb這是完全平方式




                            3
2
ababab學(xué)生處理基本上是按照先平方，再去乘以ab 
4
3
ababab四次方的處理，學(xué)生可以先算出3次方的，再乘
以ab ……

2019
?ab 2019次方的也按照上面的算法來算的話，就比較困難了。
順勢讓學(xué)生思考如何用剛學(xué)過的計數(shù)原理知識來推導(dǎo)這些公式？帶著這個問題，進(jìn)入下面的引例。
引例：這里有3個盒子，每個盒子里都放有一個a球和一個b球，現(xiàn)從每個盒子里各取出一個球，你能取出什么樣的球？想要得到2個a球、1個b球，你有多少種取法？
利用課件直觀展示取球的各種情況，并對這些情況加以分類，用組合知識解釋每一類的取球方法數(shù)。
設(shè)計意圖：在學(xué)生推導(dǎo)3
ab的展開式之前，先建立一種直觀、形象的思維模式，為下一步的類比打好基礎(chǔ)、做好鋪墊。（二）活動探究
探究1：類比取球過程，推導(dǎo)3
ab的展開式

3
ababababaaaaabababaaabbbabbbabbb
它的展開過程是從3個括號里各取一個字母，類比從3個盒子里各取一個小球。
（1）若每個括號都不取b，只有一種取法得到3a，即03C種
（2）若只有一個括號取b，共有1
3C種取法得到2ab
（3）若只有兩個括號取b，共有23C種取法得到2ab




                            （4）若每個括號都取b，共有33C種取法得到3b
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原始展開式中確有同類項(xiàng)存在，且確實(shí)可省去“合并”
因此303122233
33
33abCaCabCabCb 探究2：仿照上述過程,推導(dǎo)4
ab的展開式。
在有了3
ab展開式的推導(dǎo)，學(xué)生不難得出4
ab展開后會有5項(xiàng)，
分別為432234,,,,aabababb，對應(yīng)系數(shù)分別為01234
44444
,,,,CCCCC，所以
4
0413222
33
4
44444
4
abCaCab
CabCab
Cb 探究3：歸納猜想n
ab的展開式

1
01
11abCaCb 2
02122222abCaCabCb 3
031222333333abCaCabCabCb 
4
0413222334444444abCaCabCabCabCb
我們已經(jīng)推導(dǎo)了3
ab和4
ab的展開式，再把1
ab和2
ab的展開式也寫成這種形式，讓學(xué)生觀察這4個式子，回歸剛才遺留下的

2019
ab的展開問題，繼續(xù)觀察這4個特殊的式子，讓學(xué)生猜想更一
般的?n
ab
（三）概念形成讓學(xué)生自己動手寫出

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
寫的同時，讓學(xué)生思考該公式展現(xiàn)了哪些規(guī)律？
設(shè)計意圖：通過3個探究，讓學(xué)生一步步去發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容，讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成、發(fā)展和演變過程。




                            這里研究的是兩項(xiàng)nab的展開式，所以等號右邊的式子叫做n
ab的二項(xiàng)展開式，該公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理。問題  該公式表示了哪些規(guī)律？公式規(guī)律：
（1）項(xiàng)數(shù)：共有1n項(xiàng) （2）指數(shù)規(guī)律：
① 各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式）
② 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n
我們說字母a按降冪，字母b按升冪。實(shí)際上這是一種約定。因?yàn)槲覀冋归_式從左到右依次按照取出b球個數(shù)0個，1個，2個……n個進(jìn)行分類的，如果按照取出a球的個數(shù)0個，1個，2個……n個進(jìn)行分類的話，展開式的形式將會出現(xiàn)a升冪，b降冪，即

011222
*
n
nnnrrnr
nn
nnnnnabCbCabCabCabCanN
這樣，展開式的最后結(jié)果是沒問題的，但是每一項(xiàng)的位置將發(fā)生
改變，比如11nn
nCab是展開式的第二項(xiàng)，在按照a升冪，b降冪的展
開式的話就不再是第二項(xiàng)了，所以為統(tǒng)一要求，我們約定a降冪，b升冪。
（3）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)：1rnrrrnTCab，0,1,2,,rn 問題：為什么不用rT作為展開式的通項(xiàng)？
有了通項(xiàng)之后，我們便可以處理任何一個式子二項(xiàng)展開之后的任何一項(xiàng)了。結(jié)合題目，幫助學(xué)生理解項(xiàng)，系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)




                            的概念。
（4）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為012,,,,r
n
nnnn
n
CCCCC。這里rnC（0,1,2,,rn）
稱為二項(xiàng)式系數(shù)。（四）鞏固練習(xí)
例1  （1）求5
1x的展開式；
      （2）求4
13

xx的展開式。
方法一：直接展開
方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。
思考：展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)是多少？展開式中的第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是多少？
設(shè)計意圖:幫助學(xué)生進(jìn)一步區(qū)分系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個不同的概念。
注意：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與,ab無關(guān)；系數(shù)與,ab有關(guān)。
例2 已知在21
12
n
xx的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：
(1) n的值；
(2)展開式中x5的系數(shù)； (3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個數(shù)。
找學(xué)生爬黑板，學(xué)生做完以后，教師總結(jié)這類題目的一般步驟。（五）歸納總結(jié)




                            一、知識層面
1.掌握一個定理（二項(xiàng)式定理）

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
2.區(qū)分兩個概念（二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)） 3.做題三個步驟（通項(xiàng)→求n→求特征問題）二、思想方法層面
1.轉(zhuǎn)換、類比的思想。
2.從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方式。（六）作業(yè)布置： 1、鞏固型作業(yè)：
  課本28頁練習(xí)A組 2、3、4 2、思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）
  （1）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。
  （2）探究二項(xiàng)式系數(shù)012,,,,n
nnnn
CCCC有何性質(zhì)。

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