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視頻標簽：常見幾何體的外接球
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版必修二第一章第6小節《常見幾何體的外接球》遼寧省 - 大連
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高中數學人教B版必修二第一章第6小節《常見幾何體的外接球》遼寧省 - 大連
《常見幾何體的外接球》 教學設計
教材：人教B版必修2第一章
一、教材分析
本節選至高中數學人教B版必修二第一章第6小節，立體幾何在整個高中數學中占有重要的地位，而球是重要的簡單幾何體之一。在10年全國新課標卷中共有7年考查球，均以選擇題、填空題出現，在原來“了解球的三視圖、表面積和體積公式”的基礎上考查了球的幾何結構特征、幾種特殊幾何體的外接球、內切球等幾何模型。其中外接球是主要的考查內容，近兩年融入了切、割、挖后的球的三視圖等考查內容。 二、學情分析
經過一輪的復習，學生已經熟知球的體積和表面積公式，認識了特殊幾何體的外接球模型，并了解了計算外接球半徑的方法，但仍不熟練，在遇到復雜的圖形時，學生對于如何判斷球心的位置，利用球的幾何結構特征建構直角三角形計算球的半徑或通過補形解決球半徑問題上仍感覺力不從心，無法快速的選擇合適的方法解決外接球的問題，因此，我們希望通過本輪的復習，再次幫助學生建構球的幾何結構特征，梳理解決特殊幾何體外接球的解題方法，讓學生對球成竹在胸，建立解題信心。 三、教學目標
1.知識與技能：會用直接法、補體法、球心定位法找球心； 2.過程與方法：建立空間感，體會轉化的數學思想方法；
3.情感態度與價值觀：養成在日常生活中思考問題的習慣，運用數學抽象維方式思考并解決問題。 四、教學重難點分析及解決措施
重點：運用補體法找常見幾何體外接球的球心
難點：利用球心定位法判斷外接球球心位置并計算外接球半徑。
解決措施：對教材課后習題進行改編，步步變式，通過PPT、微課先讓學生有直觀認識，學生總結規律后再動手畫圖，并對重點強調講解。同時，教師對例題進行講解深入分析，讓學生類比獨立完成，達到突破難點的目的。 五、教學方法
1.教師進行問題驅動式教學，通過對教材課后題和高考真題的改編，步步深入，指導學生主動參與歸納尋找不同幾何體外接球球心的方法和應用，對學生探究的結果及方法應用的成果展示做合理的評價。 2.學生采取自主探究、小組討論、合作交流的學習方式，并展示自己的學習成果。 六、教學過程分析
教學內容與問題設置
設計意圖
一、 新課導入：
蛟龍深海下潛器中的封閉艙是一個球體，艙內有一正四面體形狀的支架，棱長為a，技術人員需要將艙內涂上防腐涂層，為了估算涂料的用量，需要計算出艙內表面積，同學們，如果你是這名技術人員，如何通過四面體的棱長求出外接球即封閉倉的表面積。
二、 復習舊知：
1、 多邊形的外接圓定義：
若多邊形的各頂點都一個圓上，這個圓叫做多邊形的外接圓。
外接圓圓心到每個頂點的距離相等。
正三角形的外接圓圓心在中心位置 直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點處
一般三角形的外接圓半徑可由正弦定理
宣傳社會主義核心價值觀，培養學生愛國主義情懷，并導入新課，激發學生學習興趣
為新課教學打下基礎，
做好知識準備
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2、多面體的外接球定義：
若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，這個球是這個多面體的外接球，外接球的球心到各個頂點的距離相等。
三、合作探究
活動一：直接法找外接球球心
通過微課復習直接法尋找規則幾何體（長方體、直棱柱、直棱錐）外接球球心
構建圓柱模型：解決任意直棱柱外接球問題
（1）先找外接球的球心：
它的球心是連接上下兩個多邊形的外心的線段的中點； （2） 再構造直角三角形，勾股定理求解。 利用外接球定義構建圓錐模型
問：一個球滿足什么條件，我們把它叫做這個圓錐的外接球 問：球心的位置在哪
問：如果給出圓錐的底面半徑和母線長，怎么求它外接球的半徑 （1）它的球心在正棱錐的高上；
（2） 再構造直角三角形，勾股定理求解。 圓錐模型中的問題
（1）球心是否一定在棱錐內部？
（2） 球心在棱錐外部時外接球半徑怎樣求？
活動二：補體法找外接球球心
在長方體中畫出與長方體共頂點的四面體： （1）有一個頂點出發的三個直角面的四面體 （2）四個面都是直角三角形的四面體 （3）對棱相等的四面體
復習基本模型外接球問題。
從學生熟悉的幾何體開始復習，為進一步學習做準備。
拓展熟悉的模型，簡單外接球問題利用規則的長方體外接球問題處理
R
O
C
B
A
O
O1
（小組交流）你遇到的哪些多面體的外接球可轉化為正（長）方體外接球問題 1、三條側棱兩兩互相垂直的三棱錐，常構造長方體，特別地 ，當三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且相等時，可直接構造正方體． 2、棱錐含有線面垂直關系時，則可將棱錐構造長方體或正方體. 3、正四面體外接球問題可轉化為正方體外接球問題. 4、對棱相等的四面體外接球問題可轉化為長方體外接球問題. 變式一：（2010年高考陜西卷理18改編)三棱錐ABCA中，
AA面ABC,BCAB， 3AA,4AB,5BC,若三棱錐ABCA的四個頂點在同一球面上，則這個球的表面積為________________
變式二：（2013年高考理12改編)在三棱錐DCBA中,
2DBAC,3DCBA,
4CBDA,則三棱錐DCBA外接球的表面積為__________
變式三：(2017寧波市質檢10)已知三棱錐ABCA的四個頂點均在同一個球面上，其中ABC是正三角形，AA平面ABC，322ABAA，則該球的表面積為___________ 活動三：球心定位法找外接球球心 三棱錐ABCD中，ABC,BCD為邊長為a正三角形，面BCD面ABC,求三棱錐ABCD的外接球半徑。
若上題已知條件二面角P-BC-A的平面角改為120°，求三棱錐ABCD的外接球半徑。
直接讓學生把幾何體進行補體難度較大，通過讓學生自己動手畫圖，讓學生對什么樣的幾何體可以補成長方體求出外接球球心，為下面習題作鋪墊。
投影展示 學案反饋 經歷逐漸深入的探究過程，
有利于培養學生發現問題、分類討論、作圖表達、推理論證能力，再具體情境中提升直觀想象、數學抽象、邏
輯推理的核心素養。 學生通過前面的總結規律，
快速的選擇合適的方法解決外接球的問題。通過UMU軟件實現生生互動，師生互
動。
通過教師板書例題講解，geogebra幾何畫板展示，突破教學難點球心定位法
目的是培養學生獨立分析問題、解決問題的能力，培
養學生用類比思想去解決問題的意識，使用剛獲取的知識來解決問題的意識。
四、應用模型
變式五：正四面體的各個棱長為a,求其外接球半徑。（一題多解） 法一：
法二:
法三：
五、直擊高考
（2018全國卷Ⅲ）設A、B、C、D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為39，則三棱錐
ABCD體積的最大值為（）
.A 312 .B 318 .C 324 .D 354
六、課堂小結
1.直棱柱的球心是連接上下兩個多邊形的外心的線段的中點； 2.正棱錐的球心在它的高上；
3.若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.
七、數學文化
2015年6月7日下午，2015年高考文科數學湖北卷上，一道幾何題中出現了"鱉臑(biē nào)""陽馬"兩個名詞。數學考試出現古詞，迅速在網上傳播起來，成為熱門話題。文科數學第20題涉及到了《九章算術·商功》里的知識，先解釋了什么是"鱉臑"和"陽馬"，根據這兩個詞和相關數據解題 。
解決課前提出的蛟龍號封閉倉表面積問題，強化學生利用直接法、補體法、球心定位法對特殊幾何體的外接球的模型的理解和應用，鍛煉學生的空間想象力和準確的計算能力。
通過小結，反思學習過程，幫助學生建構球的幾何結構特征，梳理特殊幾何體外接球的解題方法，加深知識理解。
通過對《九章算數》中，陽馬、鱉臑的介紹，了解中華優秀傳統文化中的數學成就，體會其中的數學文化。
七、教學反思
本節課結合我校小組合作探究模式，應用了移動終端類設備，即智能手機和umu軟件的結合，使用umu的實時共享照片功能，學生使用手機將解題過程實時上傳到大屏幕，同時小組臺前展示講解。課堂上實時互動環節中，同學們興趣濃厚，積極展示自己，臺前展示小組答案，使用大屏幕進行講解，節省教學時間，課堂氣氛良好。課堂小結后，使用umu問卷答題功能，實時統計學生正確率，教師準確掌握學生的學習效果，當堂針對易錯點反饋，提高教學效率和質量。
7.2常見幾何體的外接球
考綱分析：常見幾何體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點，在近幾年的高考題中都有出現。球經常和其它空間幾何體相結合出題，以選擇題或填空題的形式出現。這類題目要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，即重點考察數學抽象和數學運算兩大核心素養。
一、 學習目標：
1.會用直接法、補體法、球心定位法找球心；
2.建立空間感，體會轉化的數學思想方法；
3養成在日常生活一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁，運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。
二、 重點與難點：
重點：學會補體法找常見幾何體外接球的球心；
難點：球心定位法找常見幾何體外接球的球心.
預習案
| 長方體 | 直棱柱(圓柱) | 正棱錐（圓錐） | |
| （在圖中畫出外接球心位置，并畫出相應需要的輔助線） |
 |
 |
 |
| 外接球心位置 |
長方體對角線的中點 |
||
| 球半徑 |
如果長方體的長寬高 ，外接球半徑是多少？ |
如果底面外接圓半徑為 ，高為 ，外接球半徑 。它們三個之間有什么樣的等量關系? |
如果底面外接圓半徑為，高為，外接球半徑。 它們三個之間有什么樣的等量關系? |
，則這個球的體積為________________________
2.在長方體中畫出與長方體共頂點的四面體：
中，共頂點
的三條棱兩兩相互垂直，其長分別為
，
，
，若三棱錐的四個頂點在同一球面上，則這個球的表面積為_________________
中，
面
,
， 
,
,
,若三棱錐的四個頂點在同一球面上，則這個球的表面積為_________________
中,
,
,
,則三棱錐外接球的表面積為__________的四個頂點均在同一個球面上，其中
是正三角形，
平面，
，則該球的表面積為___________
中，,
為邊長為
正三角形，面
面,
求三棱錐的外接球半徑。
,求其外接球半徑。（一題多解）
（2018全國卷Ⅲ）設
、、
、
是同一個半徑為
的球的球面上四點，△為等邊三角形且其面積為
，則三棱錐體積的最大值為（）
中, 
,
,
.則該三棱錐的外接球表面積為________.的所有頂點都在球
的球面上,
⊥平面,平面是正三角形,其中
，
.則球的表面積為 .
的底面為矩形，△
為等邊三角形，平面⊥平面
,
，
，則四棱錐外接球半徑為___________.
，一條邊長為
的三角形，則其外接球半徑為____________
中，是邊長為3的等邊三角形，
，
，二面角
的大小為120°，則此三棱錐的外接球半徑為_______
，四面體EBCD的體積為
，求
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