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視頻標簽：組合
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版選修2-3 1.2.2《組合》吉林省優課
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高中數學人教A版版選修2-3 1.2.2 《組合》吉林省優課
§1．2．2組合
教學目標：
知識與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯系與區
別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題。
過程與方法：了解組合數的意義，理解排列數mn與組合數 之間的聯系，掌握組合數公式，能運用組合數公式進行計算。
情感、態度與價值觀：能運用組合要領分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力。
教學重點：組合的概念和組合數公式 教學難點：組合的概念和組合數公式 授課類型：新授課 內容分析：
排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區別在于問題是否與順序有關.與順序有關的是排列問題，與順序無關是組合問題，順序對排列、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關系.
指導學生根據生活經驗和問題的內涵領悟其中體現出來的順序.教的秘訣在于度，學的真諦在于悟，只有學生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通.
能列舉出某種方法時，讓學生通過交換元素位置的辦法加以鑒別.
學生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時，可引導學生找出兩定義的關系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題.
排列、組合問題大都來源于同學們生活和學習中所熟悉的情景，解題思路通常是依據具體做事的過程，用數學的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經驗、知識經驗、具體情景的出發，正確領會問題的實質，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據筆者觀察，有些同學之所以學習中感到抽象，不知如何思考，并不是因為數學知識跟不上，而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規的做法）.要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據實際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當的工具，模擬做事的過程，則更能說明問題.久而久之，學生的邏輯思維能力將會大大提高.
教學過程：
一、復習引入：
1．排列的概念：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素（這里的被取元素各不相同）按
照一定的順序．．．．．排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．．．．
2．排列數的定義：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有排列的個數叫做從n個
元素中取出m元素的排列數，用符號m
nA表示
3．排列數公式：(1)(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）
(2)m
nA=
!
()!
nnm
問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活
動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
問題2：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？ 引導觀察：問題1中不但要求選出2名同學，而且還要按照一定的順序“排列”，而問題2只要求選出2名同學，是與順序無關的引出課題：組合．．
． 二、講解新課：
1.組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出mmn個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同 練習1．判斷下列問題是組合還是排列
1、從1，2，3„„9九個數字中任取3個，組成一個三位數，這樣的三位數共有多少個？ 2、從1，2，3„„9九個數字中任取3個，然后把這三個數字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？
3、設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個? 4、某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?
有多少種不同的火車票價？ 問題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？
（2）什么樣的兩個組合就叫相同的組合 2．組合數的概念：從n個不同元素中取出mmn個元素的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的組合數．．．．用符號m
nC表示． 3．組合數公式的推導：
（1）從4個不同元素,,,abcd中取出3個元素的組合數3
4C是多少呢？
m
nC
啟發：由于排列是先組合再排列．．．．．．．．．
，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數3
4A可以求得，故我們可以考察一下34C和3
4A的關系，如下：
組 合 排列
dcb
cdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,
,
,
,,,,,,,,,,
,,,,,
,, 由此可知,每一個組合都對應著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素
的排列數34A，可以分如下兩步：① 考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有3
4C個；② 對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有33A種方法．由分步計數原理得： 34A＝
34C33A，所以，33
343
4AAC．
（2）推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數m
nA，可以分如下兩步： ① 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數m
nC；
② 求每一個組合中m個元素全排列數mmA，根據分步計數原理得：mnA＝mnCmm
A． （3）組合數的公式：
(1)(2)(1)
!
mmnn
mmAnnnnmCAm
或)!
(!!
mnmnCm
n
),,(nmNmn且
規定: 0
1nC.
練習2.計算：⑴ 47C ⑵7
10C （3）已知：2
3nnAC ，求n的值 例1．求證：1
1
mnm
nCm
nmC． 證明：∵)!
(!!
mnmnCm
n
11
1!
(1)!(1)!
mn
mmnCnm
nmmnm
＝
1!
(1)!()(1)!mnmnmnm
＝
!
!()!
nmnm
∴1
1
mnm
nCm
nmC 例2．（1）平面內有10 個點，以其中每2 個點為端點的線段共有多少條？
(2）平面內有 10 個點，以其中每 2 個點為端點的有向線段共有多少條？
解：(1）以平面內 10 個點中每 2 個點為端點的線段的條數，就是從10個不同的元素中取
出2個元素的組合數，即線段共有210
109
4512
C
（條）. (2）由于有向線段的兩個端點中一個是起點、另一個是終點，以平面內10個點中每 2 個點為端點的有向線段的條數，就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數，即有向
線段共有2
1010990A（條）.
例3．在 100 件產品中，有 98 件合格品，2 件次品．從這 100 件產品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少種不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？
解：(1）所求的不同抽法的種數，就是從100件產品中取出3件的組合數，所以共有
3
100
1009998
123
C
= 161700 （種）.
(2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1
2C種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品
的抽法有298C種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12
298
CC=9506(種). (3）解法 1 從 100 件產品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件
次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有12298
CC種，因此根據分類加法計數原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
12298CC+21
298CC=9 604 （種） .
解法2 抽出的3 件產品中至少有 1 件是次品的抽法的種數，也就是從100件中抽出3 件
的抽法種數減去3 件中都是合格品的抽法的種數，即
33
10098
CC=161 700-152 096 = 9 604 （種）. 例4． 一位教練的足球隊共有 17 名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比
賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問：
(l)這位教練從這 17 名學員中可以形成多少種學員上場方案？
(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？
分析：對于（1)，根據題意，17名學員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從 17
個不同元素中選出11個元素的組合問題；對于（ 2 ) ，守門員的位置是特殊的，其余上場學員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題．
解： (1）由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案有11
17C ＝ 12 376 .
(2）教練員可以分兩步完成這件事情：
第1步，從17名學員中選出 n 人組成上場小組，共有11
17C種選法； 第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有111C種選法． 所以教練員做這件事情的方法數有1111711
CC=136136（種）. 說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。
六、小結 ：組合的意義與組合數公式；解決實際問題時首先要看是否與順序有關，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時要利用分類和分步計數原理 七、課后作業：見教材課后題 八、板書設計（略）
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